高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 7.4直線、平面平行的判定及其性質(zhì)課件 .ppt

第四節(jié)直線 平面平行的判定及其性質(zhì) 知識梳理 1 直線與平面平行 1 判定定理 此平 面內(nèi) 2 性質(zhì)定理 交線 2 平面與平面平行 1 判定定理 相交 直線 2 性質(zhì)定理 相交 交線 考點(diǎn)自測 1 思考 給出下列命題 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面 那么這兩個(gè)平面平行 如果兩個(gè)平面平行 那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面 若直線a與平面 內(nèi)無數(shù)條直線平行 則a 若直線a 平面 p 則過點(diǎn)p且平行于直線a的直線有無數(shù)條 若平面 平面 直線a 平面 則直線a 平面 其中正確的是 a b c d 解析 選d 錯(cuò)誤 當(dāng)這兩條直線為相交直線時(shí) 才能保證這兩個(gè)平面平行 正確 如果兩個(gè)平面平行 則在這兩個(gè)平面內(nèi)的直線沒有公共點(diǎn) 則它們平行或異面 錯(cuò)誤 若直線a與平面 內(nèi)無數(shù)條直線平行 則a 或a 錯(cuò)誤 有且只有一條直線 且該直線為過直線a和點(diǎn)p的平面與平面 的交線 錯(cuò)誤 若平面 平面 直線a 平面 則a 或a 2 若兩條直線都與一個(gè)平面平行 則這兩條直線的位置關(guān)系是 a 平行b 相交c 異面d 以上均有可能 解析 選d 借助長方體模型可知 兩條直線的位置關(guān)系可以為平行 相交 異面 3 2014 長沙模擬 若直線a b 且直線a 平面 則直線b與平面 的位置關(guān)系是 a b b b c b 或b d b與 相交或b 或b 解析 選d 當(dāng)b與 相交或b 或b 時(shí) 均滿足直線a b 且直線a 平面 的情況 故選d 4 2014 溫州模擬 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 若直線a不在 內(nèi) 則a 若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面 內(nèi) 則l 若l與平面 平行 則l與 內(nèi)任何一條直線都沒有公共點(diǎn) 平行于同一直線的兩個(gè)平面平行 a 1b 2c 3d 4 解析 選a a a時(shí) a 所以 錯(cuò) 直線l與 相交時(shí) l上也可以有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在 內(nèi) 故 錯(cuò) l l與 無公共點(diǎn) 所以l與平面 內(nèi)任一直線都無公共點(diǎn) 正確 長方體abcd a1b1c1d1中平面a1c1與平面d1c都與直線ab平行 但兩平面相交 所以 錯(cuò)誤 5 在正方體abcd a1b1c1d1中 e是dd1的中點(diǎn) 則bd1與平面ace的位置關(guān)系為 解析 如圖 連接bd與ac交于o點(diǎn) 連接oe 所以oe bd1 而oe 平面ace bd1 平面ace 所以bd1 平面ace 答案 平行 考點(diǎn)1有關(guān)平行關(guān)系的判斷 典例1 1 下列命題正確的是 a 若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等 則這兩條直線平行b 若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等 則這兩個(gè)平面平行c 若一條直線平行于兩個(gè)相交平面 則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行d 若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面 則這兩個(gè)平面平行 2 2013 廣東高考 設(shè)l為直線 是兩個(gè)不同的平面 下列命題中正確的是 a 若l l 則 b 若l l 則 c 若l l 則 d 若 l 則l 解題視點(diǎn) 1 本題旨在考查立體幾何的線 面位置關(guān)系及線面平行的判定和性質(zhì) 需要熟練掌握定義 定理 2 本題考查空間推理論證能力 應(yīng)熟練運(yùn)用平行與垂直的判定與性質(zhì) 還要能舉出反例 規(guī)范解答 1 選c 若兩條直線和同一平面所成角相等 這兩條直線可能平行 也可能為異面直線 也可能相交 所以a錯(cuò) 一個(gè)平面上的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等 則這兩個(gè)平面平行或相交 