2013年安徽省高考數(shù)學試卷（理科）.doc

2013年安徽省高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求1（5分）設i是虛數(shù)單位，是復數(shù)z的共軛復數(shù)，若（z）i+2=2z，則z=（）A1+iB1iC1+iD1i2（5分）如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是（）ABCD3（5分）在下列命題中，不是公理的是（）A平行于同一個平面的兩個平面平行B過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面C如果一條直線上的兩點在同一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有點都在此平面內(nèi)D如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線4（5分）“a0”是“函數(shù)f（x）=|（ax1）x|在區(qū)間（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件5（5分）某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績，五名男生的成績分別為86，94，88，92，90，五名女生的成績分別為88，93，93，88，93，下列說法正確的是（）A這種抽樣方法是一種分層抽樣B這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣C這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差D該班男生成績的平均數(shù)大于該班女生成績的平均數(shù)6（5分）已知一元二次不等式f（x）0的解集為x|x1或x，則f（10x）0的解集為（）Ax|x1或xlg2Bx|1xlg2Cx|xlg2Dx|xlg27（5分）在極坐標系中圓=2cos的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（）A=0（R）和cos=2B=（R）和cos=2C=（R）和cos=1D=0（R）和cos=18（5分）函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，在區(qū)間a，b上可找到n（n2）個不同的數(shù)x1，x2，xn，使得=，則n的取值范圍是（）A3，4B2，3，4C3，4，5D2，39（5分）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A，B滿足|=|=2，則點集P|=+，|+|1，R所表示的區(qū)域的面積是（）ABCD10（5分）若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點x1，x2，且f（x1）=x1，則關于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同實根個數(shù)是（）A3B4C5D6二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填寫在答題卡上11（5分）若的展開式中x4的系數(shù)為7，則實數(shù)a= 12（5分）設ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，則角C= 13（5分）已知直線y=a交拋物線y=x2于A，B兩點，若該拋物線上存在點C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為 14（5分）如圖，互不相同的點A1，A2，An，和B1，B2，Bn，分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等，設OAn=an，若a1=1，a2=2，則數(shù)列an的通項公式是 15（5分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號）當0CQ時，S為四邊形當CQ=時，S為等腰梯形當CQ=時，S與C1D1的交點R滿足C1R=當CQ1時，S為六邊形當CQ=1時，S的面積為三、解答題：本大題共6小題，共75分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算驟16（12分）已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+）（0）的最小正周期為（1）求的值；（2）討論f（x）在區(qū)間0，上的單調(diào)性17（12分）設函數(shù)f（x）=ax（1+a2）x2，其中a0，區(qū)間I=x|f（x）0（）求I的長度（注：區(qū)間（a，）的長度定義為）；（）給定常數(shù)k（0，1），當1ka1+k時，求I長度的最小值18（12分）設橢圓E：的焦點在x軸上（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；（2）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1PF1Q，證明：當a變化時，點P在某定直線上19（13分）如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60，（1）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；（2）求cosCOD20（13分）設函數(shù)fn（x）=1+x+（xR，nN+），證明：（1）對每個nN+，存在唯一的x，1，滿足fn（xn）=0；（2）對于任意pN+，由（1）中xn構成數(shù)列xn滿足0xnxn+p21（13分）某高校數(shù)學系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