基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)---林妙紅

基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)：數(shù)軸 155370 林妙紅 摘要：APOS理論是近年來(lái)美國(guó)數(shù)學(xué)家杜賓斯基等人提出的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論.他將數(shù)學(xué)概念的建立分為四個(gè)階段：Action，Process，Object，Scheme，并用于指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐.早期APOS理論只是被用在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，現(xiàn)在該理論正逐步地滲透于我們的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中.本文首先談了對(duì)APOS理論的認(rèn)識(shí)，然后通過(guò)數(shù)軸的教學(xué)設(shè)計(jì)嘗試了一下APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：APOS理論 數(shù)學(xué)概念 教學(xué)設(shè)計(jì) 數(shù)軸 從20世紀(jì)90年代起，APOS理論就被介紹到我國(guó)的數(shù)學(xué)教育界，它是為數(shù)不多的依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)而建立的教學(xué)理論，因此對(duì)這樣的理論進(jìn)行深入的研究是十分有意義的.我國(guó)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)大多采用“屬+種差”的概念同化方式進(jìn)行，這種教學(xué)過(guò)程雖然簡(jiǎn)明，但卻忽視了許多數(shù)學(xué)概念具有過(guò)程對(duì)象的雙重性.近年來(lái)，相關(guān)學(xué)者的研究結(jié)果表明，將APOS理論應(yīng)用到我們的概念教學(xué)中可以彌補(bǔ)我們以前那種概念教學(xué)方式的缺點(diǎn).1 什么是APOS理論？APOS理論是20世紀(jì)80年代末至90年代初由美國(guó)的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育研究實(shí)踐中發(fā)展起來(lái)的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論.杜賓斯基認(rèn)為，一個(gè)人是不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的.更確切地說(shuō)，人們透過(guò)心智結(jié)構(gòu)（mental structure）使所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義.如果一個(gè)人對(duì)于給予的數(shù)學(xué)概念擁有適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他幾乎自然就學(xué)到了這個(gè)概念.相反的，如果一個(gè)人無(wú)法建立起適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念幾乎是不可能的.因此，教學(xué)的目的就在于如何幫助學(xué)生建立適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu).杜賓斯基等人認(rèn)為，APOS理論可以看做是對(duì)皮亞杰的“反思性抽象（reflective abstraction）”的擴(kuò)展.APOS理論的一個(gè)基本假設(shè)是：數(shù)學(xué)知識(shí)是個(gè)體在解決所感知到的數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中獲得的，在這個(gè)過(guò)程中，個(gè)體依序建構(gòu)了心理活動(dòng)（actions）、程序（processes）和對(duì)象（objects），最終組織成用以理解問(wèn)題情境的圖式結(jié)構(gòu)（schemas）.根據(jù)APOS理論，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理建構(gòu)過(guò)程要經(jīng)歷以下的四個(gè)階段：活動(dòng)（actions）階段.“活動(dòng)”是指?jìng)€(gè)體通過(guò)一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對(duì)象.例如在理解函數(shù)概念時(shí)需要活動(dòng)或操作，對(duì)于，需要用具體的數(shù)字構(gòu)造對(duì)應(yīng)：通過(guò)操作活動(dòng)理解函數(shù)的意義.程序（processes）階段.當(dāng)“活動(dòng)”經(jīng)過(guò)多次重復(fù)而被個(gè)體熟悉后，就可以內(nèi)化為一種稱之為“程序（processes）”的心理操作.有了這種“程序”，個(gè)體就可以想象這個(gè)“活動(dòng)”，而不需要通過(guò)外部的刺激；他可以在頭腦中實(shí)施這個(gè)程序，而不需要具體操作；進(jìn)而，他還可以對(duì)這個(gè)程序進(jìn)行逆轉(zhuǎn)以及與其他程序進(jìn)行組合.