高中數(shù)學(xué)必修四知識點..大全

精品教育知識點串講 必修四第一章：三角函數(shù)1.11 任意角1、角的有關(guān)概念： 角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形 始邊終邊頂點AOB角的名稱： 角的分類： 零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 2、象限角的概念： 定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊(端點除外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角終邊相同的角的表示：所有與角終邊相同的角，連同在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S | = + k360 ，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整個周角的和注意： kZ 是任一角； 終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同終邊相同的角有無限個，它們相差360的整數(shù)倍； 角 + k720 與角終邊相同，但不能表示與角終邊相同的所有角3、寫出終邊在y軸上的角的集合(用0到360的角表示) 解: | = 90+ n180,nZ4、已知角是第三象限角，則2，各是第幾象限角？解：角屬于第三象限， k360+180k360+270(kZ)因此，2k360+36022k360+540(kZ)即(2k +1)3602(2k +1)360+180(kZ)故2是第一、二象限或終邊在y軸的非負半軸上的角又k180+90k180+135(kZ) 當k為偶數(shù)時，令k=2n(nZ)，則n360+90n360+135(nZ) ，當k為奇數(shù)時，令k=2n+1 (nZ)，則n360+270n360+315(nZ) ，因此屬于第二或第四象限角1.1.2弧度制1、弧度制我們規(guī)定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制在弧度制下, 1弧度記做1rad在實際運算中，常常將rad單位省略2、弧度制的性質(zhì)：半圓所對的圓心角為 整圓所對的圓心角為正角的弧度數(shù)是一個正數(shù) 負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)零角的弧度數(shù)是零 角的弧度數(shù)的絕對值|=3、弧長公式 弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對值與半徑的積證法一:圓的面積為,圓心角為1rad的扇形面積為,又扇形弧長為l,半徑為R, 扇形的圓心角大小為rad, 扇形面積證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為n，則在角度制下的扇形面積公式為，又此時弧長，可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡潔得多1.2.1任意角的三角函數(shù)1、三角函數(shù)定義在直角坐標系中，設(shè)是一個任意角，終邊上任意一點（除了原點）的坐標為，它與原點的距離為，那么（1）比值叫做的正弦，記作，即； （2）比值叫做的余弦，記作，即； （3）比值叫做的正切，記作，即； （4）比值叫做的余切，記作，即； 2三角函數(shù)的定義域、值域函 數(shù)定 義 域值 域3、求函數(shù)的值域解： 定義域：cosx0 x的終邊不在x軸上 又tanx0 x的終邊不在y軸上當x是第象限角時， cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 , |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx y=-2, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx y=04、誘導(dǎo)公式5、三角函數(shù)線的定義：設(shè)任意角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點，過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點.（）（）（）（） 由四個圖看出：當角的終邊不在坐標軸上時，有向線段，于是有， ，我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。說明：（1）三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向與的終邊的交點。（3）三條有向線段的正負：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的為負值。（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。6、利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。? 與 2 與 解： 如圖可知： tan tan 1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、 由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系：1. （1）商數(shù)關(guān)系： （2）平方關(guān)系：2、已知，并且是第二象限角，求 解：， 又是第二象限角， ，即有，從而， 3、已知，求 4、求證：證法一：由題義知，所以左邊=右邊原式成立證法二：由題義知，所以又，證法三：由題義知，所以，13誘導(dǎo)公式1、誘導(dǎo)公式（一）誘導(dǎo)公式（二）誘導(dǎo)公式（三）誘導(dǎo)公式（四）sin(pa)=sina cos(p a)=cosa tan (pa)=tana誘導(dǎo)公式(五)誘導(dǎo)公式（六）2、化簡：3、4、化簡: 5、1.4.1正弦、余弦函數(shù)的圖象1、正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線2、用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（描點法）：正弦函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函數(shù)y=cosx x0,2p的五個點關(guān)鍵是哪幾個？(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)3、別利用函數(shù)的圖象和三角函數(shù)線兩種方法，求滿足下列條件的x的集合： 1.4.2 正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)1、奇偶性： y=cosx是偶函數(shù) y=sinx是奇函數(shù)。