第二十三屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽初賽試題及參考解答

第二十三屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽初賽試題及答案本卷共本題，滿分200分一、(20分，每小題10分)1.如圖所示，彈簧S1的上端固定在天花板上，下端連一小球A，球A與球B之間用線相連.球B與球C之間用彈簧S2相連.A、B、C的質(zhì)量分別為mA、mB、mC，彈簧與線的質(zhì)量均可不計(jì).開(kāi)始時(shí)它們都處在靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)將A、B間的線突然剪斷，求線剛剪斷時(shí)A、B、C的加速度. ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u2.兩個(gè)相同的條形磁鐵，放在平板AB上，磁鐵的N、S極如圖所示.開(kāi)始時(shí)平板及磁鐵皆處于水平位置，且靜止不動(dòng).(i)現(xiàn)將AB突然豎直向下平移(磁鐵與平板間始終相互接觸)，并使之停在AB處，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個(gè)條形磁鐵碰在一起.(ii)如果將AB從原位置突然豎直向上平移，并使之停在AB位置處，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩條形磁鐵也碰在一起.試定性地解釋上述現(xiàn)象.二、(20分，第1小題12分，第2小題8分)1.老爺爺?shù)难劬κ抢匣ㄑ?(i)一物體P放在明視距離處，老爺爺看不清楚.試在示意圖1中畫(huà)出此時(shí)P通過(guò)眼睛成像的光路示意圖.(ii)戴了一副300度的老花鏡后，老爺爺就能看清楚放在明視距離處的物體P，試在示意圖2中畫(huà)出P通過(guò)老花鏡和眼睛成像的光路示意圖.(iii)300度的老花鏡的焦距f=_m.2.有兩個(gè)凸透鏡，它們的焦距分別為f1和f2，還有兩個(gè)凹透鏡，它們的焦距分別為f3和f4.已知，f1f2|f3|f4|.如果要從這四個(gè)透鏡中選取兩個(gè)透鏡，組成一架最簡(jiǎn)單的單筒望遠(yuǎn)鏡，要求能看到放大倍數(shù)盡可能大的正立的像，則應(yīng)選焦距為_(kāi)的透鏡作為物鏡，應(yīng)選焦距為_(kāi)的透鏡作為目鏡.三、(20分，第1小題12分，第2小題8分)1.如圖所示，電荷量為q1的正點(diǎn)電荷固定在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，電荷量為q2的正點(diǎn)電荷固定在x軸上，兩電荷相距l(xiāng).已知q2=2q1.(i)求在x軸上場(chǎng)強(qiáng)為零的P點(diǎn)的坐標(biāo).(ii)若把一電荷量為q0的點(diǎn)電荷放在P點(diǎn)，試討論它的穩(wěn)定性(只考慮q0被限制在沿x軸運(yùn)動(dòng)和被限制在沿垂直于x軸方向運(yùn)動(dòng)這兩種情況).2.有一靜電場(chǎng)，其電勢(shì)U隨坐標(biāo)x的改變而變化，變化的圖線如圖1所示.試在圖2中畫(huà)出該靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E隨x變化的圖線(設(shè)場(chǎng)強(qiáng)沿x軸正方向時(shí)取正值，場(chǎng)強(qiáng)沿x軸負(fù)方向時(shí)取負(fù)值) ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u四、(20分)一根長(zhǎng)為L(zhǎng)(以厘米為單位)的粗細(xì)均勻的、可彎曲的細(xì)管，一端封閉，一端開(kāi)口，處在大氣中，大氣的壓強(qiáng)與H厘米高的水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)相等，已知管長(zhǎng)LH.現(xiàn)把細(xì)管彎成L形，如圖所示.假定細(xì)管被彎曲時(shí)，管長(zhǎng)和管的內(nèi)徑都不發(fā)生變化.可以把水銀從管口徐徐注入細(xì)管而不讓細(xì)管中的氣體泄出.當(dāng)細(xì)管彎成L形時(shí)，以l表示其豎直段的長(zhǎng)度，問(wèn)l取值滿足什么條件時(shí)，注入細(xì)管的水銀量為最大值？給出你的論證并求出水銀量的最大值(用水銀柱的長(zhǎng)度表示). ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u五、(20分)一對(duì)正、負(fù)電子可形成一種壽命比較短的稱(chēng)為電子偶素的新粒子.