角和角的比較知識歸納及經(jīng)典習(xí)題

角（基礎(chǔ)）知識講解【高清課堂：角 角的概念】要點(diǎn)一、角的概念1 角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊要點(diǎn)詮釋：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角1.下列語句正確的是 ( C ) A兩條直線相交，組成的圖形叫做角 B兩條具有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形叫做角 C兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角 D過同一點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角【答案】【解析】根據(jù)角的定義判斷【總結(jié)升華】角不能僅僅看作是有公共端點(diǎn)的兩條射線，角的兩種描述中都隱含了組成角的一個重要元素，即兩條射線間的相對位置關(guān)系，這是角與“有公共端點(diǎn)的兩條射線”的重要區(qū)別舉一反三：【變式】判斷下列說法是否正確 (1)兩條射線組成的圖形叫做角 ( ) (2)平角是一條直線 ( ) (3)周角是一條射線 ( )2.角的表示法：角的幾何符號用“”表示，角的表示法通常有以下四種：要點(diǎn)詮釋：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫希臘字母寫出圖中(1)能用一個字母表示的角；(2)以B為頂點(diǎn)的角； (3)圖中共有幾個角(小于180). 【答案與解析】 解：(1)能用一個字母表示的角A、C (2)以B為頂點(diǎn)的角ABE、ABC、CBE (3)圖中共有7個角【總結(jié)升華】(1)頂點(diǎn)處只有一個角時，才可以用一個字母表示； (2)一般數(shù)角時不包括平角和大于平角的角已知：如圖，在AOE的內(nèi)部從O引出3條射線，求圖中共有多少個角？如果引出99條射線，則有多少個角？分析：在AOE的內(nèi)部從O點(diǎn)引出3條射線，那么在圖形中，以O(shè)為端點(diǎn)的射線共5條。其中，任意一條射線與其他4條射線都必構(gòu)成一個角（小于平角的角）。數(shù)角的時候要按一定的順序，從OE邊開始數(shù)，這樣可得到4+3+2+1個角，所以，這5條射線共組成角的個數(shù)為10個角。公式為：。同理，如果引出99條射線，那么，以O(shè)為頂點(diǎn)的射線共101條，構(gòu)成的角的個數(shù)為5050個。已知：如圖，在AOE的內(nèi)部從O引出3條射線，求圖中共有多少個角？如果引出99條射線，則有多少個角？分析：在AOE的內(nèi)部從O點(diǎn)引出3條射線，那么在圖形中，以O(shè)為端點(diǎn)的射線共5條。其中，任意一條射線與其他4條射線都必構(gòu)成一個角（小于平角的角）。數(shù)角的時候要按一定的順序，從OE邊開始數(shù)，這樣可得到4+3+2+1個角，所以，這5條射線共組成角的個數(shù)為10個角。公式為：。同理，如果引出99條射線，那么，以O(shè)為頂點(diǎn)的射線共101條，構(gòu)成的角的個數(shù)為5050個。3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30、45、60、90等特殊角（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角用量角器量角和畫角的一般步驟：對中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對齊)；重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))（3）角的和、差關(guān)系：利用三角板除了可以做出30、45、60、90外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15，75，105，120，135，150，165的角要點(diǎn)四、方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角例如，圖中射線OA的方向是北偏東60；射線OB的方向是南偏西30這里的“北偏東60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方位角要點(diǎn)詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60”一般不說成“東偏北30”；（3）在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個，在不同的觀測點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點(diǎn)O是觀測點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)A看B的方向是北偏東30，那么B看A的方向是( ) A南偏東60 B南偏西60 C南偏東30 D南偏西30【答案】D【解析】依題意畫出示意圖由圖可知，圖中1即表示從A看B的北偏東30，2是從B看A的方位角由此可確定從B看A是南偏西30【總結(jié)升華】從本例的分析與結(jié)果來看，從A看B與從B看A正好是一對對立的觀察過程，其方向是一種“相反”的對應(yīng)關(guān)系方位角的確定首先以什么點(diǎn)為基點(diǎn)（即人站在此處觀察）要弄清楚，再由正南或正北到視線夾角測量出來舉一反三：【變式】小王從家出發(fā)向南偏東30的方向走了1000米到達(dá)小軍家，此時小王家在小軍家的_方向【答案】北偏西30要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6，時針每小時轉(zhuǎn)30，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計算問題4時15分時針與分針的夾角.