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中考壓軸題之幾何探究型解題技巧一、 旋轉(zhuǎn)引輔助線法:方法技巧:旋轉(zhuǎn)引輔助線法就是在圖形具有等鄰邊特征時,可以把圖形的某部分繞等鄰邊的公共端點,旋轉(zhuǎn)到另一位置的一種引輔助線方法。旋轉(zhuǎn)法主要用途是把分散元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來,從而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)法常用于等腰三角形、等邊三角形、及正方形等具有相等邊的圖形中。旋轉(zhuǎn)時要注意確定旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角度的大小。經(jīng)典真題:1、如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD上的點,且EAF45 ,則有結(jié)論EFBEFD成立; (1)如圖,在四邊形ABCD中,ABAD,BD90,E、F分別是BC、CD上的點,且EAF是BAD的一半,那么結(jié)論EFBEFD是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由;解: (2)若將(1)中的條件改為:在四邊形ABCD中,ABAD,B+D180,延長BC到點E,延長CD到點F,使得EAF仍然是BAD的一半,則結(jié)論EFBEFD是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.解:2、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N,D為外一點,且,BD=DC. 探究:當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時,BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q與等邊的周長L的關(guān)系圖1 圖2 圖3(I)如圖1,當(dāng)點M、N邊AB、AC上,且DM=DN時,BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ; 此時 ; (II)如圖2,點M、N邊AB、AC上,且當(dāng)DMDN時,猜想(I)問的兩個結(jié)論還成立嗎?寫出你的猜想并加以證明; (III) 如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時,若AN=,則Q= (用、L表示)3、請閱讀下列材料:已知:如圖(1)在RtABC中,BAC=90,AB = AC,點D、E分別為線段BC上兩動點,若DAE=45.探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是:把AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90,得到ABE,連結(jié)ED,使問題得到解決.請你參考小明的思路探究并解決下列問題:(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式,并對你的猜想給予證明; 圖(1)(2)當(dāng)動點E在線段BC上,動點D運(yùn)動在線段CB延長線上時,如圖(2),其它條件 不變,(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變?請說明你的猜想并給予證明.二、 與中點有關(guān)的輔助線的添加方法方法技巧: 有中線,可延長;作斜邊中線,利用斜邊中線性質(zhì)證題;有中點,造中位;有底中點,連中線(造中垂);倍長中線法造全等三角形;等邊三角形三邊中點連線造等邊三角形。經(jīng)典真題:1、設(shè)點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點,、F是BC邊上一點,線段DE和AF相交于點P,點Q在線段DE上,且AQ/PC.(1) 證明:PC=2AQ;(2) 當(dāng)點F為BC的中點時,試比較和梯形APCQ面積的大小關(guān)系,并對你的結(jié)論加以證明。 2、已知:在RtABC中,AB=BC,在RtADE中,AD=DE,連結(jié)EC,取EC的中點M,連結(jié)DM和BM(1)若點D在邊AC上,點E在邊AB上且與點B不重合,如圖,探索BM、DM的關(guān)系并給予證明; (2)如果將圖中的ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)小于45的角,如圖,那么(1)中的結(jié)論是否仍成立?如果不成立,請舉出反例;如果成立,請給予證明圖圖 3、已知正方形ABCD和等腰Rt按圖1放置,使點F在BC上,取DF的中點G,連EG 、CG. (1)探索EG、CG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由; (2)將圖1中BEF繞B 點順時針旋轉(zhuǎn)得圖2,連結(jié)DF,取DF的中點G,問(1)中的結(jié)論是否成立,并說明理由;(3)將圖1中BEF繞B點轉(zhuǎn)動任意角度(旋轉(zhuǎn)角在0到之間)得圖3,連結(jié)DF,取DF的中點G ,問(1)中的結(jié)論是否成立,請說明理由;4、如圖, 已知等邊三角形ABC中,點D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點,M為直線BC上一動點,DMN為等邊三角形(點M的位置改變時, DMN也隨之整體移動)(1)如圖1,當(dāng)點M在點B左側(cè)時,請你連結(jié)EN,并判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?點F是否在直線NE上?請寫出結(jié)論,并說明理由;(2)如圖2,當(dāng)點M在BC上時,其它條件不變,(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立? 若成立,請利用圖2證明;若不成立,請說明理由;AEFDBNCM(3)如圖3,若點M在點C右側(cè)時,請你判斷(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立? 若成立,請直接寫出結(jié)論;若不成立,請說明理由 (第4題圖1) (第4題圖2) (第4題圖3)三、與角平分線有關(guān)的輔助線方法技巧:角邊等,造全等;點分線,垂兩邊;角分垂,等腰歸;角分平,等腰呈。角平分線+直角=相似三角形經(jīng)典真題:1、在四邊形ABCD中,對角線AC平分DAB。(1)如圖1,當(dāng)DAB=120,B=D=90時,求證:AB+AD=AC;(2)如圖2,當(dāng)DAB=120,B與D互補(bǔ)時,線段AB、AD、AC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想,并給予證明;(3)如圖3,當(dāng)DAB=90,B與D互補(bǔ)時,線段AB、AD、AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想,并給予證明。2、已知,是的平分線將一個直角的直角頂點在射線上移動,點不與點重合.(1)如圖,當(dāng)直角的兩邊分別與射線、交于點、時,請判斷與的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)如圖,在(1)的條件下,設(shè)與的交點為點,且,求的值;(3)若直角的一邊與射線交于點,另一邊與直線、直線分別交于點、,且以、為頂點的三角形與相似,請畫出示意圖;當(dāng)時,直接寫出的長. 四、 截取與延長構(gòu)造特殊圖形法方法技巧:線段的截長補(bǔ)短法:截長補(bǔ)短就是在證題時,在長線段上截取和短線段相等的線段或把短線段補(bǔ)成和長線段相等的線段的引輔助線方法。一般在以下幾種情況下可以用截長補(bǔ)短法證題:1、 當(dāng)已知或求證中有一條線段大于另一條線段時;2、 當(dāng)已知或求證中涉及到線段的和(或差)等于另一條線段(或幾條線段和差)時。其基本圖形如下圖:已知ABAC,截長法就是在AB上截取AD=AC,補(bǔ)短法就是延長CA到E,使AE=AB;通過這樣的截長或補(bǔ)短,可以把分散的條件集中起來,為證明三角形全等或等腰三角形提供了條件. 經(jīng)典真題:2、如圖,正六邊形ABCDEF,點M在AB邊上,,MH與六邊形外角的平分線BQ交于H點. (1)當(dāng)點M不與點A、B重合時,求證:AFM=BMH;(2)當(dāng)點M在正六邊形ABCDEF一邊AB上運(yùn)動(點M不與點B重合)時,猜想FM與MH的數(shù)量關(guān)系,并對猜想的結(jié)果加以證明.3、如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P,過點P作直線交AD于點E,交BC于點F. 若PE=PF,且AP+AE=CP+CF. (1)求證:PA=PC;(2)若AD=12,AB=15,求四邊形ABCD的面積.五、從特殊到一般法經(jīng)典真題:1、2、請閱讀下列材料:問題:如圖1,在菱形和菱形中,點在同一條直線上,是線段的中點,連結(jié)若,探究與的位置關(guān)系及的值小聰同學(xué)的思路是:延長交于點,構(gòu)造全等三角形,經(jīng)過推理使問題得到解決DCGPABEF圖2DABEFCPG圖1請你參考小聰同學(xué)的思路,探究并解決下列問題:(1)寫出上面問題中線段與的位置關(guān)系及的值;(2)將圖1
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