電子偶素中的正電子與負(fù)電子都以速率v繞它們連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng).假定玻爾關(guān)于氫原子的理論可用于電子偶素，電子的質(zhì)量m、速率v和正、負(fù)電子間的距離r的乘積也滿足量子化條件.即式中n稱(chēng)為量子數(shù)，可取整數(shù)值1，2，3，；h為普朗克常量.試求電子偶素處在各定態(tài)時(shí)的r和能量以及第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)能量之差. ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u六、(25分)如圖所示，兩個(gè)金屬輪A1、A2，可繞通過(guò)各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬軸O1和O2轉(zhuǎn)動(dòng)，O1和O2相互平行，水平放置.每個(gè)金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，A1輪的輻條長(zhǎng)為a1、電阻為R1，A2輪的輻條長(zhǎng)為a2、電阻為R2，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略.半徑為a0的絕緣圓盤(pán)D與A1同軸且固連在一起.一輕細(xì)繩的一端固定在D邊緣上的某點(diǎn)，繩在D上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質(zhì)量為m的重物P.當(dāng)P下落時(shí)，通過(guò)細(xì)繩帶動(dòng)D和A1繞O1軸轉(zhuǎn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，A1、A2保持接觸，無(wú)相對(duì)滑動(dòng)；兩輪與各自細(xì)軸之間保持良好的電接觸；兩細(xì)軸通過(guò)導(dǎo)線與一阻值為R的電阻相連.除R和A1、A2兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計(jì).整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與轉(zhuǎn)軸平行.現(xiàn)將P釋放，試求P勻速下落時(shí)的速度. ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u七、(25分)圖示為一固定不動(dòng)的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為R，圓筒的軸線在O處.圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向與圓筒的軸線平行，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.筒壁的H處開(kāi)有小孔，整個(gè)裝置處在真空中.現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子P以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔射入圓筒，經(jīng)與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒.設(shè)：筒壁是光滑的，P與筒壁碰撞是彈性的，P與筒壁碰撞時(shí)其電荷量是不變的.若要使P與筒壁碰撞的次數(shù)最少，問(wèn)：1.P的速率應(yīng)為多少？2.P從進(jìn)入圓筒到射出圓筒經(jīng)歷的時(shí)間為多少？八、(25分)圖中正方形ABCD是水平放置的固定梁的橫截面，AB是水平的，截面的邊長(zhǎng)都是l.一根長(zhǎng)為2l的柔軟的輕細(xì)繩，一端固定在A點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的小球，初始時(shí)，手持小球，將繩拉直，繞過(guò)B點(diǎn)使小球處于C點(diǎn).現(xiàn)給小球一豎直向下的初速度v0，使小球與CB邊無(wú)接觸地向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，分別取下列兩值時(shí)，小球?qū)⒋虻搅荷系暮翁帲?.2.設(shè)繩的伸長(zhǎng)量可不計(jì)而且繩是非彈性的.九、(25分)從赤道上的C點(diǎn)發(fā)射洲際導(dǎo)彈，使之精確地?fù)糁斜睒O點(diǎn)N，要求發(fā)射所用的能量最少.假定地球是一質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體，R=6400km.