2020年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專(zhuān)題42 不等式選講 理

專(zhuān)題42 不等式選講一、考綱要求：1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：|ab|a|b|(a，bR)，|ab|ac|cb|(a，b，cR).2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.3.通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法二、概念掌握和解題上注意點(diǎn)：1.解絕對(duì)值不等式的基本方法(1)利用絕對(duì)值的定義，通過(guò)分類(lèi)討論，用零點(diǎn)分段法轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式，零點(diǎn)分段法的操作程序是：找零點(diǎn)，分區(qū)間，分段討論；(2)當(dāng)不等式兩端均非負(fù)時(shí)，可通過(guò)兩邊平方的方法轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式；(3)利用絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解2.作差比較法證明不等式的步驟：(1）作差；(2）變形；(3）判斷差的符號(hào)；(4）下結(jié)論.其中“變形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù).3.綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵.4.分析法證明不等式的注意事項(xiàng)：用分析法證明不等式時(shí)，不要把“逆求”錯(cuò)誤地作為“逆推”，分析法的過(guò)程僅需要尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說(shuō)，分析法的思維是逆向思維，因此在證題時(shí)，應(yīng)正確使用“要證”“只需證”這樣的連接“關(guān)鍵詞”.三、高考考題題例分析例1.（2020全國(guó)卷I）已知f（x）=|x+1|ax1|（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）1的解集；（2）若x（0，1）時(shí)不等式f（x）x成立，求a的取值范圍【答案】（1）（，+）；（2）0，2【解析】：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x+1|x1|=，由f（x）1，或，解得x，故不等式f（x）1的解集為（，+），例2.（2020全國(guó)卷II）設(shè)函數(shù)f（x）=5|x+a|x2|（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范圍【答案】（1）2，3；（2）6，2【解析】：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=5|x+1|x2|=當(dāng)x1時(shí)，f（x）=2x+40，解得2x1，當(dāng)1x2時(shí)，f（x）=20恒成立，即1x2，當(dāng)x2時(shí)，f（x）=2x+60，解得2x3，綜上所述不等式f（x）0的解集為2，3，例3.（2020全國(guó)卷III）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x1|（1）畫(huà)出y=f（x）的圖象；（2）當(dāng)x0，+）時(shí)，f（x）ax+b，求a+b的最小值【答案】見(jiàn)解析【解析】：（1）當(dāng)x時(shí)，f（x）=（2x+1）（x1）=3x，當(dāng)x1，f（x）=（2x+1）（x1）=x+2，當(dāng)x1時(shí)，f（x）=（2x+1）+（x1）=3x，則f（x）=對(duì)應(yīng)的圖象為：畫(huà)出y=f（x）的圖象； 例10.(2020全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|1ab|.【答案】(1) Mx|1x1；(2)見(jiàn)解析不等式選講練習(xí)題1已知|2x3|1的解集為m，n(1)求mn的值；(2)若|xa|m，求證：|x|a|1.【答案】(1) mn3；(2)見(jiàn)解析2已知函數(shù)f(x)|x4|xa|(aR)的最小值為a.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)解不等式f(x)5. 【答案】(1) a2；(2) 【解析】：(1)f(x)|x4|xa|a4|a，從而解得a2.(2)由(1)知，f(x)|x4|x2|故當(dāng)x2時(shí)，令2x65，得x2，當(dāng)24時(shí)，令2x65，得4x，故不等式f(x)5的解集為.3(1)求不等式|x5|2x3|1的解集；(2)若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足ab，求證：1.【答案】(1) ；(2)見(jiàn)解析【解析】：(1)當(dāng)x時(shí)，x52x31，解得x7，7x；當(dāng)x5時(shí)，x52x31，解得x，0)(1)證明：f(x)2；(2)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)5的解集【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 5設(shè)函數(shù)f(x)|x1|2x1|的最大值為m. (1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)若a22c23b2m，求ab2bc的最大值【答案】見(jiàn)解析【解析】：(1)f(x)畫(huà)出圖象如圖，6已知函數(shù)f(x)(a0)(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若當(dāng)x0,1時(shí)，不等式f(x)1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(1) ；(2) 1a5且a0.【解析】：(1)|ax2|44ax242ax6，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?；?dāng)a0的解集；(2)設(shè)g(x)|x7|3m，若關(guān)于x的不等式f(x)2或x1；(2) (3，)8.已知函數(shù)f(x)|xa2|xa1|.(1)證明：f(x)；(2)若f(4)13，求a的取值范圍【答案】(1)見(jiàn)解析 ；(2) (2,3)【解析】：(1)證明：f(x)|xa2|xa1|(xa2)(xa1)|a2a1|.(2)因?yàn)閒(4)|a24|a3|所以f(4)13或解得2a3，即a的取值范圍是(2,3) 9.已知函數(shù)f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)當(dāng)a0時(shí)，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使f(x)g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【答案】(1) (，1；(2) 10設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a2b2(ab)【答案】見(jiàn)解析【解析】：因?yàn)閍2b2(ab)(a2a)(b2b)a()b()()(ab).因?yàn)閍0，b0，所以不論ab0，還是0ab，都有ab與同號(hào)，所以(ab)0，所以a2b2(ab)11設(shè)不等式|2x1|1的解集為M.(1)求集合M；(2)若a，bM，試比較ab1與ab的大小. 【答案】(1) Mx|0xab【解析】：(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b0.故ab1ab.12已知函數(shù)f(x)|x|x1|.(1)若f(x)|m1|恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值M；(2)在(1)成立的條件下，正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a2b2M，證明：ab2ab.【答案】(1) m的最大值M2.；(2)見(jiàn)解析13已知a，b，cR，且2a2bc8，求(a1)2(b2)2(c3)2的最小值【答案】【解析】：由柯西不等式得(441)(a1)2(b2)2(c3)22(a1)2(b2)c32，9(a1)2(b2)2(c3)2(2a2bc1)2.2a2bc8，(a1)2(b2)2(c3)2，當(dāng)且僅當(dāng)c3時(shí)等號(hào)成立，(a1)2(b2)2(c3)2的最小值是.14已知函數(shù)f(x)k|x3|，kR，且f(x3)0的解集為1,1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正實(shí)數(shù)，且1.求證：a2b3c9.【答案】(1) k1；(2)見(jiàn)解析15已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；