2、單調(diào)性正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間2k，2k(kZ)上都是增函數(shù)，其值從1增大到1；在每一個閉區(qū)間2k，2k(kZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到1.余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間(2k1)，2k(kZ)上都是增函數(shù)，其值從1增加到1；在每一個閉區(qū)間2k，(2k1)(kZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到1.3、有關(guān)對稱軸觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知y=sinx的對稱軸為x= kZ y=cosx的對稱軸為x= kZ4、判斷下列函數(shù)的奇偶性 (1) (2)1.4.3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象1、正切函數(shù)的定義域是什么？ 2、，且的圖象，稱“正切曲線”。y0x 3、正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域：；（2）值域：R 觀察：當從小于，時， 當從大于，時，。（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；（5）單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。4、求下列函數(shù)的周期：（1） 答：。 （2） 答：。說明：函數(shù)的周期5、求函數(shù)的定義域、值域，指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性， 解：1、由得，所求定義域為2、值域為R，周期， 3、在區(qū)間上是增函數(shù)。1.5函數(shù)y=Asin(wx+j)(A0，w0)的圖象1、函數(shù)y = Asin(wx+j)，(A0，w0)的圖像可以看作是先把y = sinx的圖像上所有的點向左(j0)或向右(j0)平移|j|個單位，再把所得各點的橫坐標縮短(w1)或伸長(0w1)或縮短(0A 0，(a)b =|a|b|cosq， (ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cosq，若 0，(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(ab) =|a|b|cosq，a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc說明：（1）一般地，()（）（2），0（3）有如下常用性質(zhì)：，（）（）5、已知|a|=12， |b|=9，求與的夾角。6、已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求：（1）(a+2b)(a-3b). （2）|a+b|與|a-b|. （ 利用 ） 7、已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直. 2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角1、平面兩向量數(shù)量積的坐標表示兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和.即2、平面內(nèi)兩點間的距離公式 （1）設(shè)，則或. （2）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、， 那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式)3、 向量垂直的判定設(shè)，則4、 兩向量夾角的余弦（） cosq =5、已知a（，），b（，），則a與b的夾角是多少?分析：為求a與b夾角，需先求ab及ab，再結(jié)合夾角的范圍確定其值.解：由a（，），b（，）有ab（），a，b記a與b的夾角為，則 又，評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應(yīng)注重角的范圍的確定.6、在ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且ABC的一個內(nèi)角為直角，求k值.解：當A = 90時，= 0，21 +3k = 0 k = 當B = 90時，= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 當C = 90時，= 0，-1 + k(k-3) = 0 k = 2.5.1平面幾何中的向量方法例1. 已知AC為O的一條直徑，ABC為圓周角.求證：ABC90o.證明：設(shè) 2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例1、如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d500 m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸.已知船的速度|10 km/h，水流速度|2 km/h，問行駛航程最短時，所用時間是多少（精確到0.1 min）？第三章：三角恒等變換3.1.1 兩角差的余弦公式1、兩角和差的余弦公式：2、利用和、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、構(gòu)造成兩個特殊角的和、差. 3、已知，是第三象限角，求的值.解：因為，由此得又因為是第三象限角，所以所以3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（一）1、 2、3、已知求的值（）4、利用和（差）角公式計算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、解：（1）、；（2）、；（3）、3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（二）1、化簡解： 2、歸納：3、已知：函數(shù)（1） 求的最值。（2）求的周期、單調(diào)性。4、已知A、B、C為ABC的三內(nèi)角，向量，且，（1） 求角A。（2）若，求tanC的值。3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式1、；注意： 2、已知求的值解：由得又因為于是；3、在ABC中，4、已知求的值解：，由此得解得或5、已知3.2簡單的三角恒等變換1、試以表示解：我們可以通過二倍角和來做此題因為，可以得到；因為，可以得到又因為2、已知，且在第二象限，求的值。3、求證：（）、；（）、證明：（）因為和是我們所學(xué)習(xí)過的知識，因此我們從等式右邊著手；兩式相加得；即；（）由（）得；設(shè)，那么把的值代入式中得4、 ；解：（1）由得（2）5、解： .6、已知函數(shù)（1） 求的最小正周期，（2）當時，求的最小值及取得最小值時的集合7、把一段半徑為R的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法能使橫截面的面積