已知質(zhì)量為m的物體在地球引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其能量E與橢圓半長(zhǎng)軸a的關(guān)系為式中M為地球質(zhì)量，G為引力常量.1.假定地球沒(méi)有自轉(zhuǎn)，求最小發(fā)射速度的大小和方向(用速度方向與從地心O到發(fā)射點(diǎn)C的連線之間的夾角表示).2.若考慮地球的自轉(zhuǎn)，則最小發(fā)射速度的大小為多少？3.試導(dǎo)出. ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、參考解答：1.線剪斷前，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).此時(shí)彈簧S1的彈力F1=(mA+mB+mC)g(1)彈簧S2的彈力F2=mCg(2)在線剛被剪斷的時(shí)刻，各球尚未發(fā)生位移，彈簧的長(zhǎng)度尚無(wú)變化，故F1、F2的大小尚未變化，但線的拉力消失.設(shè)此時(shí)球A、B、C的加速度的大小分別為aA、aB、aC，則有F1-mAg=mAaA(3)F2+mBg=mBaB(4)F2-mCg=mCaC(5)解以上有關(guān)各式得，方向豎直向上(6)，方向豎直向下(7)aC=0(8)2.開(kāi)始時(shí)，磁鐵靜止不動(dòng)，表明每一條磁鐵受到另一條磁鐵的磁力與它受到板的靜摩擦力平衡.(i)從板突然豎直向下平移到停下，板和磁鐵的運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷了兩個(gè)階段.起初，板向下加速移動(dòng)，板與磁鐵有脫離接觸的趨勢(shì)，磁鐵對(duì)板的正壓力減小，并跟隨板一起作加速度方向向下、速度向下的運(yùn)動(dòng).在這過(guò)程中，由于磁鐵對(duì)板的正壓力減小，最大靜摩擦力亦減小.向下的加速度愈大，磁鐵的正壓力愈小，最大靜摩擦力也愈小.當(dāng)板的加速度大到某一數(shù)值時(shí)，最大靜摩擦力減小到小于磁力，于是磁鐵沿著平板相向運(yùn)動(dòng)并吸在一起.接著，磁鐵和板一起作加速度方向向上、速度向下的運(yùn)動(dòng)，直到停在AB處.在這過(guò)程中，磁鐵對(duì)板的正壓力增大，最大靜摩擦力亦增大，因兩磁鐵已碰在一起，磁力、接觸處出現(xiàn)的彈力和可能存在的靜摩擦力總是平衡的，兩條磁鐵吸在一起的狀態(tài)不再改變.(ii)從板突然豎直向上平移到停下，板和磁鐵的運(yùn)動(dòng)也經(jīng)歷兩個(gè)階.起初，板和磁鐵一起作加速度方向向上、速度向上的運(yùn)動(dòng)，在這過(guò)程中，正壓力增大，最大靜摩擦力亦增大，作用于每個(gè)磁鐵的磁力與靜摩擦力始終保持平衡，磁鐵在水平方向不發(fā)生運(yùn)動(dòng).接著，磁鐵和板一起作加速度力減小，向下的加速度愈大，磁鐵的正壓力愈小，最大靜摩擦力也愈小.當(dāng)板的加速度大到某一數(shù)值時(shí)，最大靜摩擦力減小到小于磁力，于是磁鐵沿著平板相向運(yùn)動(dòng)并吸在一起.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(本題20分)1.10分.(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式各1分，aA、aB的方向各1分.2.10分.(i)5分，(ii)5分.(必須正確說(shuō)出兩條形磁鐵能吸引在一起的理由，才給這5分，否則不給分).二、參考答案1.(iii)2.f1，f4.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(本題20分)1.12分.(i)4分，(ii)4分，(iii)4分.2.8分.兩個(gè)空格都填對(duì)，才給這8分，否則0分.三、參考解答：1.(i)通過(guò)對(duì)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)方向的分析，場(chǎng)強(qiáng)為零的P點(diǎn)只可能位于兩點(diǎn)電荷之間.設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為x0，則有(1)已知q2=2q1(2)由(1)、(2)兩式解得(3)(ii)先考察點(diǎn)電荷q0被限制在沿x軸運(yùn)動(dòng)的情況.q1、q2兩點(diǎn)電荷在P點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小分別為方向沿x軸正方向方向沿x軸負(fù)方向由于處合場(chǎng)強(qiáng)的方向沿x軸的正方向，即指向P點(diǎn).