故b錯(cuò) 若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面 則這兩個(gè)平面可以平行 也可以相交 故d錯(cuò) 只有選項(xiàng)c正確 2 選b 對于選項(xiàng)a 若l l 則平面 可能相交 此時(shí)交線與l平行 故a錯(cuò)誤 對于選項(xiàng)b 垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行 對于選項(xiàng)c 能推出兩個(gè)平面相交且兩個(gè)平面垂直 對于選項(xiàng)d l l l 都有可能 規(guī)律方法 有關(guān)平行關(guān)系判斷的技巧 1 熟悉線面關(guān)系的各個(gè)定理 無論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題 都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除 再逐步判斷其余選項(xiàng) 2 特別注意定理所要求的條件是否完備 圖形是否有特殊情形 變式訓(xùn)練 已知兩條直線a b 兩個(gè)平面 則下列結(jié)論中正確的是 a 若a 且 則a b 若b a b 則a c 若a 則a d 若b a b 則a 解析 選a a 因?yàn)?又a 所以a 故a正確 b 因?yàn)閎 a b 若a 則a不可能與 平行 故b錯(cuò)誤 c 因?yàn)閍 若a 則結(jié)論不成立 故c錯(cuò)誤 d 因?yàn)閎 a b 若a 則結(jié)論不成立 故d錯(cuò)誤 加固訓(xùn)練 1 2014 大同模擬 若兩條不同的直線與同一平面所成的角相等 則這兩條直線 a 平行b 相交c 異面d 以上皆有可能 解析 選d 如圖 正方體abcd a1b1c1d1中 bc1 ad1 兩直線與平面abcd所成角相等 bc1與b1c相交 兩直線與平面abcd所成角相等 bc1與a1d異面 兩直線與平面abcd所成角也相等 2 設(shè)a b為不重合的兩條直線 為不重合的兩個(gè)平面 給出下列命題 若a b a b是異面直線 那么b 若a 且b 則a b 若a b a b共面 那么a b 若 a 則a 上面命題中 所有真命題的序號是 解析 中的直線b與平面 也可能相交 故不正確 中的直線a b可能平行 相交或異面 故不正確 由線面平行的性質(zhì)得 正確 由面面平行的性質(zhì)可得 正確 答案 考點(diǎn)2直線與平面平行的判定和性質(zhì) 考情 平行關(guān)系是空間幾何中的一種重要關(guān)系 包括線線平行 線面平行 面面平行 其中線面平行在高考試題中出現(xiàn)頻率很高 一般出現(xiàn)在解答題中 考查線面平行的判定定理與性質(zhì)定理在證明或判斷中的應(yīng)用 高頻考點(diǎn)通關(guān) 典例2 1 2014 麗水模擬 正方體abcd a1b1c1d1中 e f g分別是a1b1 cd b1c1的中點(diǎn) 則正確命題是 a ae cgb ae與cg是異面直線c 四邊形aec1f是正方形d ae 平面bc1f 2 2013 新課標(biāo)全國卷 如圖 直三棱柱abc a1b1c1中 d e分別是ab bb1的中點(diǎn) 證明 bc1 平面a1cd 設(shè)aa1 ac cb 2 ab 2 求三棱錐c a1de的體積 解題視點(diǎn) 1 根據(jù)正方體的幾何特征 可以判斷出ae與cg相交 但不垂直 由此可以判斷出a b的真假 分析四邊形aec1f 即可判斷c的真假 由線面平行的判定定理 可以判斷出d的真假 進(jìn)而得到答案 2 連接ac1 構(gòu)造中位線 利用線線平行證線面平行 利用條件中的垂直關(guān)系求出a1d de a1e的長 確定de a1d 再利用 cd求體積 規(guī)范解答 1 選d 由正方體的幾何特征 可得ae c1g 但ae與平面bcc1b1不垂直 故ae cg不成立 由于eg ac 故a e g c四點(diǎn)共面 所以ae與cg是異面直線錯(cuò)誤 在四邊形aec1f中 ae ec1 c1f af 但af與ae不垂直 故四邊形aec1f是正方形錯(cuò)誤 而ae c1f 由線面平行的判定定理 可得ae 平面bc1f 2 連接ac1 交a1c于點(diǎn)f 則f為ac1中點(diǎn) 又d是ab的中點(diǎn) 連接df 則bc1 df 因?yàn)閐f 平面a1cd bc1 平面a1cd 所以bc1 平面a1cd 因?yàn)閍bc a1b1c1是直三棱柱 所以aa1 cd 由已知ac cb d為ab的中點(diǎn) 所以cd ab 又aa1 ab a 于是cd 平面abb1a1 由aa1 ac cb 2 ab 得 acb 90 cd a1d de a1e 3 故a1d2 de2 a1e2 即de a1d 所以 通關(guān)錦囊 特別提醒 證明線面平行時(shí) 