2019_2020版高中數(shù)學(xué)習(xí)題課——橢圓的綜合問題及應(yīng)用練習(xí)（含解析）新人教A版選修.docx

習(xí)題課橢圓的綜合問題及應(yīng)用課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.已知點(diǎn)M(3,0),直線y=k(x+3)與橢圓x24+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則ABM的周長為()A.4B.8C.12D.16解析橢圓x24+y2=1的焦點(diǎn)在x軸上,a2=4,b2=1,c=a2-b2=3,所以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為N(-3,0),M(3,0).又因?yàn)橹本€y=k(x+3)必經(jīng)過定點(diǎn)N(-3,0),由橢圓的定義知ABM的周長為|AB|+|AM|+|BM|=(|AN|+|AM|)+(|BN|+|BM|)=2a+2a=4a=8.答案B2.直線l:2x-y+2=0過橢圓左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B,則該橢圓的離心率為()A.15B.55C.25D.255解析直線l:2x-y+2=0中,令x=0,得y=2;令y=0,得x=-1,直線l:2x-y+2=0過橢圓左焦點(diǎn)F1和一個(gè)頂點(diǎn)B,橢圓左焦點(diǎn)F1(-1,0),頂點(diǎn)B(0,2),c=1,b=2,a=1+4=5,該橢圓的離心率為e=ca=15=55.故選B.答案B3.已知橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上,當(dāng)F1PF2的面積為1時(shí),PF1PF2等于()A.0B.1C.2D.12解析設(shè)P(x0,y0),則依題意有SF1PF2=12|F1F2|y0|=1,而|F1F2|=23,所以y0=33.故得x0=263.取P263,33,可得PF1PF2=0.答案A4.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓x29+y28=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任一點(diǎn),則OPFP的最小值為()A.214B.6C.8D.12解析點(diǎn)P為橢圓x29+y28=1上的任意一點(diǎn),設(shè)P(x,y)(-3x3,-22y22),依題意得左焦點(diǎn)F(-1,0),OP=(x,y),FP=(x+1,y),OPFP=x(x+1)+y2=x2+x+72-8x29=19x+922+234.-3x3,32x+92152,94x+9222254,1419x+92222536.619x+922+23412,即6OPFP12.故選B.答案B5.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1,F2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是()A.圓B.橢圓C.射線D.直線解析因?yàn)閨PQ|=|PF2|且|PF1|+|PF2|=2a,所以|PQ|+|PF1|=2a.又因?yàn)镕1,P,Q三點(diǎn)共線,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|.故|F1Q|=2a,即Q在以F1為圓心,以2a為半徑的圓上.答案A6.已知斜率為2的直線l被橢圓x23+y22=1截得的弦長為307,則直線l的方程為.解析設(shè)直線l的方程為y=2x+m,與橢圓交于A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),由x23+y22=1,y=2x+m,消去y并整理得14x2+12mx+3(m2-2)=0,所以x1+x2=-67m,x1x2=314(m2-2).由弦長公式得|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=53649m2-67(m2-2)=307,解得m=13,所以直線l的方程為y=2x13.答案y=2x137.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)為A,射線AF2交橢圓于B.若AF1B的面積為403,內(nèi)角A為60,則橢圓的焦距為.解析由題意可得AF1F2為等邊三角形,即有2a+2c3=2c,2c=a,b=a2-c2=3c,可得橢圓方程為3x2+4y2=12c2,設(shè)直線AB的方程為x=-33y+c,代入橢圓方程,可得313y2+c2-233cy+4y2=12c2,化為5y2-23cy-9c2=0,解得y=3c或y=-335c,即有AF1B的面積為122c|yA-yB|=c835c=403,可得c=5,即有橢圓的焦距為10.答案108.已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,且焦距為4,P為橢圓上一點(diǎn),且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項(xiàng).(1)求橢圓的方程;(2)若PF1F2的面積為23,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解(1)由題意知,2c=4,c=2,且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,所以a=4.所以b2=a2-c2=16-4=12.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以橢圓的方程為x216+y212=1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),依題意知,12|F1F2|y0|=23,所以|y0|=3,y0=3,代入橢圓方程x0216+y0212=1,得x0=23,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(23,3)或(23,-3)或(-23,3)或(-23,-3).9.已知圓A:(x+3)2+y2=100,圓A內(nèi)一定點(diǎn)B(3,0),圓P過B且與圓A內(nèi)切,求圓心P的軌跡方程.解設(shè)圓P的半徑為r,又圓P過點(diǎn)B,所以|PB|=r.又因?yàn)閳AP與圓A內(nèi)切,圓A的半徑為10.所以兩圓的圓心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|),所以點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓.所以2a=10,2c=|AB|=6.所以a=5,c=3.所以b2=a2-c2=25-9=16.即點(diǎn)P的軌跡方程為x225+y216=1.10.已知橢圓E的方程為x2a2+y2=1,點(diǎn)A為長軸的右端點(diǎn).B,C為橢圓E上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn).