固體物理習(xí)題解答ppt課件

1,固體物理學(xué)作業(yè),2,第一章思考題,1、簡(jiǎn)述晶態(tài)、非晶態(tài)、單晶、多晶、準(zhǔn)晶的特征和性質(zhì),答：主要區(qū)別在微結(jié)構(gòu)有序度。固體中微觀組成粒子(原子、離子、分子)在空間排列有序，具有微米數(shù)量級(jí)以上的三維平移周期性，這種具有長(zhǎng)程有序態(tài)的固體稱為晶態(tài)固體(晶體)，否則為非晶態(tài)。晶體中微觀組成粒子空間排列有序存在于整個(gè)固體中，稱為單晶體。多晶體由許多單晶體隨機(jī)堆砌而成。單晶體，具有以下性質(zhì)：(1)規(guī)則幾何外形；(2)各向異性物理性質(zhì)，(3)確定的熔點(diǎn)。多晶體不具有規(guī)則的外形，物理性質(zhì)不表現(xiàn)各向異性。非晶體不具有確定的熔點(diǎn)。,3,2、晶體結(jié)構(gòu)可分成布拉菲格子和復(fù)式格子嗎？,第一章思考題,答：可以。以原子為結(jié)構(gòu)參考點(diǎn)，可以把晶體分成布拉菲格子和復(fù)式格子。任何晶體，以基元為結(jié)構(gòu)參考點(diǎn)，都是布拉菲格子描述。任何化合物晶體，都可以復(fù)式格子描述？不是所有的單質(zhì)晶體，都是布拉菲格子描述？單質(zhì)晶體，以原子為結(jié)構(gòu)參考點(diǎn)，也可以分成布拉菲格子和復(fù)式格子？,4,3、引入倒格子有什么實(shí)際意義？對(duì)于一定的布拉菲格子，基矢選擇不唯一，它所對(duì)應(yīng)的倒基矢也不唯一，因而有人說(shuō)一個(gè)布拉菲格子可以對(duì)應(yīng)于幾個(gè)倒格子，對(duì)嗎？復(fù)式格子的倒格子也是復(fù)式格子嗎？,第一章思考題,答：引入倒格子概念，對(duì)分析和表述有關(guān)晶格周期性的各種問(wèn)題非常有效，如：晶體X射線衍射，晶體周期函數(shù)的傅里葉變換。布拉菲格子不可以對(duì)應(yīng)于幾個(gè)倒格子?；高x擇不唯一，但定義的布拉菲格子是唯一確定的；同樣，倒基矢選擇不唯一，但定義的倒格子是唯一確定的。因此，給定布拉菲格子對(duì)應(yīng)唯一確定的倒格子。倒格子定義在布拉菲格子概念上，而非復(fù)式格子。表達(dá)晶體結(jié)構(gòu)周期性，以基元為格點(diǎn)的布拉菲格子是唯一的。,5,4、當(dāng)描述同一晶面時(shí)，密勒指數(shù)(hkl)與晶面指數(shù)(h1h2h3)一定相同嗎？,第一章思考題,答：不一定相同。密勒指數(shù)和晶面指數(shù)都定義為晶面在給定坐標(biāo)軸上的截距倒數(shù)互質(zhì)整數(shù)比。但是，密勒指數(shù)是在晶胞基矢為坐標(biāo)軸上定義的，而晶面指數(shù)是在原胞基矢為坐標(biāo)軸上定義的。因此，只當(dāng)晶胞基矢和原胞基矢一致時(shí)，同一晶面的密勒指數(shù)和晶面指數(shù)才能相同。一般情況下，同一晶面密勒指數(shù)(hkl)與晶面指數(shù)(h1h2h3)不相同。由于簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)的晶胞基矢和原胞基矢一致，因此，簡(jiǎn)單立方結(jié)構(gòu)的同一晶面密勒指數(shù)(hkl)與晶面指數(shù)(h1h2h3)相同。,6,5、試畫(huà)出體心立方和面心立方(100)、(110)、(111)面上格點(diǎn)的分布圖。,第一章思考題,體心立方,面心立方,(100),(110),(111),7,6、怎樣判斷一個(gè)體系對(duì)稱性的高低？討論對(duì)稱性有何物理意義。,第一章思考題,答：一個(gè)物理體系對(duì)稱性用其具有的對(duì)稱操作集合來(lái)描述。一個(gè)體系具有的對(duì)稱操作越多，其對(duì)稱性就越高。在數(shù)學(xué)上，基本操作的集合構(gòu)成“群”，每個(gè)基本操作稱為群的一個(gè)元素。由于晶格周期性限制，描述晶體宏觀對(duì)稱性的“點(diǎn)群”只有32種。