9_3絕對(duì)收斂與條件收斂

第三節(jié)絕對(duì)收斂與條件收斂一 交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù) 稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù) 定理6 Leibnitz判別法 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件 則級(jí)數(shù) 收斂 且其和 其余項(xiàng)滿足 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 證 是單調(diào)遞增有界數(shù)列 又 故級(jí)數(shù)收斂于S 且 故 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 收斂 收斂 用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 收斂 上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 發(fā)散 收斂 收斂 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 三 絕對(duì)收斂與條件收斂 定義 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 若 若原級(jí)數(shù)收斂 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散 則稱原級(jí) 收斂 數(shù) 為條件收斂 均為絕對(duì)收斂 例如 絕對(duì)收斂 則稱原級(jí) 數(shù) 條件收斂 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 定理7 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂 證 設(shè) 根據(jù)比較審斂法 顯然 收斂 收斂 也收斂 且 收斂 令 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例7 證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 證 1 而 收斂 收斂 因此 絕對(duì)收斂 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 判定級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂其實(shí)就是判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂 2 令 因此 收斂 絕對(duì)收斂 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 其和分別為 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì) 定理8 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和 P203定理9 說明 證明參考P203 P206 這里從略 定理9 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法 則對(duì)所有乘積 按任意順序排列得到的級(jí)數(shù) 也絕對(duì)收斂 設(shè)級(jí)數(shù) 與 都絕對(duì)收斂 其和為 但需注意條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì) P205定理10 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 補(bǔ)充 則級(jí)數(shù) A 發(fā)散 B 絕對(duì)收斂 C 條件收斂 D 收斂性根據(jù)條件不能確定 分析 B 錯(cuò) 又 C