【答案與解析】 如圖（1），AOC30130， BOC0.5157.5 所以AOB37.5 即4時15分時針與分針的夾角為37.5【總結(jié)升華】求鐘表中時針與分針的夾角有兩種方法：第一種方法利用時針與分針的每分鐘轉(zhuǎn)速求解，比如解法一；第二種方法直接根據(jù)圖形求夾角，如解法二舉一反三：【變式】2時48分時針與分針的夾角【答案】 解法2：如圖(2) BOD304120， COD2612， AOB480.524， 所以AOCBOD+COD+AOB156即2時48分時針與分針的夾角為156要點(diǎn)二、角的比較與運(yùn)算1.角度制及其換算 角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1的角，1的為1分，記作“1”，1的為1秒，記作“1”這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制 1周角360，1平角180，160，160要點(diǎn)詮釋：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進(jìn)位 (1)把25.72分別用度、分、秒表示 (2)把451230化成度【思路點(diǎn)撥】第(1)題中25.72中含有兩部分25和0.72，只要把0.72化成分、秒即可第(2)題中，451230含有三部分45，12和30，其中45已經(jīng)是度，只要把12和30化成度即可【答案與解析】解：(1)0.720.726043.2，0.20.26012，所以25.72254312 (2)， 所以45123045.21【總結(jié)升華】無論由高級單位向低級化還是由低級單位向高級化，都必須逐級進(jìn)行，“越級”化單位容易出錯舉一反三：【變式】 (1)把26.29轉(zhuǎn)化為度、分、秒表示的形式； (2)把332436轉(zhuǎn)化成度表示的形式【答案】 (1)26.2926+0.2926+0.296026+17.426+17+0.4602617+24261724(2)33243633+24+3633+24+0.633+24.633+24.633.41【總結(jié)升華】在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后再進(jìn)行計算。3、已知：A=5024，B=50.24，C =501424”，那么下列各式正確的是（ ）A、ABC B、AB=C C、BCA D、B=CA2.角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種方法1：度量比較法先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小方法2：疊合比較法把其中的一個角移到另一個角上作比較如比較AOB和AOB的大小： 如下圖，由圖（1）可得AOBAOB；由圖(2)可得AOBAOB；由圖(3)可得AOBAOB3.角的和、差關(guān)系如圖所示，AOB是1與2的和，記作：AOB1+2；1是AOB與2的差，記作：1AOB-24.角平分線從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線如圖所示，OC是AOB的角平分線，AOB2AOC2BOC，AOCBOC =AOB要點(diǎn)詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣如圖所示，已知OC平分BOD，且BOC20，OB是AOD的平分線，求AOD的度數(shù)【答案與解析】解：因?yàn)镺C平分BOD，且BOC20， 所以BOD2BOC=22040 又OB是AOD的平分線， 所以AOD2BOD24080【總結(jié)升華】應(yīng)用角的平分線的定義時根據(jù)兩點(diǎn)：若OB是AOC的平分線，則AOBBOCAOC；AOC2AOB2BOC，在解題時要學(xué)會靈活應(yīng)用舉一反三：【變式】已知：如圖，OM是AOB的平分線，ON是BOC的平分線，AOC=80，求：MON. 【答案】OM平分AOB，ON平分COB，MOB=AOB，BON=BOC.(角平分線的定義)MON=MOB+BON =AOB+BOC=(AOB+BOC) =AOC=80=40 .即MON=40.圖中，AOB=BOC=COD=DOE，則有（1） =4AOB （2） = =3BOC（3） = = =1/2AOE（4） = =COE=1/2 =2/3 =2/3 如圖，已知AOB90，BOC30，OM平分AOC，ON平分BOC。（1）求MON的度數(shù)；（2）如果已知中AOB80，其他條件不變，求MON的度數(shù)；（3）如果已知中BOC60，其他條件不變，求MON的度數(shù)；（4）從（1）、（2）、（3）中你能看出有什么規(guī)律？（1）因OM平分AOC，所以MOCAOC。又ON平分BOC，所以NOCBOC。所以MONMOCNOCAOCBOCAOB。而AOB90，所以MON45。（2）當(dāng)AOB80，其他條件不變時，MON8040。（3）當(dāng)BOC60，其他條件不變時，MON45。（4）分析（1）、（2）、（3）的結(jié)果和（1）的解答過程可知：MON的大小總等于AOB的一半，而與銳角BOC的大小變化無關(guān)