描述晶體微觀對(duì)稱性的“空間群”只有230種。一個(gè)物理體系，如知道其幾何對(duì)稱性，就可在一定程度上確定它的某些物理性質(zhì)。例如，若原子結(jié)構(gòu)具有中心反演對(duì)稱性，則原子無(wú)固定偶極矩；若一個(gè)體系具有軸對(duì)稱性，偶極矩必在對(duì)稱軸上；若有對(duì)稱面，偶極矩必在對(duì)稱面上。由此可見(jiàn)，不必討論體系結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)，僅從體系的對(duì)稱性，就可對(duì)其物理性質(zhì)作出某些判斷。對(duì)稱理論已成為定性和半定量研究物理問(wèn)題的重要方法。,8,第一章習(xí)題,1.1何謂布拉菲格子？畫(huà)出NaCl晶格所構(gòu)成的布拉菲格子，說(shuō)明基元代表點(diǎn)構(gòu)成的格子是面心立方晶體，每個(gè)原胞中含幾個(gè)格點(diǎn)？,解：由基元代表點(diǎn)-格點(diǎn)-形成的晶格稱為布拉菲格子或布拉菲點(diǎn)陣。它的特征是每個(gè)格點(diǎn)周圍的情況(包括周圍的格點(diǎn)數(shù)目和格點(diǎn)配置的幾何方位等)完全相同。,基元由相鄰的一個(gè)Na+和一個(gè)Cl構(gòu)成，基元代表點(diǎn)(如：Na+位置)構(gòu)成面心立方晶格。,每個(gè)原胞中含一個(gè)格點(diǎn)。,9,第一章習(xí)題,1.2在下面的例子中，其結(jié)構(gòu)是不是布拉菲格子？如果是，寫(xiě)出它的基矢；如果不是，能否挑選合適的格點(diǎn)組成基元，使基元的重心構(gòu)成布拉菲格子？,(1)底心立方格子；(2)邊心立方格子；(3)蜂窩二維格子。,底心立方格子,是簡(jiǎn)單四方格子,邊心立方格子,不是布拉菲格子,不是布拉菲格子,10,1.3對(duì)于面心立方晶格，如果取晶胞的三邊為基矢，某一族晶面的密勒指數(shù)為(hkl)，問(wèn)，如果取原胞的三邊為基矢，該族晶面的晶面指數(shù)是多少？,解：已知，面心立方晶格某晶面密勒指數(shù)(hkl)，求該晶面指數(shù)(h1h2h3)。,a3,設(shè)晶面(hkl)在底面截線,第一章習(xí)題,11,同理,第一章習(xí)題,12,1.4如果基矢a,b,c構(gòu)成正交晶系，試證明晶面族(hkl)的面間距為,第一章習(xí)題,證明：設(shè)n為該晶面系的法線方向，密勒指數(shù)(hkl)與n,a,b,c及d有如下關(guān)系。,對(duì)于正交晶系，,證畢。,13,1.5試求面心立方結(jié)構(gòu)和體心立方結(jié)構(gòu)具有最大面密度的晶面族，并寫(xiě)出計(jì)算這個(gè)最大面密度的表示式。,第一章習(xí)題,解：由格點(diǎn)面密度與面間距d關(guān)系式hkl=dhkl，知晶體格點(diǎn)體密度和面間距d，可求晶面族(hkl)格點(diǎn)面密度表達(dá)式。已知，面心立方和體心立方晶胞格點(diǎn)體密度分別為4/a3和2/a3。密勒指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面系，其面間距d較大，格點(diǎn)面密度也較大。比較(100)，(110)，(111)晶面，可知面心立方(111)晶面和體心立方(110)晶面的格點(diǎn)面密度最大。根據(jù),14,1.7證明體心立方格子和面心立方格子互為倒格子。,第一章習(xí)題,證明：根據(jù)BCC和FCC基矢表達(dá)式，,要求同學(xué)通過(guò)矢量運(yùn)算，證明得出結(jié)論：,和倒格子基矢定義,15,第四章思考題,1、能帶理論作了哪些近似和假定？得到哪些結(jié)果？,答：能帶理論是近似理論。它作了絕熱近似、平均場(chǎng)近似和周期勢(shì)場(chǎng)假定。絕熱近似視固體中原子核(離子實(shí))靜止不動(dòng)，價(jià)電子在固定不變的離子實(shí)勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)。