第二類曲線積分

.,第十章,第二節(jié),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,第二類曲線積分,二、第二類曲線積分的概念與性質(zhì),一、向量場,三、第二類曲線積分的計算,.,一、向量場,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,畫向量場,.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,梯度場和保守場,.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,解:,.,二、對坐標(biāo)的曲線積分,定向曲線與切向量：,定向曲線：帶有確定走向的一條曲線。,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,則L的切向量為：,.,分割,解:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,“分割,近似,求和,取極限”,求變力沿曲線所作的功，利用,近似,例：求變力F沿曲線L所作的功。,.,求和:,取極限:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,向量形式,坐標(biāo)形式,則,.,對坐標(biāo)的曲線積分的定義：,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,上式也稱為第二類曲線積分的向量形式。,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,第二類曲線積分也稱為向量場的線積分。,.,說明：,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,基本性質(zhì),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,性質(zhì)1：,性質(zhì)2：,性質(zhì)3：,.,第二類曲線積分的坐標(biāo)表示,設(shè),則,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,令,若上式左端的極限存在，則右端的極限也存在,記為,上式右端稱為第二類曲線積分的坐標(biāo)表示。,.,（2）若,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,上式右端稱為第二類曲線積分的坐標(biāo)表示。,.,則,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,三、兩類曲線積分之間的關(guān)系,.,證明：,于是有,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,即,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,平面曲線的情況完全類似推導(dǎo)。,故,.,解1：,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,解2：,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,解：,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,于是,.,四、對坐標(biāo)的曲線積分的計算,定理（平面曲線的情形）,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,證明：,.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,注意：a未必小于b。,.,特殊情形,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,(4)若曲線L的方程為極坐標(biāo)方程：,先化成參數(shù)方程：,然后用公式計算。,.,定理（空間曲線的情形）,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,注意：兩類曲線積分之間區(qū)別,（1）第一類曲線積分是數(shù)量函數(shù)對弧長的積分；第二類曲線積分是向量函數(shù)的各分量函數(shù)對坐標(biāo)的積分。,（2）第一類曲線積分與路徑的方向無關(guān)，化成定積分時，下限總小于上限；第二類曲線積分與路徑的方向有關(guān)（方向改變，積分值變號），化成定積分時，下限未必小于上限。,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,（2）對于第二類曲線積分，當(dāng)積分弧L是垂直于某坐標(biāo)軸的直線段AB時，對該坐標(biāo)的積分為零，即,空間曲線上的第二類曲線積分也有類似的性質(zhì)。,說明：,（1）在第二類曲線積分中，由于涉及積分曲線的方向問題，因此要慎用對稱性。一般情況下，應(yīng)在曲線積分化為定積分后再考慮能否利用對稱性來化簡計算。,.,例3:,解:,原式,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,例4：,解：,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,一般情況下，第二類曲線積分的值，不僅與積分路徑的起點或終點有關(guān)，而且與積分路經(jīng)本身有關(guān)。即被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同。,例3說明：,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,在有些情況下，第二類曲線積分的值，僅與積分路徑的起點或終點有關(guān)，而與積分路經(jīng)本身無關(guān)。即被積函數(shù)相同，起點和終點也相同，路徑不同積分但結(jié)果相同。,例4說明：,.,例5.求,其中L是雙紐線的右半支,逆時針方向。,解:L的極坐標(biāo)方程是：,L的參數(shù)方程是：,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,奇函數(shù),.,例6.求,其中,從z軸正向看為順時針方向.,解:取的參數(shù)方程,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,例7.,解:,動到,向坐標(biāo)原點，,其大小與作用點到xoy面的距離成反比。,沿直線移,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,例8：,解：,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,如圖,則,.,例9：,解：,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,則在t時刻：,單位時間流出的油漆為：,.,1.定義,2.性質(zhì),(1)L可分成k條有向光滑曲線弧,(2)L表示L的反向弧,對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!,內(nèi)容小結(jié),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,3.計算,對有向光滑弧,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,若曲線L的方程為極坐標(biāo)方程：,先化成參數(shù)方程：,然后用公式計算。,.,對空間有向光滑弧:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,區(qū)別：,第一類曲線積分與路徑的方向無關(guān)，化成定積分時，下限總小于上限；,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,第二類曲線積分與路徑的方向有關(guān)（方向改變，積分值變號），化成定積分時，下限未必小于上限。,4.兩類曲線積分的聯(lián)系與區(qū)別,聯(lián)系：,.,作業(yè),習(xí)題9-2(P250)1(3)(6)(7)(8)；2(2)(4);3;5；7,第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,1、,解,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,備用題,.,解：,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,3.已知,為折線ABCOA(如圖),計算,提示:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,原點O的距離成正比,4、設(shè)一個質(zhì)點在,處受,恒指向原點,沿橢圓,此質(zhì)點由點,逆時針移動到,提示:,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,5.,將積分,化為對弧長的積,分,解1：,其中L沿上半圓周,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,5.,將積分,化為對弧長的積,分,解2：,其中L沿上半圓周,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,.,6：設(shè)在力場,作用下,質(zhì)點由,沿移動到,解:(1),(2)的參數(shù)方程為,試求力場對質(zhì)點所作的功.