練習(xí)題A解答.doc

綜合練習(xí)題A一.單項(xiàng)選擇題1.三階矩陣的特征值為，則下列矩陣中非奇異矩陣是（ ）A.； B. ； C.； D.答案：A 解 因?yàn)槿魹槿A矩陣的特征值，則，也即當(dāng)為矩陣的特征值時(shí)，矩陣為奇異矩陣. 由于不是矩陣的特征值，所以，即矩陣非奇異. 故答案A正確.2.與矩陣相似的矩陣是（ ）A.； B.； C.； D. 答案：C解 由于答案A，B，C，D均為上三角矩陣，其特征值均為，它們是否與矩陣相似，取決于對(duì)應(yīng)特征值四個(gè)矩陣與單位矩陣的差的秩是否為1，即.由于只有答案C對(duì)應(yīng)的，即對(duì)應(yīng)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，所以答案C正確.3.二次型的矩陣是（ ）.A.； B. ； C. ； D. 答案：C 解 因?yàn)?，所以二次型矩陣為，故答案C正確.4.對(duì)于二次型，其中為階實(shí)對(duì)稱矩陣，下述各結(jié)論中正確的是（ ）.A.化為標(biāo)準(zhǔn)形的可逆線性變換是唯一的；B.化為規(guī)范形的可逆線性變換是唯一的；C.的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的； D.的規(guī)范形是唯一的.答案：D解 因?yàn)槎涡偷囊?guī)范形是唯一的，所以答案D正確，而答案A,B,C均不正確.故答案D正確. 二、解答下列各題1.試證:由所生成的向量空間就是.證設(shè) ，因?yàn)橛谑?，故線性無(wú)關(guān).由于均為三維且秩為3. 所以為此三維空間的一組基，故由所生成的向量空間就是.2.利用施密特正交化方法，將向量組化為正交的單位向量組解 令=，=， =，=（，再將向量組單位化，即得到正交的單位向量組 3.判別矩陣是否對(duì)角化？若可對(duì)角化，試求可逆矩陣，使為對(duì)角陣解 矩陣的特征多項(xiàng)式為=由，得矩陣的特征值為對(duì)于，解齊次線性方程組，可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.對(duì)于，解齊次線性方程組，可得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，.由于有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故可對(duì)角化令 則4.求一個(gè)正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.解 二次型的矩陣為，其特征多項(xiàng)式為令，得矩陣的特征值為當(dāng)時(shí), 解方程組，由. 得基礎(chǔ)解系 . 當(dāng)時(shí)，解方程，由 得基礎(chǔ)解系 . 當(dāng)時(shí)，解方程，由 得基礎(chǔ)解系 .將單位化，得,于是正交變換為. 且標(biāo)準(zhǔn)形為 5.判別二次型=是否為正定二次型.解 二次型的矩陣為.由于，即的一切順序主子式都大于零，故此二次型為正定的.三、證明題如果為階實(shí)對(duì)稱矩陣，為階正交矩陣，證