動，分別由李老師和張老師負責，已知該系共有n位學生，每次活動均需該系k位學生參加（n和k都是固定的正整數(shù)），假設李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系k位學生，且所發(fā)信息都能收到，記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學生人數(shù)為X（I）求該系學生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整數(shù)m2013年安徽省高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求1（5分）設i是虛數(shù)單位，是復數(shù)z的共軛復數(shù)，若（z）i+2=2z，則z=（）A1+iB1iC1+iD1i【分析】設出復數(shù)z=a+bi（a，bR），代入后整理，利用復數(shù)相等的條件列關于a，b的方程組求解a，b，則復數(shù)z可求【解答】解：設z=a+bi（a，bR），則，由，得（a+bi）（abi）i+2=2（a+bi），整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi則，解得所以z=1+i故選：A【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，考查了復數(shù)相等的條件，兩個復數(shù)相等，當且僅當實部等于實部，虛部等于虛部，是基礎題2（5分）如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是（）ABCD【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，分析可知：該程序的作用是計算并輸出S=+的值，并輸出【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算并輸出S=+的值S=+=故選：D【點評】根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數(shù)據(jù)（如果參與運算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進行分析管理）建立數(shù)學模型，根據(jù)第一步分析的結果，選擇恰當?shù)臄?shù)學模型解模3（5分）在下列命題中，不是公理的是（）A平行于同一個平面的兩個平面平行B過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面C如果一條直線上的兩點在同一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有點都在此平面內(nèi)D如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線【分析】根據(jù)公理的定義解答即可經(jīng)過人類長期反復的實踐檢驗是真實的，不需要由其他判斷加以證明的命題和原理就是公理【解答】解：B，C，D經(jīng)過人類長期反復的實踐檢驗是真實的，不需要由其他判斷加以證明的命題和原理故是公理；而A平行于同一個平面的兩個平面平行是定理不是公理故選：A【點評】本題考查了公理的意義，比較簡單4（5分）“a0”是“函數(shù)f（x）=|（ax1）x|在區(qū)間（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】對a分類討論，利用二次函數(shù)的圖象與單調(diào)性、充要條件即可判斷出【解答】解：當a=0時，f（x）=|x|，在區(qū)間（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增當a0時，結合二次函數(shù)圖象可知函數(shù)f（x）=|（ax1）x|在區(qū)間（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增若a0，則函數(shù)f（x）=|（ax1）x|，其圖象如圖它在區(qū)間（0，+）內(nèi)有增有減，從而若函數(shù)f（x）=|（ax1）x|在區(qū)間（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增則a0a0是”函數(shù)f（x）=|（ax1）x|在區(qū)間（0，+）內(nèi)單調(diào)遞增”的充要條件故選：C【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與單調(diào)性、充要條件，考查了數(shù)形結合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題5（5分）某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績，五名男生的成績分別為86，94，88，92，90，五名女生的成績分別為88，93，93，88，93，下列說法正確的是（）A這種抽樣方法是一種分層抽樣B這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣C這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差D該班男生成績的平均數(shù)大于該班女生成績的平均數(shù)【分析】根據(jù)抽樣方法可知，這種抽樣方法是一種簡單隨機抽樣根據(jù)平均數(shù)的定義：平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)；方差公式：s2=（x1）2+（x2）2+（xn）2求解即可【解答】解：根據(jù)抽樣方法可知，這種抽樣方法是一種簡單隨機抽樣五名男生這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