直線AB與直線AC的斜率kAB和kAC滿足:kABkAC=-12.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:y=kx+t與圓x2+y2=23相切,且與橢圓E相交于M,N兩點(diǎn),求證:以線段MN為直徑的圓恒過原點(diǎn).解(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-x0,-y0),由x02a2+y02=1得,y02=1-x02a2=a2-x02a2.由kABkAC=-12,即y0x0-a-y0-x0-a=-12得,y02=a2-x022.所以a2-x02a2=a2-x022,所以a2=2.即橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1.(2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,y2),由x22+y2=1,y=kx+t得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2(2t2-2)1+2k2+-4k2t21+2k2+t2=t2-2k21+2k2,又直線l與圓C相切,所以63=|t|1+k2,即23=t21+k2.所以O(shè)MON=x1x2+y1y2=2t2-2+t2-2k21+2k2=3t2-2(1+k2)1+2k2=2(1+k2)-2(1+k2)1+2k2=0,所以O(shè)MON,即MON=90.所以,以線段MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn).能力提升1.若直線mx+ny=4與圓O:x2+y2=4沒有交點(diǎn),則過點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓x29+y24=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.0或1解析直線mx+ny=4與圓O:x2+y2=4沒有交點(diǎn),4m2+n22.m2+n24,m29+n24b0)的右頂點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)(不與A重合),若POPA=0(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則ca(c為半焦距)的取值范圍是()A.12,1B.22,1C.32,1D.以上說法都不對(duì)解析設(shè)P(x0,y0)(x0a),POPA=0(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),則點(diǎn)P在以O(shè)A為直徑的圓上,(x0-a2)2+y02=a24b2x02+a2y02=a2b2c2x02-a3x0+a2b2=0(c2x0-ab2)(x0-a)=0x0=a,或x0=ab2c2,因?yàn)閤0a,故x0=ab2c2,0ab2c2a.b2c2,即a2-c222,ca的取值范圍是22,1,故選B.答案B4.已知點(diǎn)A-12,0,B是圓F:x-122+y2=4(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn),線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.解如圖所示,由題意知,|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,所以|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|AF|.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A,F為焦點(diǎn)的橢圓.因此a=1,c=12,b2=34.故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y234=1.5.已知橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F2(1,0),點(diǎn)C1,32在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程;(2)若點(diǎn)P在橢圓E上,且t=PF1PF2,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解(1)依題意,設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(ab0),由已知c=1,所以a2-b2=1.因?yàn)辄c(diǎn)C1,32在橢圓E上,所以1a2+94b2=1.由得,a2=4,b2=3.故橢圓E的方程為x24+y23=1.(2)設(shè)P(x0,y0),由PF1PF2=t,得(-1-x0,-y0)(1-x0,-y0)=t,即x02+y02=t+1.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓E上,所以x024+y023=1.由得y02=t+1-x02,代入,并整理得x02=4(t-2).由知,0x024,結(jié)合,解得2t3.故實(shí)數(shù)t的取值范圍為2,3.6.(選做題)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為12,短軸長為23.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于D,E兩點(diǎn),則在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M使得直線MD,ME的斜率互為相反數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解(1)據(jù)題意,得2b=23,ca=12,c2=a2-b2,解得a2=4,b2=3,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.(2)據(jù)題設(shè)知點(diǎn)F1(-1,0),當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+1).由y=k(x+1),x24+y23=1得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0.設(shè)E(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=-8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.設(shè)M(m,0),則直線MD,ME的斜率分別滿足kMD=y2x2-m,kME=y1x1-m.又因?yàn)橹本€MD,ME的斜率互為相反數(shù),所以kME+kMD=y1x1-m+y2x2-m=x2y1+x1y2-m(y1+y2)(x1-m)(x2-m)=0,所以x2y1+x1y2-m(y1+y2)=0,所以x2k(x1+1)+x1k(x