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文檔簡介
3.8 選址模型3.8.1 問題描述設(shè)有m個村莊 各有小學(xué)生人,現(xiàn)要合建一所小學(xué)校,使全部學(xué)生所走的總路程最短,問應(yīng)如何選擇校址?3.8.2建立模型設(shè)Ai的坐標(biāo)為(xi,yi) ,(i=1,2,3m)校址在 A(x,y)處,那么全部學(xué)生所走的總路程S為:設(shè)ei為方向上的單位向量。若令則 =0 與 =0 等價于 (3.8.1)可知S 的最小值只能在Ai(i=1,2,3m)(在這些點S不可導(dǎo))和滿足(3.8.1)的點去找。我們可以證明:若有點A(x,y)滿足(3.8.1),則S(A)達(dá)最小值。注:(1)(3.8.1)看來很簡單,但實際上十分難解。一般可考慮在矩形區(qū)域minxixmaxxi,minyiymaxyi上用迭代法求數(shù)值解,即的近似解。3.8.3 三角形的費爾馬點AA1A3A2圖3.8.3考慮在選址問題中,當(dāng)m=3,ni =1,i=1,2,3時的特例要在 所在平面上找一點A,使A到三頂點距離之和最小. (費爾馬問題)顯然A點不應(yīng)在之外。(1)當(dāng)?shù)膬?nèi)角都小于120時,由上述(3.8.1)即得: (3.8.3)對(3.8.3)兩邊分別點乘, 得到下面方程組 (3.8.4)解得:,即AA2A1A3圖3.8.4此時,滿足(3.8.1)的A點必唯一存在,并稱為費爾馬點。S=小于任意兩邊邊長之和,此結(jié)論若應(yīng)用于電纜或管道的鋪設(shè)工作中,則可節(jié)省材料。(2)當(dāng)?shù)淖畲髢?nèi)角120時可設(shè)想:原來最大內(nèi)角S3S4, 則Ta的總長Tb的總長. A BC S引理:設(shè)點S是ABC的費爾馬點,則其費爾馬距離 .證明:在ABS中用余弦定理得方程視BS為未知數(shù),解得同理,在ACS中解得從而,費爾馬距離.定理:記Ta與Tb總長分別為La與Lb,則當(dāng)且僅當(dāng)時,.證明:先證明當(dāng)ABCD組成一個平行四邊形時定理成立,然后考慮一般情況。由平行四邊形的對稱性易知,對角線AC與BD的交點E必在Ta和Tb上,而且E將Ta和Tb分別平分為兩部分,同樣,E也將分別平分為兩部分,即 La是ABE的費爾馬距離的兩倍;Lb是AED的費爾馬距離的兩倍;且. 由引理得同理得可以立刻看出. 現(xiàn)在考慮一般情況 如圖15,沿著 ASa和平行移動 AC至使經(jīng)過的中點,并且沿著和平行移動BD至,使也過. 因,故因此,平移后的斯坦納樹總長不變,這就把一般情況化為了平行四邊形上的問題 這在前面已證明了。作業(yè)有兩個村莊分別位于XOY平面的點A(-2,5)與點B(2,7)處,(單位:km)它們要在河邊(直線
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