高中數(shù)學(xué) 2.2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件 北師大版必修2 .ppt

1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)a b r的作用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 x a 2 y b 2 r2中 有三個(gè)參數(shù)a b r 其中 a b 為圓心 r為半徑 結(jié)合圓的定義可知 圓心 a b 在確定圓時(shí)起定位作用 即影響圓的位置 而半徑r在確定圓時(shí)起定形作用 即影響圓的大小 用直接法求圓的方程 2 幾種特殊位置的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般是用待定系數(shù)法 需三個(gè)獨(dú)立的條件 轉(zhuǎn)化成解方程 組 問(wèn)題 例1 求圓心在x軸上 半徑為5 且過(guò)點(diǎn)a 2 3 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 審題指導(dǎo) 已知圓心的位置 半徑r及過(guò)點(diǎn)a 2 3 求解本題的關(guān)鍵是依據(jù)圓心的位置設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 然后代入點(diǎn)a 2 3 求參數(shù) 規(guī)范解答 圓心在x軸上 半徑為5 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x a 2 y2 25 過(guò)點(diǎn)a 2 3 2 a 2 3 2 25 解得 a 2 或a 6 所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2 2 y2 25或 x 6 2 y2 25 互動(dòng)探究 把條件 圓心在x軸上 換成 圓心在y軸上 求相應(yīng)問(wèn)題 解析 圓心在y軸上 半徑為5 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 y a 2 25 過(guò)點(diǎn)a 2 3 4 3 a 2 25 解得 所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)常用的幾何性質(zhì) 1 弦的垂直平分線(xiàn)必過(guò)圓心 2 圓的任意兩條弦的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)必為圓心 3 圓心與切點(diǎn)的連線(xiàn)長(zhǎng)為半徑 4 圓心與切點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于圓的切線(xiàn) 5 圓的半徑r 半弦長(zhǎng)d 弦心距h 滿(mǎn)足r2 d2 h2 利用圓的幾何性質(zhì)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 求圓的方程時(shí) 聯(lián)想圓的幾何性質(zhì)和結(jié)合圖形解題可以達(dá)到事半功倍的效果 例2 2010 新課標(biāo)全國(guó)高考改編 過(guò)點(diǎn)a 4 1 的圓c與直線(xiàn)x y 1 0相切于點(diǎn)b 2 1 求圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程 審題指導(dǎo) 由題意得出圓心既在線(xiàn)段ab的中垂線(xiàn)上 又在過(guò)點(diǎn)b 2 1 且與直線(xiàn)x y 1 0垂直的直線(xiàn)上 聯(lián)立方程可求出圓心和半徑 可見(jiàn)靈活轉(zhuǎn)化題目中的條件求解圓的方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 規(guī)范解答 由題意知 圓心既在過(guò)點(diǎn)b 2 1 且與直線(xiàn)x y 1 0垂直的直線(xiàn)上 又在線(xiàn)段ab的中垂線(xiàn)上 過(guò)點(diǎn)b 2 1 且與直線(xiàn)x y 1 0垂直的直線(xiàn)為x y 3 0 線(xiàn)段ab的中垂線(xiàn)為x 3 聯(lián)立方程解得即圓心c 3 0 又半徑所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 3 2 y2 2 變式訓(xùn)練 已知圓心為c的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)a 0 2 和b 3 3 且圓心c在直線(xiàn)l x y 5 0上 1 求線(xiàn)段ab的垂直平分線(xiàn)方程 2 求圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程 解題提示 利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求線(xiàn)段ab的中點(diǎn) 進(jìn)而求出線(xiàn)段ab的垂直平分線(xiàn)的方程 聯(lián)立直線(xiàn)l及線(xiàn)段ab的垂直平分線(xiàn)的方程求圓心 進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解析 1 因?yàn)閍 0 2 b 3 3 所以線(xiàn)段ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為直線(xiàn)ab的斜率故線(xiàn)段ab的垂直平分線(xiàn)方程是即3x y 7 0 2 由得所以圓心c的坐標(biāo)為 3 2 圓的半徑所以圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 3 2 y 2 2 25 與對(duì)稱(chēng)有關(guān)的圓的方程的分類(lèi)求解策略 利用對(duì)稱(chēng)求圓的方程 不論圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)還是關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) 