由以上的討論可知，在x軸上，在P點(diǎn)的兩側(cè)，點(diǎn)電荷q1和q2產(chǎn)生的電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)的方向都指向P點(diǎn)，帶正電的點(diǎn)電荷在P點(diǎn)附近受到的電場(chǎng)力都指向P點(diǎn)，所以當(dāng)q00時(shí)，P點(diǎn)是q0的穩(wěn)定平衡位置.帶負(fù)電的點(diǎn)電荷在P點(diǎn)附近受到的電場(chǎng)力都背離P點(diǎn)，所以當(dāng)q00時(shí)，P點(diǎn)是q0的不穩(wěn)定平衡位置.再考慮q0被限制在沿垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)的情況.沿垂直于x軸的方向，在P點(diǎn)兩側(cè)附近，點(diǎn)電荷q1和q2產(chǎn)生的電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)沿垂直x軸分量的方向都背離P點(diǎn)，因而帶正電的點(diǎn)電荷在P點(diǎn)附近受到沿垂直x軸的分量的電場(chǎng)力都背離P點(diǎn).所以，當(dāng)q00時(shí)，P點(diǎn)是q0的不穩(wěn)定平衡位置.帶負(fù)電的點(diǎn)電荷在P點(diǎn)附近受到的電場(chǎng)力都指向P點(diǎn)，所以當(dāng)q00時(shí)，P點(diǎn)是q0的穩(wěn)定平衡位置.2.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(本題20分)1.12分.(i)2分.(ii)當(dāng)q0被限制在沿x軸方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，正確論證q00，P點(diǎn)是q0的穩(wěn)定平衡位置，占3分；正確論證q00，P點(diǎn)是q0的不穩(wěn)定平衡位置，占3分.(未列公式，定性分析正確的同樣給分)當(dāng)q0被限制在垂直于x軸的方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，正確論證q00，P點(diǎn)是q0的不穩(wěn)定平衡位置，占2分；正確論證q00，P點(diǎn)是q0的穩(wěn)定平衡位置，占2分.2.8分.縱坐標(biāo)標(biāo)的數(shù)值或圖線有錯(cuò)的都給0分.縱坐標(biāo)的數(shù)值.圖線與參考解答不同，正確的同樣給分.四、參考解答：開(kāi)始時(shí)豎直細(xì)管內(nèi)空氣柱長(zhǎng)度為L(zhǎng)，壓強(qiáng)為H(以cmHg為單位)，注入少量水銀后，氣柱將因水銀柱壓力而縮短.當(dāng)管中水銀柱長(zhǎng)度為x時(shí)，管內(nèi)空氣壓強(qiáng)p=(H+x)，根據(jù)玻意耳定律，此時(shí)空氣柱長(zhǎng)度(1)空氣柱上表面與管口的距離(2)開(kāi)始時(shí)x很小，由于LH，故即水銀柱上表面低于管口，可繼續(xù)注入水銀，直至d=x(即水銀柱上表面與管口相平)時(shí)為止.何時(shí)水銀柱表面與管口相平，可分下面兩種情況討論.1.水銀柱表面與管口相平時(shí)，水銀柱未進(jìn)入水平管此時(shí)水銀柱的長(zhǎng)度xl，由玻意耳定律有(H+x)(L-x)=HL(3)由(3)式可得x=L-H(4)由此可知，當(dāng)lL-H時(shí)，注入的水銀柱的長(zhǎng)度x的最大值xmax=L-H(5)2.水銀柱表面與管口相平時(shí)，一部分水銀進(jìn)入水平管此時(shí)注入水銀柱的長(zhǎng)度xl，由玻意耳定律有(H+l)(L-x)=HL(6)(7)(8)由(8)式得lL-H，或LH+l(9)(10)即當(dāng)lL-H時(shí)，注入水銀柱的最大長(zhǎng)度xxmax.由上討論表明，當(dāng)lL-H時(shí)，可注入的水銀量為最大，這時(shí)水銀柱的長(zhǎng)度為xmax，即(5)式.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(本題20分)正確論證lL-H時(shí)，可注入的水銀量最大，占13分.求出最大水銀量占7分.若論證的方法與參考解答不同，只要正確，同樣給分.五、參考解答：正、負(fù)電子繞它們連線的中點(diǎn)作半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，電子的電荷量為e，正、負(fù)電子間的庫(kù)侖力是電子作圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，即(1)正電子、負(fù)電子的動(dòng)能分別為Ek+和Ek-，有(2)正、負(fù)電子間相互作用的勢(shì)能(3)電子偶素的總能量E=Ek+Ek-+Ep(4)由(1)、(2)、(3)、(4)各式得(5)根據(jù)量子化條件，n=1，2，3，(6)(6)式表明，r與量子數(shù)n有關(guān).