小學5年級全冊數(shù)學知識點匯總第5講：排列（教師版）

第5講 排列 乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n個步驟，其中，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么，完成這件事一共有N=m1m2mn種不同的方法加法原理：一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有種不同做法，第二類方法中有種不同做法，第k類方法中有種不同的做法，則完成這件事共有N=m1m2mn種不同的方法排列的定義：一般地，從n個不同的元素中任取出m個（mn）元素，按照一定的順序排成一列叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列由排列的定義可以看出，兩個排列相同，不僅要求這兩個排列中的元素完全相同，而且各元素的先后順序也一樣如果兩個排列的元素不完全相同或者各元素的排列順序不完全一樣，則這就是兩個不同的排列從n個不同元素中取出m個（mn）元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，我們把它記作。一般地，從n個不同元素中取出m個元素（mn）排成一列的問題，可以看成是從n個不同元素中取出m個，排在m個不同的位置上的問題，而排列數(shù)就是所有可能排法的個數(shù)。那么，每個排列共需要m步，二每一步又有若干種不同的方法，排列數(shù)可以這樣計算：第一步：先排第一個位置上的元素，可以從n個元素中任選一個，有n種不同的選法；第二步：排第二個位置上的元素這時，由于第一個位置已用去了一個元素，只剩下（n-1）個不同的元素可供選擇，共有（n-1）種不同的選法；第三步：排第三個位置上的元素，有（n-2）種不同的選法；第m步：排第m個位置上的元素由于前面已經(jīng)排了（m-1）個位置，用去了（m-1）個元素這樣，第m個位置上只能從剩下的n-（m-1）=（n-m+1）個元素中選擇，有（n-m+1）種不同的選法由乘法原理知，共有：n（n-1）（n-2）（n-m+1）種不同的排法，即：這里，mn；且等號右邊從n開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小1，共有m個因數(shù)相乘一般地，對于m=n的情況，排列數(shù)公式變?yōu)楸硎緩膎個不同元素中取n個元素排成一列所構成排列的排列數(shù)這種n個排列全部取出的排列，叫做n個不同元素的全排列 教學重點：培養(yǎng)學生的思維的有序性、全面性 教學難點：根據(jù)需要引導總結計算規(guī)律 例1 某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少種不同的買法？分析 某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食（或先買副食后買主食）其中，買主食有3種不同的方法，買副食有5種不同的方法故可以由乘法原理解決解：由乘法原理，主食和副食各買一種共有35=15種不同的方法補充說明：由例題可以看出，乘法原理運用的范圍是：這件事要分幾個彼此互不影響的獨立步驟來完成；每個步驟各有若干種不同的方法來完成這樣的問題就可以使用乘法原理解決問題例2 由數(shù)字0、1、2、3組成三位數(shù)，問：可組成多少個不相等的三位數(shù)？可組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？分析 在確定由0、1、2、3組成的三位數(shù)的過程中，應該一位一位地去確定所以，每個問題都可以看成是分三個步驟來完成要求組成不相等的三位數(shù)所以，數(shù)字可以重復使用，百位上，不能取0，故有3種不同的取法；十位上，可以在四個數(shù)字中任取一個，有4種不同的取法；個位上，也有4種不同的取法，由乘法原理，共可組成344=48個不相等的三位數(shù)要求組成的三位數(shù)中沒有重復數(shù)字，百位上，不能取0，有3種不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一個，故只剩下0和其余兩個數(shù)字，故有3種取法；個位上，由于百位和十位已各取走一個數(shù)字，故只能在剩下的兩個數(shù)字中取，有2種取法，由乘法原理，共有332=18個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)解：由乘法原理共可組成344=48（個）不同的三位數(shù)；共可組成3832=18（個）沒有重復數(shù)字的三位數(shù)例3 計算 分析：排列的計算解： =60 =1568例4 有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6將兩個正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？分析 要使兩個數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮第一類，兩個數(shù)字同為奇數(shù)由于放兩個正方體可認為是一個一個地放放第一個正方體時，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個正方體，出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時共有33=9種不同的情形第二類，兩個數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有33=9種不同情形最后再由加法原理即可求解解：兩個正方體向上的一面同為奇數(shù)共有33=9（種）不同的情形；兩個正方體向上的一面同為偶數(shù)共有33=9（種）不同的情形所以，兩個正方體向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的共有33+33=18（種）不同的情形例5 有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號，問：共可以表示多少種不同的信號？