其半徑不變 變的只是圓心的位置 例3 已知圓c x 2 2 y 6 2 1和直線(xiàn)l 3x 4y 5 0 求圓c關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 審題指導(dǎo) 直線(xiàn)及圓的方程已知 解答本題的關(guān)鍵是確定圓心坐標(biāo) 由題意可知兩圓圓心關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng) 故可利用對(duì)稱(chēng)的思想求出圓心坐標(biāo) 進(jìn)而寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 規(guī)范解答 圓c x 2 2 y 6 2 1的圓心為 2 6 半徑r 1 設(shè)所求圓的圓心c a b 由題意可知c與c 關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng) 則有解得a 4 b 2 又所求圓的半徑r 1 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 4 2 y 2 2 1 互動(dòng)探究 條件不變 求圓c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程 解題提示 圓心關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即為所求圓的圓心 解析 圓c x 2 2 y 6 2 1的圓心為 2 6 半徑r 1 設(shè)所求圓的圓心c a b 由題意可知c與c 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 則有c 2 6 又所求圓的半徑r 1 故所求圓的方程為 x 2 2 y 6 2 1 解決與圓的方程相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題的步驟 圓在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用 例 如圖所示是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖 該圓拱跨度ab 20m 拱高op 4m 在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐 求支柱cd的高度 精確到0 01m 審題指導(dǎo) 由本題條件可知 此問(wèn)題應(yīng)首先建系 轉(zhuǎn)化成求圓的方程 再利用它求出線(xiàn)段cd的高度 規(guī)范解答 以ab所在的直線(xiàn)為x軸 以o為原點(diǎn) 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 則圓心在y軸上 設(shè)圓心的坐標(biāo)是 0 b 圓的半徑是r 那么圓的方程是x2 y b 2 r2 下面用待定系數(shù)法求b和r的值 因?yàn)閜 b都在圓上 所以它們的坐標(biāo) 0 4 10 0 都是這個(gè)圓的方程的解 于是得到方程組解得b 10 5 r2 14 52 所以這個(gè)圓的方程是x2 y 10 5 2 14 52 把點(diǎn)c的橫坐標(biāo)x 2代入這個(gè)圓的方程 得 2 2 y 10 5 2 14 52 因?yàn)閏的縱坐標(biāo)y 0 所以根取正值 于是即支柱cd的高度約為3 86m 變式備選 一座圓形拱橋 當(dāng)水面在如圖所示位置時(shí) 拱頂離水面2米 水面寬12米 當(dāng)水面下降1米后 水面寬多少米 解題提示 先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 求出圓的方程 最后借助圓的方程解決該問(wèn)題 解析 以圓形拱頂點(diǎn)為原點(diǎn) 以過(guò)圓形拱頂點(diǎn)的豎直直線(xiàn)為y軸 建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系 設(shè)圓心為c 水面所在弦的端點(diǎn)為a b 則由已知可得a 6 2 設(shè)圓的半徑為r 則c 0 r 即圓的方程為x2 y r 2 r2 將點(diǎn)a的坐標(biāo)代入上述方程可得r 10 所以圓的方程為x2 y 10 2 100 當(dāng)水面下降1米后 水面弦的端點(diǎn)為a b 可設(shè)a x0 3 x0 0 代入x2 y 10 2 100 解得米 水面寬度米 典例 12分 求同時(shí)滿(mǎn)足下列條件的圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 截y軸所得弦mn長(zhǎng)為4 2 被x軸分成兩段圓弧 其弧長(zhǎng)之比為3 1 3 圓心在直線(xiàn)y x上 審題指導(dǎo) 確定圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立的條件 而題設(shè)恰好給出了三個(gè)條件 因此求解本題的關(guān)鍵是利用圓的幾何性質(zhì)建立關(guān)于圓心 a b 及半徑r的方程 規(guī)范解答 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x a 2 y b 2 r2 則圓心為 a b 半徑是r 圓截y軸所得弦長(zhǎng)為4 r2 4 a2 3分 被x軸分成兩段圓弧 其弧長(zhǎng)之比為3 1 6分 圓心 a b 在直線(xiàn)y x上 a b 8分 由解得或 10分所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2 2 y 2 2 8或 x 2 2 y 2 2 8 12分 誤區(qū)警示 對(duì)解答本題時(shí)易犯的錯(cuò)誤具體分析如下 即時(shí)訓(xùn)練 2011 合肥高二檢測(cè) 已知圓c經(jīng)過(guò)點(diǎn)a 1 3 b 2 2 并且直線(xiàn)l 3x 2y 0平分圓c 求圓c的方程 解析 設(shè)圓c的圓心坐標(biāo)為 a b 由于直線(xiàn)l 3x 2y 