由(1)和(6)式得與量子數(shù)n對(duì)應(yīng)的定態(tài)r為n=1，2，3，(7)代入(5)式得與量子數(shù)n對(duì)應(yīng)的定態(tài)的E值為n=1，2，3，(8)n=1時(shí)，電子偶素的能量最小，對(duì)應(yīng)于基態(tài).基態(tài)的能量為(9)n=2是第一激發(fā)態(tài)，與基態(tài)的能量差(10)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(本題20分)(2)式2分、(5)式4分，(7)式、(8)式各5分，(10)式4分.六、參考解答：P被釋放后，細(xì)繩的張力對(duì)D產(chǎn)生機(jī)械力矩，帶動(dòng)D和A1作逆時(shí)針的加速轉(zhuǎn)動(dòng).通過(guò)兩個(gè)輪子之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的接觸，A1帶動(dòng)A2作順時(shí)針的加速轉(zhuǎn)動(dòng).由于兩個(gè)輪子的輻條切割磁場(chǎng)線，所以在A1產(chǎn)生由周邊沿輻條指向軸的電動(dòng)勢(shì)，在A2產(chǎn)生由軸沿輻條指向周邊的電動(dòng)勢(shì)，經(jīng)電阻R構(gòu)成閉合電路.A1、A2中各輻條上流有沿電動(dòng)勢(shì)方向的電流，在磁場(chǎng)中輻條受到安培力.不難看出，安培力產(chǎn)生的電磁力矩是阻力矩，使A1、A2加速轉(zhuǎn)動(dòng)的勢(shì)頭減緩.A1、A2從起始的靜止?fàn)顟B(tài)逐漸加速轉(zhuǎn)動(dòng)，電流隨之逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機(jī)械力矩相等，D、A1和A2停止作加速轉(zhuǎn)動(dòng)，均作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)P勻速下落，設(shè)其速度為v，則A1的角速度(1)A1帶動(dòng)A2轉(zhuǎn)動(dòng)，A2的角速度2與A1的角速度1之間的關(guān)系為1a1=2a2(2)A1中每根輻條產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)均為(3)軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A1中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值見(jiàn)(3)式.同理，A2中，軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A2中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值為(4)A1中，每根輻條的電阻為R1，軸與輪功之間的電阻是A1中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為(5)A2中，每根輻條的電阻為R2，軸與輪功之間的電阻是A2中四條輻條電阻的并聯(lián)，其數(shù)值為(6)A1輪、A2輪和電阻R構(gòu)成串聯(lián)回路，其中的電流為(7)以(1)至(6)式代入(7)式，得(8)當(dāng)P勻速下降時(shí)，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，重力的功率等于所有電阻的焦耳熱功率之和，即(9)以(8)式代入(9)式得(10)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(本題25分)(1)、(2)式各2分，(3)、(4)式各3分，(5)、(6)、(7)式各2分，(9)式6分，(10)式3分.七、參考解答：1.如圖1所示，設(shè)筒內(nèi)磁場(chǎng)的方向垂直紙面指向紙外，帶電粒子P帶正電，其速率為v.P從小孔射入圓筒中因受到磁場(chǎng)的作用力而偏離入射方向，若與筒壁只發(fā)生一次碰撞，是不可能從小孔射出圓筒的.但與筒壁碰撞兩次，它就有可能從小孔射出.在此情形中，P在筒內(nèi)的路徑由三段等長(zhǎng)、等半徑的圓弧HM、MN和NH組成.現(xiàn)考察其中一段圓弧MN，如圖2所示.