通過(guò)絕勢(shì)近似將電子系統(tǒng)和原子核(離子實(shí))系統(tǒng)分開(kāi)考慮。平均場(chǎng)近似視固體中每個(gè)電子所處的勢(shì)場(chǎng)都相同，使每個(gè)電子所受勢(shì)場(chǎng)只與該電子位置有關(guān)，而與其它電子位置無(wú)關(guān)。通過(guò)平均場(chǎng)近似使所有電子都滿足同樣的薛定鄂方程。通過(guò)絕熱近似和平均場(chǎng)近似，將一個(gè)多粒子體系問(wèn)題簡(jiǎn)化為單電子問(wèn)題。絕熱近似和平均場(chǎng)近似也稱為單電子近似。周期勢(shì)場(chǎng)假定則認(rèn)為電子所受勢(shì)場(chǎng)具有晶格平移周期性。通過(guò)以上近似和假定，最終將一個(gè)多粒子體系問(wèn)題變成在晶格周期勢(shì)場(chǎng)中的單電子的薛定鄂方程定態(tài)問(wèn)題。,16,第四章思考題,2、周期場(chǎng)是能帶形成的必要條件嗎？,答：周期場(chǎng)是由布洛赫函數(shù)描述的能帶結(jié)構(gòu)的必要條件。布洛赫定理推導(dǎo)出周期場(chǎng)中單電子狀態(tài)的一般屬性(主要是能帶結(jié)構(gòu)，參見(jiàn)圖4.2-1一維能帶結(jié)構(gòu)的表示圖式)，而晶格周期勢(shì)場(chǎng)是布洛赫定理的前提條件。在晶體周期性結(jié)構(gòu)(平移對(duì)稱性)中，電子波函數(shù)(k)是布洛赫函數(shù)，能量本征值和本征函數(shù)在k空間具有倒格矢反演和周期性，電子波矢k是與平移對(duì)稱性相聯(lián)系的量子數(shù)。非晶態(tài)也具有相似的基本能帶結(jié)構(gòu)，即：導(dǎo)帶、價(jià)帶和禁帶。但非晶態(tài)的電子態(tài)與晶態(tài)比較有本質(zhì)區(qū)別。非晶態(tài)不存在周期性，因此k不再是具有類似特征的量子數(shù)。非晶態(tài)能帶中電子態(tài)分?jǐn)U展態(tài)和局域態(tài)二類。擴(kuò)展態(tài)的電子為整個(gè)固體共有，可在整個(gè)固體內(nèi)找到，在外場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)類似晶體中電子；局域態(tài)的電子基本局限在某一區(qū)域，狀態(tài)波函數(shù)只能在圍繞某一不大的尺度內(nèi)顯著不為零，它們依靠聲子協(xié)助，進(jìn)行跳躍式導(dǎo)電。,17,第四章思考題,3、按自由電子近似，禁帶產(chǎn)生的原因是什么？緊束縛近似呢？,答：按自由電子近似，零級(jí)近似波函數(shù)是平面波，它在晶體中傳播如同X射線。當(dāng)波矢k不滿足布拉格條件時(shí)，晶格的影響很弱，電子幾乎不受阻礙地通過(guò)晶體。但當(dāng)k=n/a(處在布里淵區(qū)邊界)，波長(zhǎng)=2/k=2a/n正好滿足布拉格反射條件，受到晶格的全反射，反射波和入射波干涉形成駐波，使電子分布密度發(fā)生變化。一部分主要分布在離子實(shí)之間，受離子實(shí)吸引較弱，勢(shì)能較高，一部分主要分布在離子實(shí)周圍，受離子實(shí)吸引較強(qiáng)，勢(shì)能較低。由此出現(xiàn)能隙。按緊束縛近似，原來(lái)孤立原子的每一能級(jí)，當(dāng)原子相互接近組成晶體時(shí)，由于原子間的相互作用就構(gòu)成一個(gè)能帶，若原子間距離越小，原子波函數(shù)間交疊越多，相互作用越大，能帶寬度就越寬。,18,由于晶體原胞數(shù)N很大，倒格子原胞體積很小，k在波矢空間準(zhǔn)連續(xù)取值，因此，同一能帶中相鄰k值的能量差別很小，所以En(k)可近似看成是k的準(zhǔn)連續(xù)函數(shù)。,第四章思考題,4、一個(gè)能帶有N個(gè)準(zhǔn)連續(xù)能級(jí)的物理原因是什么？