要注意說明已知直線不在平面內(nèi) 關(guān)注題型 通關(guān)題組 1 2014 寧波模擬 已知直線m n和平面 則m n的一個(gè)必要不充分條件是 a m n b m n c m n d m n與 成等角 解析 選d 對于a m n 為m n的既不充分也不必要條件 對于b m n 為m n的充分不必要條件 對于c m n 為m n的既不充分也不必要條件 對于d m n與 成等角為m n的必要不充分條件 故選d 2 2014 湖州模擬 如圖 在四棱錐p abcd中 底面是平行四邊形 pa 平面abcd 點(diǎn)m n分別為bc pa的中點(diǎn) 在線段pd上是否存在一點(diǎn)e 使nm 平面ace 若存在 請確定點(diǎn)e的位置 若不存在 請說明理由 解析 在pd上存在一點(diǎn)e 使得nm 平面ace 且e為線段pd的中點(diǎn) 證明如下 如圖 取pd的中點(diǎn)e 連接ne ec ae 因?yàn)閚 e分別為pa pd的中點(diǎn) 所以nead 又在平行四邊形abcd中 cmad 所以nemc 即四邊形mcen是平行四邊形 所以nmec 又ec 平面ace nm 平面ace 所以mn 平面ace 即在pd上存在一點(diǎn)e 且e為線段pd的中點(diǎn) 使得nm 平面ace 3 2014 石家莊模擬 如圖 在直角梯形abcd中 b 90 dc ab bc cd ab 2 g為線段ab的中點(diǎn) 將 adg沿gd折起 使平面adg 平面bcdg 得到幾何體a bcdg 1 若e f分別為線段ac ad的中點(diǎn) 求證 ef 平面abg 2 求三棱錐c abd的體積 解析 1 因?yàn)檎郫B前后cd bg的位置關(guān)系不變 所以cd bg 因?yàn)樵?acd中 e f分別為ac ad的中點(diǎn) 所以ef cd 所以ef bg 又因?yàn)閑f 平面abg bg 平面abg 所以ef 平面abg 2 因?yàn)閎c cd ab 2 g為線段ab的中點(diǎn) 所以cd bg 又因?yàn)?b 90 cd bg bc cd 所以四邊形bcdg是一個(gè)正方形 所以bg dg ag dg 折疊后仍然成立 因?yàn)槠矫鎍dg 平面bcdg 所以ag 平面bcdg 所以v三棱錐c abd v三棱錐a bcd ag s bcd 2 2 2 加固訓(xùn)練 1 2013 菏澤模擬 如圖所示 abcd a1b1c1d1是棱長為a的正方體 m n分別是下底面的棱a1b1 b1c1的中點(diǎn) p是上底面的棱ad上的一點(diǎn) ap 過p m n的平面交上底面于pq q在cd上 則pq 解析 如圖 連接ac 易知mn 平面abcd 所以mn pq 因?yàn)閙n ac 所以pq ac 又因?yàn)閍p 所以所以答案 2 2013 洛陽模擬 如圖所示 在三棱柱abc a1b1c1中 a1a 平面abc 若d是棱cc1的中點(diǎn) 在棱ab上是否存在一點(diǎn)e 使de 平面ab1c1 若存在 請確定點(diǎn)e的位置 若不存在 請說明理由 解析 存在點(diǎn)e 且e為ab的中點(diǎn) 證明如下 取ab的中點(diǎn)e bb1中點(diǎn)f 連接de df ef 則b1f c1d b1f c1d 所以四邊形b1fdc1為平行四邊形 所以df b1c1 又df 平面ab1c1 b1c1 平面ab1c1 所以df 平面ab1c1 同理ef 平面ab1c1 因?yàn)閐f ef f df 平面def ef 平面def 所以平面def 平面ab1c1 因?yàn)閐e 平面def 所以de 平面ab1c1 考點(diǎn)3面面平行的判定和性質(zhì) 典例3 如圖 在三棱柱abc a1b1c1中 e f g h分別是ab ac a1b1 a1c1的中點(diǎn) 求證 1 b c h g四點(diǎn)共面 2 平面efa1 平面bchg 解題視點(diǎn) 1 要證明b c h g四點(diǎn)共面 只需要證明直線gh與直線bc共面 即證明gh bc即可 2 要證明平面efa1與平面bchg平行 可利用面面平行的判定定理證明 規(guī)范解答 1 因?yàn)間 h分別是a1b1 a1c1的中點(diǎn) 所以gh是 a1b1c1的中位線 所以gh b1c1 又因?yàn)閎1c1 bc 所以gh bc 所以b c h g四點(diǎn)共面 2 因?yàn)閑 f分別是ab ac的中點(diǎn) 所以ef bc 因?yàn)閑f 平面bchg bc 平面bchg 所以ef 平面bchg 因?yàn)閍1geb 所以四邊形a1ebg是平行四邊形 所以a1e gb 因?yàn)閍1e 平面bchg gb 平面bchg 所以a1e 平面bchg 因?yàn)閍1e ef e 所以平面efa1 平面bchg 互動(dòng)探究 在本例條件下 若d1 d分別為b1c1 bc的中點(diǎn) 求證 平面a1bd1 平面ac1d 