=（86+94+88+92+90）5=90，方差=（8690）2+（9490）2+（8890）2+（9290）2+（9090）2=8五名女生這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)=（88+93+93+88+93）5=91，方差=（8891）2+（9391）2+（9391）2+（8891）2+（9391）2=6故這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差故選：C【點評】本題考查了抽樣方法、平均數(shù)以及方差的求法，要想求方差，必須先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后再根據(jù)方差公式求解6（5分）已知一元二次不等式f（x）0的解集為x|x1或x，則f（10x）0的解集為（）Ax|x1或xlg2Bx|1xlg2Cx|xlg2Dx|xlg2【分析】由題意可得f（10x）0等價于110x，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得解集【解答】解：由題意可知f（x）0的解集為x|1x，故可得f（10x）0等價于110x，由指數(shù)函數(shù)的值域為（0，+）一定有10x1，而10x可化為10x，即10x10lg2，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：xlg2故選：D【點評】本題考查一元二次不等式的解集，涉及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)的運算，屬中檔題7（5分）在極坐標系中圓=2cos的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（）A=0（R）和cos=2B=（R）和cos=2C=（R）和cos=1D=0（R）和cos=1【分析】利用圓的極坐標方程和直線的極坐標方程即可得出【解答】解：如圖所示，在極坐標系中圓=2cos是以（1，0）為圓心，1為半徑的圓故圓的兩條切線方程分別為（R），cos=2故選：B【點評】正確理解圓的極坐標方程和直線的極坐標方程是解題的關鍵8（5分）函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，在區(qū)間a，b上可找到n（n2）個不同的數(shù)x1，x2，xn，使得=，則n的取值范圍是（）A3，4B2，3，4C3，4，5D2，3【分析】由表示（x，f（x）點與原點連線的斜率，結合函數(shù)y=f（x）的圖象，數(shù)形結合分析可得答案【解答】解：令y=f（x），y=kx，作直線y=kx，可以得出2，3，4個交點，故k=（x0）可分別有2，3，4個解故n的取值范圍為2，3，4故選：B【點評】本題考查的知識點是斜率公式，正確理解表示（x，f（x）點與原點連線的斜率是解答的關鍵9（5分）在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A，B滿足|=|=2，則點集P|=+，|+|1，R所表示的區(qū)域的面積是（）ABCD【分析】由兩定點A，B滿足=2，說明O，A，B三點構成邊長為2的等邊三角形，設出兩個定點的坐標，再設出P點坐標，由平面向量基本定理，把P的坐標用A，B的坐標及，表示，把不等式|+|1去絕對值后可得線性約束條件，畫出可行域可求點集P所表示區(qū)域的面積【解答】解：由兩定點A，B滿足=2，=，則|2=（）2=2+=4，則|=2，說明O，A，B三點構成邊長為2的等邊三角形不妨設A（），B（）再設P（x，y）由，得：所以，解得由|+|1所以等價于或或或可行域如圖中矩形ABCD及其內(nèi)部區(qū)域，則區(qū)域面積為故選：D【點評】本題考查了平面向量的基本定理及其意義，考查了二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關鍵在于讀懂題意，屬中檔題10（5分）若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點x1，x2，且f（x1）=x1，則關于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同實根個數(shù)是（）A3B4C5D6【分析】求導數(shù)f（x），由題意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的兩根，從而關于f（x）的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0有兩個根，作出草圖，由圖象可得答案【解答】解：f（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的兩根，由3（f（x）2+2af（x）+b=0，得x=x1，或x=x2，即3（f（x）2+2af（x）+b=0的根為f（x）=x1或f（x2）=x2的解如圖所示，由圖象可知f（x）=x1有2個解，f（x）=x2有1個解，因此3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同實根個數(shù)為3故選：A【點評】考查函數(shù)零點的概念、以及對嵌套型函數(shù)的理解，考查數(shù)形結合思想二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填寫在答題卡上11（5分）若的展開式中x4的系數(shù)為7，則實數(shù)a=【分析】利用二項式定理的通項公式即可得出【解答】解：由通項公式Tr+1=，的展開式中x4的系數(shù)為7，解得故答案為【點評】熟練掌握二項式定理的通項公式是解題的關鍵12（5分）設ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，則角C=【分析】由3sinA=5sinB，根據(jù)正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C【解答】解：3sinA=5sinB，由正弦定理，可得3a=5b，a=b+c=2a，c=cosC=C（0，）C=故答案為：【點評】本題考查正弦、余弦定理的運用，考查學生的計算能力，屬于基礎題13（5分）已知直線y=a交拋物線y=x2于A，B兩點，若該拋物線上存在點C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為1，+）【分析】如圖所示，可知A，B，設C（m，m2），由該拋物線上存在點C，使得ACB為直角，可得=0即可得到a的取值范圍【解答】解：如圖所示，可知A，B，設C（m，m2），該拋物線上存在點C，使得ACB為直角，=化為m2a+（m2a）2=0m，m2=a10，解得a1a 