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一 微分的定義二 微分的基本公式三 微分的四則運(yùn)算法則四 微分形式的不變性五 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 微分及其運(yùn)算 1 一 微分的定義 當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)從變到時(shí) 相應(yīng)的面積增量 函數(shù)增量分成兩部分 一部分是的線性部分 一部分是關(guān)于的高階無(wú)窮小 2 當(dāng)立方體的邊長(zhǎng)從變到時(shí) 相應(yīng)的體積增量 函數(shù)增量分成兩部分 一部分是的線性部分一部分是關(guān)于的高階無(wú)窮小 3 定義設(shè)y f x 在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義 屬于該鄰域 若 其中A與無(wú)關(guān) 而是關(guān)于的高階無(wú)窮小 則稱y f x 在可微 而稱為y f x 在點(diǎn)處的微分 記為 4 定理3 7y f x 可微的充分必要條件是y f x 可導(dǎo) 且有 由于 即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量微分之比 因此導(dǎo)數(shù)也稱微商 微分dy的幾何意義 就是曲線y f x 在點(diǎn)處的切線的縱坐標(biāo)的增量 5 二 微分的基本公式 微分的基本公式 6 7 三 微分的四則運(yùn)算法則 定理3 8設(shè)u u x v v x 可微 則 u v可微 且有 證 8 定理3 9設(shè)u u x v v x 可微 且 則可微 且有 證 9 例1設(shè) 解 10 例2設(shè)y xtanx sinx 求dy 解 注意 當(dāng)然也可以直接用公式求微分 11 例3設(shè) 解 12 四 微分形式的不變性 設(shè)y f u u g x 都可微 則復(fù)合函數(shù)y f g x 也可微 此時(shí)有 可見 若y f u 可微 不論u是自變量還是中間變量 總有 這就是微分形式的不變性 利用微分形式的不變性 可以計(jì)算復(fù)合函數(shù)的微分 13 例4設(shè) 解 如果不引入中間變量u 則可 14 例5設(shè) 解 當(dāng)然 也可以直接用公式來求微分 即求出后再乘以dx得到dy 15 五 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 設(shè)y f x 在可導(dǎo) 當(dāng)自變量從變到x 即取得增量 則有 當(dāng)x很接近時(shí) 即很小時(shí) 就有近似公式 即

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