由于P沿筒的半徑方向入射，OM和ON均與軌道相切，兩者的夾角(1)設(shè)圓弧的圓半徑為r，則有(2)圓弧對(duì)軌道圓心O所張的圓心角(3)由幾何關(guān)系得(4)解(2)、(3)、(4)式得(5)2.P由小孔射入到第一次與筒壁碰撞所通過(guò)的路徑為s=r(6)經(jīng)歷時(shí)間為(7)P從射入小孔到射出小孔經(jīng)歷的時(shí)間為t=3t1(8)由以上有關(guān)各式得(9)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(本題25分)1.17分.(1)、(2)、(3)、(4)式各3分，(5)式5分.2.8分.(6)、(7)、(8)、(9)式各2分.八、參考解答：小球獲得沿豎直向下的初速度v0后，由于細(xì)繩處于松弛狀態(tài)，故從C點(diǎn)開(kāi)始，小球沿豎直方向作初速度為v0、加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng).當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圖1中的M點(diǎn)時(shí)，繩剛被拉直，勻加速直線運(yùn)動(dòng)終止，此時(shí)繩與豎直方向的夾角為=30.在這過(guò)程中，小球下落的距離(1)細(xì)繩剛拉直時(shí)小球的速度v1滿足下式：(2)在細(xì)繩拉緊的瞬間，由于繩的伸長(zhǎng)量可不計(jì)而且繩是非彈性的，故小球沿細(xì)繩方向的分速度v1cos變?yōu)榱悖c繩垂直的分速度保持不變，以后小球?qū)腗點(diǎn)開(kāi)始以初速度(3)在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，圓周的半徑為2l，圓心位于A點(diǎn)，如圖1所示.由(1)、(2)、(3)式得(4)當(dāng)小球沿圓周運(yùn)動(dòng)到圖中的N點(diǎn)時(shí)，其速度為v，細(xì)繩與水平方向的夾角為，由能量關(guān)系有(5)用FT表示繩對(duì)小球的拉力，有(6)1.設(shè)在=1時(shí)(見(jiàn)圖2)，繩開(kāi)始松弛，F(xiàn)T=0，小球的速度v=u1.以此代入(5)、(6)兩式得(7)(8)由(4)、(7)、(8)式和題設(shè)v0的數(shù)值可求得1=45 (9)(10)即在1=45時(shí)，繩開(kāi)始松弛.以N1表示此時(shí)小球在圓周上的位置，此后，小球?qū)⒚撾x圓軌道從N1處以大小為u1，方向與水平方向成45角的初速度作斜拋運(yùn)動(dòng)以N1點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系N1xy，x軸水平向右，y軸豎直向上.若以小球從N1處拋出的時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，小球在時(shí)刻t的坐標(biāo)分別為(11)(12)由(11)、(12)式，注意到(10)式，可得小球的軌道方程：(13)AD面的橫坐標(biāo)為(14)由(13)、(14)式可得小球通過(guò)AD所在豎直平面的縱坐標(biāo)y=0(15)由此可見(jiàn)小球?qū)⒃贒點(diǎn)上方越過(guò)，然后打到DC邊上，DC邊的縱坐標(biāo)為(16)把(16)式代入(13)式，解得小球與DC邊撞擊點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=1.75l(17)撞擊點(diǎn)與D點(diǎn)的距離為l=x-2lcos45=0.35l(18)2.設(shè)在=2時(shí)，繩松弛，F(xiàn)T=0，小球的速度v=u2，以此代替(5)、(6)式中的1、u1，得(19)(20)以代入(4)式，與(19)、(20)式聯(lián)立，可解得2=90(21)(22)(22)式表示小球到達(dá)圓周的最高點(diǎn)處時(shí)，繩中張力為0，隨后繩子被拉緊，球速增大，繩中的拉力不斷增加，拉力和重力沿繩子的分力之和等于小球沿圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，小球?qū)⒗@以D點(diǎn)為圓心，l為半徑的圓周打到梁上的C點(diǎn).評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(本題25分)(3)式2分，(5)、(6)式各1分，(9)、(10)式各3分，得出小球不可能打在AD邊上，給3分.得出小球能打在DC邊上，給2分，正確求出小球打在DC邊上的位置給2分，求出(21)、(22)式各占3分，得出小球能打在C點(diǎn)，再給2分.如果學(xué)生直接從拋物線方程和y=-(2lsin45-l)=-(-1)l求出x=1.75l，同樣給分.不必證明不能撞擊在AD邊上.九、參考解答：1.