分析 這里五面不同顏色的小旗就是五個不同的元素，三面小旗表示一種信號，就是有三個位置我們的問題就是要從五個不同的元素中取三個，排在三個位置的問題由于信號不僅與旗子的顏色有關，而且與不同旗子所在的位置有關，所以是排列問題，且其中n=5，m=3解：由排列數(shù)公式知，共可組成種不同的信號補充說明：這個問題也可以用乘法原理來做，一般，乘法原理中與順序有關的問題常?？梢杂门帕袛?shù)公式做，用排列數(shù)公式解決問題時，可避免一步步地分析考慮，使問題簡化例6 用1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個沒有重復數(shù)字的五位數(shù)？分析 這是一個從8個元素中取5個元素的排列問題，且知n=8，m=5解：由排列數(shù)公式，共可組成：個不同的五位數(shù)A1. 書架上有6本不同的外語書，4本不同的語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少種不同的取法？答案：從架上各取一本共有64=24種不同的取法 2書架上有6本不同的畫報和7本不同的書，從中最多拿兩本（不能不拿），有多少種不同的拿法？答案：從書架上最多拿兩本共有6+7+15+21+67=91（種）不同的拿法。提示：拿兩本的情況分為2本畫報或2本書或一本畫報一本書3計算 答案： =336 =403204. 幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少種不同的坐法？答案：由排列公式，共有：種不同的坐法5有紅、黃、藍三種信號旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號，問共可以組成多少種不同的信號？答案：6種B1. 王英、趙明、李剛三人約好每人報名參加學校運動會的跳遠、跳高、100米跑、200米跑四項中的一項比賽，問：報名的結果會出現(xiàn)多少種不同的情形？答案：由乘法原理，報名的結果共有444=64種不同的情形2. 如下頁圖，一只小甲蟲要從A點出發(fā)沿著線段爬到B點，要求任何點和線段不可重復經(jīng)過問：這只甲蟲有多少種不同的走法？答案：從A點先經(jīng)過C到B點共有：13=3（種）不同的走法從A點先經(jīng)過D到B點共有：23=6（種）不同的走法所以，從A點到B點共有：3+6=9（種）不同的走法3. 計算（1） （2）答案：（1）=708 （2）=91264. 有4個同學一起去郊游，照相時，必須有一名同學給其他3人拍照，共可能有多少種拍照情況？（照相時3人站成一排）答案：由排列數(shù)公式，共可能有：種不同的拍照情況。5班集體中選出了5名班委，他們要分別擔任班長，學習委員、生活委員、宣傳委員和體育委員問：有多少種不同的分工方式？答案：120種。C1. 右圖中共有16個方格，要把A、B、C、D四個不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個棋子問：共有多少種不同的放法？答案：由乘法原理，共有16941=576種不同的放法2在11000的自然數(shù)中，一共有多少個數(shù)字0？答案：9+180-9+3=183（個）3 計算 答案：（1）=3320 （2）=314. 4名同學到照相館照相他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法？答案：由排列數(shù)公式知，共有種不同的排法5由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成多少沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？個位是5的三位數(shù)？百位是1的五位數(shù)？六位數(shù)？答案：120 20 120 7201 某罪犯要從甲地途經(jīng)乙地和丙地逃到丁地，現(xiàn)在知道從甲地到乙地有3條路可以走，從乙地到丙地有2條路可以走，從丙地到丁地有4條路可以走問，罪犯共有多少種逃走的方法？答案：324=24（種）2.從甲地到乙地有三條路，從乙地到丙地有三條路，從甲地到丁地有兩條路，從丁地到丙地有四條路，問：從甲地到丙地共有多少種走法？ 答案：33+24=17（種）3計算 答案：1680；1564. 5個人并排站成一排，其中甲必須站在中間有多少種不同的站法？答案：由排列數(shù)公式知，共有種不同的排法5某鐵路線共有14個車站，這條鐵路線共需要多少種不同的車票答案：182種 1.一個籃球隊，五名隊員A、B、C、D、E，由于某種原因，C不能做中鋒，而其余四人可以分配到五個位置的任何一個上問：共有多少種不同的站位方法？答案：44321=96（種）2.學校組織讀書活動，要求每個同學讀一本書小明到圖書館借書時，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本那么，小明借一本書可以有多少種不同的選法？答案：小明借一本書共有：150+200+100=450（種）不同的選法3. 一個口袋內(nèi)裝有3個小球，另一個口袋內(nèi)裝有8個小球，所有這些小球顏色各不相同問：從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？答案：從兩個口袋中任取一個小球共有3+8=11（種），不同的取法從兩個口袋中各取一個小球共有38=24（種）不同的取法4.計算 答案：12；45. 某客輪航行于天津、青島、大連三個城市之間問：應準備有多少種不同船票？答案：6種6由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個三位數(shù)？三位偶數(shù)？沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)？百位為8的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？百位為8的沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)？答案：888=512（個）； 488=256（個）； 476=168（個）； 176=42（個）； 136=18（個）7某市的電話號碼是六位數(shù)的，首位不能是0，其余各位數(shù)上可以是09中的任何一個，并且不同位上的數(shù)字可以重復那么，這個城市最多可容納多少部電話機？答案：91010101010=9