,答：能量本征值En(k)與n和k有關(guān)；對(duì)給定n，En(k)在波矢空間具有倒格子周期性，因此，電子波矢k可限制在第一布里淵區(qū)；在周期性邊界條件下，k分立取值個(gè)數(shù)為晶體原胞數(shù)N；En(k)包含由于k的不同取值所對(duì)應(yīng)的許多能級(jí)，稱為一個(gè)能帶。,19,第四章思考題,5、近自由電子模型和緊束縛模型有何特點(diǎn)？它們有共同之處嗎？,答：近自由電子近似模型是當(dāng)晶格周期勢(shì)場(chǎng)起伏很小，電子的行為很接近自由電子時(shí)采用的處理方法。作為零級(jí)近似，用晶格平均勢(shì)場(chǎng)代替晶格勢(shì)場(chǎng)，以自由電子的波函數(shù)為零級(jí)近似波函數(shù)。將晶格勢(shì)場(chǎng)與平均勢(shì)場(chǎng)的差，作為微擾求解薛定鄂方程。緊束縛近似模型是當(dāng)晶格周期勢(shì)場(chǎng)起伏顯著，電子在某一個(gè)原子附近主要受到該原子勢(shì)場(chǎng)作用時(shí)采用的處理方法。作為零級(jí)近似，用孤立原子勢(shì)場(chǎng)代替晶格勢(shì)場(chǎng)，以自由原子中電子的波函數(shù)為零級(jí)近似波函數(shù)。將其它原子勢(shì)場(chǎng)的作用作為微擾求解薛定鄂方程。它們共同之處，將電子所受主要?jiǎng)輬?chǎng)代替晶格勢(shì)場(chǎng)，并以此選擇零級(jí)近似波函數(shù)，將主要?jiǎng)輬?chǎng)以外的其它勢(shì)場(chǎng)的影響作為微擾，采用量子力學(xué)微擾理論求解薛定鄂方程。,20,第四章思考題,6、試述晶體電子作準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的條件和準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本公式。,答：量子力學(xué)采用準(zhǔn)經(jīng)典模型來(lái)描述晶體電子對(duì)外場(chǎng)的響應(yīng)，并用布洛赫波組成波包，用波包群速度對(duì)應(yīng)經(jīng)典粒子在外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。,由此可見(jiàn)，用準(zhǔn)經(jīng)典模型描述晶體電子對(duì)外場(chǎng)響應(yīng)的條件：這一外場(chǎng)相對(duì)波包范圍變化緩慢，從而相對(duì)晶體原胞范圍變化更為緩慢。,根據(jù)波包定義：,這是因?yàn)?，從測(cè)不準(zhǔn)原理xk1，ka/2。即：當(dāng)波包波矢范圍k比布里淵區(qū)尺度小得多，則波包在晶體空間的范圍將覆蓋許多原胞。,只要令波包的波矢范圍k相對(duì)布里淵區(qū)尺度為小量，即：k2/a，則En(k)可代表這一波包內(nèi)所有電子的狀態(tài)？,21,第四章思考題,6、試述晶體電子作準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的條件和準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本公式。,因此，準(zhǔn)經(jīng)典模型是將變化周期遠(yuǎn)大于波包范圍和晶體原胞尺度的外場(chǎng)采用經(jīng)典理論處理，將變化周期遠(yuǎn)小于波包范圍的晶格周期勢(shì)場(chǎng)采用量子理論結(jié)果。,準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)的基本公式：波包的群速度等于晶體電子作為經(jīng)典粒子后的平均速度；并由此導(dǎo)出晶體電子在外場(chǎng)作用下的動(dòng)力學(xué)方程、加速度、準(zhǔn)動(dòng)量和有效質(zhì)量。,22,第四章思考題,7、試述有效質(zhì)量、空穴的意義，引入它們有什么用處？