的取值范圍為1，+）故答案為1，+）【點評】本題考查了如何表示拋物線上點的坐標、垂直于數(shù)量積得關系等基礎知識，考查了推理能力和計算能力14（5分）如圖，互不相同的點A1，A2，An，和B1，B2，Bn，分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等，設OAn=an，若a1=1，a2=2，則數(shù)列an的通項公式是【分析】設，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位線，得到=，梯形A1B1B2A2的面積=3S由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面積=3S利用相似三角形的性質(zhì)面積的比等于相似比的平方可得：，已知，可得，因此數(shù)列是一個首項為1，公差為3等差數(shù)列，即可得到an【解答】解：設，OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1A2B2，A1B1是三角形OA2B2的中位線，=，梯形A1B1B2A2的面積=3S故梯形AnBnBn+1An+1的面積=3S所有AnBn相互平行，所有OAnBn（nN*）都相似，數(shù)列是一個等差數(shù)列，其公差d=3，故=1+（n1）3=3n2因此數(shù)列an的通項公式是故答案為【點評】本題綜合考查了三角形的中位線定理、相似三角形的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項公式等基礎知識和基本技能，考查了推理能力和計算能力15（5分）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC1上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）當0CQ時，S為四邊形當CQ=時，S為等腰梯形當CQ=時，S與C1D1的交點R滿足C1R=當CQ1時，S為六邊形當CQ=1時，S的面積為【分析】由題意作出滿足條件的圖形，由線面位置關系找出截面可判斷選項的正誤【解答】解：如圖當CQ=時，即Q為CC1中點，此時可得PQAD1，AP=QD1=，故可得截面APQD1為等腰梯形，故正確；由上圖當點Q向C移動時，滿足0CQ，只需在DD1上取點M滿足AMPQ，即可得截面為四邊形APQM，故正確；當CQ=時，如圖，延長DD1至N，使D1N=，連接AN交A1D1于S，連接NQ交C1D1于R，連接SR，可證ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正確；由可知當CQ1時，只需點Q上移即可，此時的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，顯然為五邊形，故錯誤；當CQ=1時，Q與C1重合，取A1D1的中點F，連接AF，可證PC1AF，且PC1=AF，可知截面為APC1F為菱形，故其面積為AC1PF=，故正確故答案為：【點評】本題考查命題真假的判斷與應用，涉及正方體的截面問題，屬中檔題三、解答題：本大題共6小題，共75分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算驟16（12分）已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+）（0）的最小正周期為（1）求的值；（2）討論f（x）在區(qū)間0，上的單調(diào)性【分析】（1）先利用和角公式再通過二倍角公式，將次升角，化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)的周期，求實數(shù)的值；（2）由于x是0，范圍內(nèi)的角，得到2x+的范圍，然后通過正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在區(qū)間0，上的單調(diào)性【解答】解：（1）f（x）=4cosxsin（x+）=2sinxcosx+2cos2x=（sin2x+cos2x）+=2sin（2x+）+，所以 T=，=1（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因為0x，所以2x+，當2x+時，即0x時，f（x）是增函數(shù)，當2x+時，即x時，f（x）是減函數(shù)，所以f（x）在區(qū)間0，上單調(diào)增，在區(qū)間，上單調(diào)減【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，恒等關系的應用，注意三角函數(shù)值的變換，考查計算能力，?？