0平分圓c 故圓c的圓心c a b 在直線(xiàn)l上 即3a 2b 0 又 ca cb 把 代入 得a 2 b 3 圓c的方程為 x 2 2 y 3 2 1 1 以原點(diǎn)為圓心 以3為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a x2 y2 3 b x2 y2 9 c x 3 2 y 3 2 9 d x 3 2 y2 9 解析 選b 由圓的標(biāo)準(zhǔn)形式可知 x 0 2 y 0 2 9 即x2 y2 9 選b 2 以 1 2 為圓心 且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a x 1 2 y 2 2 5 b x 1 2 y 2 2 c x 1 2 y 2 2 d x 1 2 y 2 2 5 解析 選d 原點(diǎn)到圓心的距離即為圓的半徑 r2 1 2 22 5 以 1 2 為圓心且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 1 2 y 2 2 5 選d 3 以點(diǎn)a 5 4 為圓心 且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a x 5 2 y 4 2 25 b x 5 2 y 4 2 16 c x 5 2 y 4 2 16 d x 5 2 y 4 2 25 解析 選c 所求圓與x軸相切 圓的半徑為4 故所求圓的方程為 x 5 2 y 4 2 16 選c 4 以a 1 2 b 5 6 為直徑兩端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 解析 由題意可得圓心為 2 2 半徑所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 2 2 y 2 2 25 答案 x 2 2 y 2 2 25 5 求以圓 x 1 2 y 4 2 5的圓心為圓心 以原點(diǎn)到直線(xiàn)x y 1 0的距離為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 解析 原點(diǎn)到直線(xiàn)x y 1 0的距離 所求圓的半徑為又 圓 x 1 2 y 4 2 5的圓心坐標(biāo)為 1 4 所求圓的方程為 一 選擇題 每題4分 共16分 1 2011 成都高二檢測(cè) 已知點(diǎn)a 1 2 b 3 1 則線(xiàn)段ab的垂直平分線(xiàn)的方程是 a 4x 2y 5 0 b 4x 2y 5 0 c x 2y 5 0 d x 2y 5 0 解析 選b a 1 2 b 3 1 的中點(diǎn)為又 線(xiàn)段ab的垂直平分線(xiàn)的方程為即4x 2y 5 0 2 2011 石家莊高二檢測(cè) 圓 x 2 2 y2 5關(guān)于原點(diǎn)p 0 0 對(duì)稱(chēng)的圓的方程為 a x 2 2 y2 5 b x2 y 2 2 5 c x 2 2 y 2 2 5 d x2 y 2 2 5 解析 選a 圓 x 2 2 y2 5的圓心為 2 0 其關(guān)于原點(diǎn)p 0 0 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 2 0 故所求圓的圓心坐標(biāo)為 2 0 又兩圓的半徑相等 故所求圓的方程為 x 2 2 y2 5 3 過(guò)點(diǎn)a 1 1 b 1 1 且圓心在直線(xiàn)x y 2 0上的圓的方程是 a x 3 2 y 1 2 4 b x 1 2 y 1 2 4 c x 3 2 y 1 2 4 d x 1 2 y 1 2 4 解析 選b 線(xiàn)段ab的中垂線(xiàn)方程為x y 0 聯(lián)立解得即圓心為 1 1 又過(guò)點(diǎn)a 1 1 所以所求圓的半徑為r 2 所以所求圓的方程為 x 1 2 y 1 2 4 4 經(jīng)過(guò)圓c x 1 2 y 2 2 4的圓心且斜率為1的直線(xiàn)方程為 a x y 3 0 b x y 3 0 c x y 1 0 d x y 3 0 解析 選a 圓c的圓心為 1 2 又所求直線(xiàn)的斜率k 1 故由點(diǎn)斜式得y 2 x 1 即x y 3 0 二 填空題 每題4分 共8分 5 2011 遼寧高考 已知圓c經(jīng)過(guò)a 5 1 b 1 3 兩點(diǎn) 圓心在x軸上 則圓c的方程為 解析 設(shè)圓c的方程為 x a 2 y2 r2 答案 x 2 2 y2 10 6 2010 湖南高考 若不同兩點(diǎn)p q的坐標(biāo)分別為 a b 3 b 3 a 則線(xiàn)段pq的垂直平分線(xiàn)l的斜率為 圓 x 2 2 y 3 2 1關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的圓的方程為 解析 設(shè)pq的垂直平分線(xiàn)的斜率為k 則而且pq的中點(diǎn)坐標(biāo)是 l的方程為 y x 3 而圓心 2 3 關(guān)于直線(xiàn)y x 3對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為 0 1 對(duì)稱(chēng)圓的方程為 x2 y 1 2 1 答案 1x2 y 1 2 1 三 解答題 每題8分 共16分 7 已知圓n的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 5 2 y 6 2 a2 a 0 1 若點(diǎn)m 6 9 在圓上 求半徑a 2 若點(diǎn)p 3 3 與q 5 3 有一點(diǎn)在圓內(nèi) 另一點(diǎn)在圓外 求a的范圍 解析 1 點(diǎn)m 6 9 在圓上 6 5 2 9 6 2 a2 即a2 10 又a 0 pn qn 故點(diǎn)p在圓外 點(diǎn)q在圓內(nèi) 方法技巧 點(diǎn)m x0 y0 與圓 x a 2 y b 2 r2的關(guān)系的判斷方法 把點(diǎn)m x0 y0 代入圓的方程 x a 2 y b 2 r2利用以下關(guān)系求解 1 x0 a 2 y0 b 2 r2 點(diǎn)在圓外 2 x0 a 2 y0 b 2 r2 點(diǎn)在圓上 3 x0 a 2 y0 b 2 r2 點(diǎn)在圓內(nèi)