,答：關(guān)于有效質(zhì)量：有效質(zhì)量是在討論晶體電子在外場(chǎng)作用下的加速度時(shí)引入的物理量，F(xiàn)=m*a。有效質(zhì)量是張量，因此電子的加速度一般與外力方向不一致，這是因?yàn)殡娮映耸芡饬ψ饔猛猓€受到晶格周期勢(shì)場(chǎng)的作用，這個(gè)作用由有效質(zhì)量概括。有效質(zhì)量與電子狀態(tài)有關(guān)，是波矢k的函數(shù)me*(k)；有效質(zhì)量可以取正值，也可以取負(fù)值。引入有效質(zhì)量，概括了晶格周期勢(shì)場(chǎng)，晶體電子在外力下運(yùn)動(dòng)，在形式上仍有經(jīng)典動(dòng)力學(xué)方程。引入有效質(zhì)量，在能帶極值附近的電子可以看成是具有有效質(zhì)量的自由電子。,23,第四章思考題,7、試述有效質(zhì)量、空穴的意義，引入它們有什么用處？,關(guān)于空穴：空穴是在討論半導(dǎo)體滿帶(價(jià)帶)電子受激發(fā)到達(dá)空帶，使?jié)M帶留下一個(gè)空狀態(tài)成為近滿帶的導(dǎo)電行為時(shí)引入的概念。一個(gè)k狀態(tài)空著的能帶所產(chǎn)生的電流與一個(gè)帶正電荷e，以該狀態(tài)的電子速度V(k)運(yùn)動(dòng)的粒子所產(chǎn)生的電流相同，我們稱這種空的狀態(tài)為“空穴”?？昭ㄔ谕鈭?chǎng)下的運(yùn)動(dòng)，可以看成是一個(gè)帶正電荷e，具有正的有效質(zhì)量mh*(k)的粒子。引入空穴，使得對(duì)一個(gè)近滿帶(2N-1)電子在外場(chǎng)下行為的描述轉(zhuǎn)化為對(duì)一個(gè)空穴的描述。引入空穴，對(duì)于解釋半導(dǎo)體及一些物理現(xiàn)象起著重要作用，如：可以用來(lái)解釋某些材料霍爾系數(shù)為正的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。,24,第四章習(xí)題,4.1周期場(chǎng)中電子的波函數(shù)k(r)應(yīng)是布洛赫波，若一維晶格常數(shù)為a，電子波函數(shù)為試求這些電子態(tài)的波矢。,解：根據(jù)布洛赫定理,25,第四章習(xí)題,26,第四章習(xí)題,27,第四章習(xí)題,4.2電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能為其中a=4b，為常數(shù)。(1)試畫(huà)出勢(shì)能曲線，并求其平均值。(2)用近自由電子近似模型求出晶體的第一和第二禁帶寬度。,解：(1)示意勢(shì)能曲線,周期為a=4b,28,第四章習(xí)題,(1)求平均值,根據(jù)周期性,29,第四章習(xí)題,(2)求第1個(gè)能隙寬度,30,第四章習(xí)題,(2)求第2個(gè)能隙寬度,31,第四章習(xí)題,4.6一維晶格中，用緊束縛近似及最近鄰近似，求S態(tài)電子的能譜E(k)的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有效質(zhì)量。,解：已知，在緊束縛近似及最近鄰近似下,對(duì)于一維晶格，令晶格常數(shù)為a，S態(tài)相互作用積分為，,能譜表示式,帶寬,32,第四章習(xí)題,4.6一維晶格中，用緊束縛近似及最近鄰近似，求S態(tài)電子的能譜E(k)的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有效質(zhì)量。,有效質(zhì)量表示式,帶頂有效質(zhì)量,帶底有效質(zhì)量,根據(jù),33,第四章習(xí)題,4.7二維正方格子的晶格常數(shù)為a，用緊束縛近似及最近鄰近似，求S態(tài)電子的能譜E(k)的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有效質(zhì)量。,解：已知，在緊束縛近似及最近鄰近似下,令S態(tài)相互作用積分為，,能譜表示式,帶寬,34,第四章習(xí)題,4.7二維正方格