證明 如圖所示 連接a1c交ac1于點(diǎn)h 因?yàn)樗倪呅蝍1acc1是平行四邊形 所以h是a1c的中點(diǎn) 連接hd 因?yàn)閐為bc的中點(diǎn) 所以a1b hd 因?yàn)閍1b 平面a1bd1 dh 平面a1bd1 所以dh 平面a1bd1 又由三棱柱的性質(zhì)知 d1c1bd 所以四邊形bdc1d1為平行四邊形 所以dc1 bd1 又dc1 平面a1bd1 bd1 平面a1bd1 所以dc1 平面a1bd1 又因?yàn)閐c1 dh d 所以平面a1bd1 平面ac1d 規(guī)律方法 1 判定面面平行的方法 2 面面平行的性質(zhì) 1 兩平面平行 則一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一平面 2 若一平面與兩平行平面相交 則交線平行 提醒 利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時(shí)需要說明是一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行 重視三種平行間的轉(zhuǎn)化關(guān)系線線平行 線面平行 面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的問題的指導(dǎo)思想 解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律 又要看清題目的具體條件 選擇正確的轉(zhuǎn)化方向 變式訓(xùn)練 1 2014 溫州模擬 平面 平面 的一個(gè)充分條件是 a 存在一條直線a a a b 存在一條直線a a a c 存在兩條平行直線a b a b a b d 存在兩條異面直線a b a b a b 解析 選d 由兩異面直線a b a b a 知在 內(nèi)存在直線a 使得a a 同理在 內(nèi)有直線b 使得b b 由于a與b異面 平移后必相交 故可得出 2 如圖所示 已知abcd a1b1c1d1是棱長為3的正方體 點(diǎn)e在aa1上 點(diǎn)f在cc1上 g在bb1上 且ae fc1 b1g 1 h是b1c1的中點(diǎn) 1 求證 e b f d1四點(diǎn)共面 2 求證 平面a1gh 平面bed1f 證明 1 連接fg 因?yàn)閍e b1g 1 所以bg a1e 2 又bg a1e 所以四邊形bga1e為平行四邊形 則a1g be 又c1f b1g c1f b1g 所以四邊形c1fgb1為平行四邊形 則fg b1c1 fg b1c1 又b1c1 d1a1 b1c1 d1a1 所以fg d1a1 fg d1a1 則四邊形a1gfd1為平行四邊形 則a1g d1f 所以d1f be 故e b f d1四點(diǎn)共面 2 因?yàn)閔是b1c1的中點(diǎn) 所以b1h 又b1g 1 又且 fcb gb1h 90 所以 b1hg cbf 則 b1gh cfb fbg 所以hg fb 又由 1 知 a1g be 且hg a1g g fb be b 所以平面a1gh 平面bed1f 加固訓(xùn)練 1 已知平面 平面 p是 外一點(diǎn) 過點(diǎn)p的直線m與 分別交于a c 過點(diǎn)p的直線n與 分別交于b d 且pa 6 ac 9 pd 8 則bd的長為 a 16b 24或c 14d 20 解析 選b 分兩種情況考慮 如圖 當(dāng)點(diǎn)p在兩平面同側(cè)時(shí) 連ab cd 則ab cd 故即解得bd 同理 如圖 當(dāng)點(diǎn)p在兩平面之間時(shí) 可得bd 24 2 2013 南通模擬 如圖所示 斜三棱柱abc a1b1c1中 點(diǎn)d d1分別為ac a1c1上的點(diǎn) 1 當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí) bc1 平面ab1d1 2 若平面bc1d 平面ab1d1 求的值 解析 1 如圖所示 取d1為線段a1c1的中點(diǎn) 此時(shí) 1 連接a1b 交ab1于點(diǎn)o 連接od1 由棱柱的性質(zhì)知 四邊形a1abb1為平行四邊形 所以點(diǎn)o為a1b的中點(diǎn) 在 a1bc1中 點(diǎn)o d1分別為a1b a1c1的中點(diǎn) 所以od1 bc1 又因?yàn)閛d1 平面ab1d1 bc1 平面ab1d1 所以bc1 平面ab1d1 所以當(dāng) 1時(shí) bc1 平面ab1d1 2 由平面bc1d 平面ab1d1 且平面a1bc1 平面bc1d bc1 平面a1bc1 平面ab1d1 d1o得bc1 d1o 所以又由題可知所以 1 即 1 規(guī)范解答8 平行關(guān)系證明的規(guī)范解答 典例 14分 2014 德州模擬 如圖 幾何體e abcd是四棱錐 abd為正三角形 cb cd