這是一個(gè)大尺度運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)彈發(fā)射后，在地球引力作用下將沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng).如果導(dǎo)彈能打到N點(diǎn)，則此橢圓一定位于過(guò)地心O、北極點(diǎn)N和赤道上的發(fā)射點(diǎn)C組成的平面(此平面是C點(diǎn)所在的子午面)內(nèi)，因此導(dǎo)彈的發(fā)射速度(初速度v)必須也在此平面內(nèi)，地心O是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，注意到橢圓上的C、N兩點(diǎn)到焦點(diǎn)O的距離相等，故所考察橢圓的長(zhǎng)軸是過(guò)O點(diǎn)垂直CN的直線，即圖上的直線AB，橢圓的另一焦點(diǎn)必在AB上.已知質(zhì)量為m的物體在質(zhì)量為M的地球的引力作用下作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體和地球構(gòu)成的系統(tǒng)的能量E(無(wú)窮遠(yuǎn)作為引力勢(shì)能的零點(diǎn))與橢圓半長(zhǎng)軸a的關(guān)系為(1)要求發(fā)射的能量最少，即要求橢圓的半長(zhǎng)軸a最短.根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知，橢圓的兩焦點(diǎn)到橢圓上任一點(diǎn)的距離之和為2a，現(xiàn)C點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)O的距離是定值，等于地球的半徑R，只要位于長(zhǎng)軸上的另一焦點(diǎn)到C的距離最小，該橢圓的半長(zhǎng)軸就最小.顯然，當(dāng)另一焦點(diǎn)位于C到AB的垂線的垂足處時(shí)，C到該焦點(diǎn)的距離必最小.由幾何關(guān)系可知(2)設(shè)發(fā)射時(shí)導(dǎo)彈的速度為v，則有(3)解(1)、(2)、(3)式得(4)因(5)比較(4)、(5)兩式得(6)代入有關(guān)數(shù)據(jù)得v=7.2km/s(7)速度的方向在C點(diǎn)與橢圓軌道相切.根據(jù)解析幾何知識(shí)，過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線的垂直線，平分兩焦點(diǎn)到該點(diǎn)連線的夾角OCP.從圖中可看出，速度方向與OC的夾角(8)2.由于地球繞通過(guò)ON的軸自轉(zhuǎn)，在赤道上C點(diǎn)相對(duì)地心的速度為(9)式中R是地球的半徑，T為地球自轉(zhuǎn)的周期，T=243600s=86400s，故vC=0.46km/s(10)C點(diǎn)速度的方向垂直于子午面(圖中紙面).位于赤道上C點(diǎn)的導(dǎo)彈發(fā)射前也有與子午面垂直的速度vC，為使導(dǎo)彈相對(duì)于地心速度位于子午面內(nèi)，且滿足(7)、(8)兩式的要求，導(dǎo)彈相對(duì)于地面(C點(diǎn))的發(fā)射速度應(yīng)有一大小等于vC、方向與vC相反的分速度，以使導(dǎo)彈在此方向相對(duì)于地心的速度為零，導(dǎo)彈的速度的大小為(11)代入有關(guān)數(shù)據(jù)得v=7.4km/s(12)它在赤道面內(nèi)的分速度與vC相反，它在子午面內(nèi)的分速度滿足(7)、(8)兩式.3.質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在地球引力作用下的運(yùn)動(dòng)服從機(jī)械能守恒定律和開(kāi)普勒定律，故對(duì)于近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)有下列關(guān)系式(13)(14)式中v1、v2分別為物體在遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)的速度，r1、r2為遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)到地心的距離.將(14)式中的v1代入(13)式，經(jīng)整理得(15)注意到r1+r2=2a(16)得(17)因(18)由(16)、(17)、(18)式得(19)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：(本題25分)1.14分.(2)式6分，(3)式2分，(6)、(7)式共4分，(8)式2分.2.6分.(11)式4分，(12)式2分.3.5分.(13)、(14)式各1分，(19)式3分. 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