碱}型17（12分）設函數(shù)f（x）=ax（1+a2）x2，其中a0，區(qū)間I=x|f（x）0（）求I的長度（注：區(qū)間（a，）的長度定義為）；（）給定常數(shù)k（0，1），當1ka1+k時，求I長度的最小值【分析】（）解不等式f（x）0可得區(qū)間I，由區(qū)間長度定義可得I的長度；（）由（）構造函數(shù)d（a）=，利用導數(shù)可判斷d（a）的單調(diào)性，由單調(diào)性可判斷d（a）的最小值必定在a=1k或a=1+k處取得，通過作商比較可得答案【解答】解：（）因為方程ax（1+a2）x2=0（a0）有兩個實根x1=0，0，故f（x）0的解集為x|x1xx2，因此區(qū)間I=（0，），區(qū)間長度為；（）設d（a）=，則d（a）=，令d（a）=0，得a=1，由于0k1，故當1ka1時，d（a）0，d（a）單調(diào)遞增；當1a1+k時，d（a）0，d（a）單調(diào)遞減，因此當1ka1+k時，d（a）的最小值必定在a=1k或a=1+k處取得，而=1，故d（1k）d（1+k），因此當a=1k時，d（a）在區(qū)間1k，1+k上取得最小值，即I長度的最小值為【點評】本題考查二次不等式的求解，以及導數(shù)的計算和應用等基礎知識和基本技能，考查分類討論思想和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力18（12分）設橢圓E：的焦點在x軸上（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；（2）設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點，直線F2P交y軸于點Q，并且F1PF1Q，證明：當a變化時，點P在某定直線上【分析】（1）利用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)即可得出，解出即可；（2）設P（x0，y0），F(xiàn)1（c，0），F(xiàn)2（c，0），其中利用斜率的計算公式和點斜式即可得出直線F1P的斜率=，直線F2P的方程為即可得出Q得到直線F1Q的斜率=利用F1QF1P，可得=化為與橢圓的方程聯(lián)立即可解出點P的坐標【解答】解：（1）橢圓E的焦距為1，解得故橢圓E的方程為（2）設P（x0，y0），F(xiàn)1（c，0），F(xiàn)2（c，0），其中由題設可知：x0c則直線F1P的斜率=，直線F2P的斜率=故直線F2P的方程為令x=0，解得即點Q因此直線F1Q的斜率=F1QF1P，=化為聯(lián)立，及x00，y00，解得，即點P在定直線x+y=1上【點評】本題主要考查了橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)，直線和直線、直線和橢圓的位置關系等基礎知識和基本技能，考查了數(shù)形結合的思想、推理能力和計算能力，屬于難題19（13分）如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60，（1）證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；（2）求cosCOD【分析】（1）利用線面平行的判定與性質(zhì)，可證平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；（2）先作出OP與平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cosCOF，利用二倍角公式，即可求得cosCOD【解答】（1）證明：設平面PAB與平面PCD的交線為l，則ABCD，AB平面PCD，AB平面PCDAB面PAB，平面PAB與平面PCD的交線為l，ABlAB在底面上，l在底面外l與底面平行；（2）解：設CD的中點為F，連接OF，PF由圓的性質(zhì)，COD=2COF，OFCDOP底面，CD底面，OPCDOPOF=OCD平面OPFCD平面PCD平面OPF平面PCD直線OP在平面PCD上的射影為直線PFOPF為OP與平面PCD所成的角由題設，OPF=60設OP=h，則OF=OPtanOPF=OCP=22.5，tan45=1tan22.5=OC=在RtOCF中，cosCOF=cosCOD=cos（2COF）=2cos2COF1=1712【點評】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查空間角，考查學生的計算能力，正確找出線面角是關鍵20（13分）設函數(shù)fn（x）=1+x+（xR，nN+），證明：（1）對每個nN+，存在唯一的x，1，滿足fn（xn）=0；（2）對于任意pN+，由（1）中xn構成數(shù)列xn滿足0xnxn+p【分析】（1）由題意可得f（x）0，函數(shù)f（x）在（0，+）上是增函數(shù)求得fn（1）0，fn（）0，再根據(jù)函數(shù)的零點的判定定理，可得要證的結論成立（2）由題意可得fn+1（xn）fn（xn）=fn+1（xn+1）=0，由 fn+1（x） 在（0，+）上單調(diào)遞增，可得 xn+1xn，故xnxn+p0用 fn（x）的解析式減去fn+p （xn+p）的解析式，變形可得xnxn+p=+，再進行放大，并裂項求和，可得它小于 ，綜上可得要證的結論成立【解答】證明：（1）對每個nN+，當x0時，由函數(shù)fn（x）=1+x+），可得f（x）=1+0，故函數(shù)f（x）在（0，+）上是增函數(shù)由于f1（x1）=0，當n2時，fn（1）=+0，即fn（1）0又fn（）=1+ =+=0，根據(jù)函數(shù)的零點的判定定理，可得存在唯一的xn，滿足fn（xn）=0（2）對于任意pN+，由（1）中xn構成數(shù)列xn，當x0時，fn+1（x）=fn（x）+fn（x），fn+1（xn）fn（xn）=fn+1（xn+1）=0由 fn+1（x） 在（0，+）上單調(diào)遞增，可得 xn+1xn，即 xnxn+10，故數(shù)列xn為減數(shù)列，即對任意的 n、pN+，xnxn+p0由于 fn（xn）=1+xn+=0 ，fn+p （xn+p）=1+xn+p+，用減去并移項，利用 0xn+p1，可得xnxn+p=+=綜上可得，對于任意pN+，由（1）中xn構成數(shù)列xn滿足0xnxn+p【點評】本題主要考查函數(shù)的導數(shù)及應用，函數(shù)的零點的判定，等比數(shù)列求和