例如把上述例子中的操作活動(dòng)綜合為一個(gè)函數(shù)過(guò)程.一般地有其他的各種函數(shù)也可以概括為一般的對(duì)應(yīng)過(guò)程. 對(duì)象（objects）階段.當(dāng)個(gè)體能夠把“程序”作為一個(gè)整體進(jìn)行操作時(shí)，這一程序就變成了一種心理“對(duì)象（objects）”.接著上面的例子，然后可以把函數(shù)過(guò)程當(dāng)作一個(gè)獨(dú)立的對(duì)象來(lái)處理，比如函數(shù)的加減乘除、符合運(yùn)算等.在表達(dá)式中，函數(shù)都是作為一個(gè)整體對(duì)象出現(xiàn)的.最后是“圖式（或者說(shuō)圖式結(jié)構(gòu)，schema）”.一個(gè)數(shù)學(xué)概念的“圖式”是指由相應(yīng)的“活動(dòng)”、“程序”、“對(duì)象”以及與某些一般原理相聯(lián)系的其他“圖式”所形成的一種個(gè)體頭腦中的認(rèn)知框架，它可以用以解決與這個(gè)概念相關(guān)的問(wèn)題. 按照杜賓斯基的解釋，上述四個(gè)成分中，“活動(dòng)”、“程序”和“對(duì)象”也可以看作是數(shù)學(xué)知識(shí)的三種狀態(tài)，而“圖式”則是由這三種知識(shí)構(gòu)成的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)（cottrill,et al.,1996）.此外，上述四種成分的排列雖然在理論上具有一種等級(jí)結(jié)構(gòu)，也就是說(shuō)，一般情況下前一成分的建構(gòu)是后一成分的基礎(chǔ)，但實(shí)際上，個(gè)體對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)概念的理解并不一定遵循這種線性的途徑.例如函數(shù)函數(shù)概念，學(xué)習(xí)者一開始的“活動(dòng)”是把函數(shù)看作一個(gè)簡(jiǎn)單的公式，其中含有一些可以運(yùn)算和賦值的字母變量；隨后，函數(shù)被看作是一種可以“輸入輸出”的機(jī)器（函數(shù)機(jī)），于是得到了初步的“程序”.但是當(dāng)學(xué)生遇到更為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式時(shí)，往往又回到了“活動(dòng)”階段，并在“活動(dòng)”的基礎(chǔ)上，又進(jìn)一步完善了函數(shù)“程序”.如此經(jīng)過(guò)多個(gè)循環(huán)之后，學(xué)生才最終形成明確而完整的函數(shù)“對(duì)象”.從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)角度分析，APOS理論的四個(gè)學(xué)習(xí)層次是合理的，反應(yīng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過(guò)程中真實(shí)的思維活動(dòng).其中的“活動(dòng)階段”是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，通過(guò)“活動(dòng)”讓學(xué)生親身體驗(yàn)、感受直觀背景和概念間的關(guān)系.“程序階段”是學(xué)生對(duì)“活動(dòng)”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過(guò)程，學(xué)生在頭腦中對(duì)活動(dòng)進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì); “對(duì)象階段”是通過(guò)前面的抽象認(rèn)識(shí)到了概念本質(zhì)，對(duì)其賦予形式化的定義及符號(hào)，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)具體的對(duì)象，在以后的學(xué)習(xí)中一次為對(duì)象進(jìn)行新的活動(dòng)；“圖式階段”的形成是要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)一步完善，起初的圖式包含反應(yīng)概念的特例、抽象過(guò)程、定義及符號(hào)，經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)，建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心智結(jié)構(gòu).2.基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計(jì)：數(shù)軸數(shù)軸指具有原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度一條直線。第一階段：活動(dòng)階段通過(guò)讓學(xué)生觀察生活中的溫度計(jì)，去了解刻度線的構(gòu)成，去讀數(shù)，看看不同位置的數(shù)分別表示什么含義。第二階段程序階段 通過(guò)之前的觀察，讀數(shù)體驗(yàn)，分析出數(shù)周構(gòu)成的要素，總結(jié)出數(shù)周的定義。第三階段 對(duì)象階段 如何在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)，明確相反數(shù)在數(shù)軸上的位置特點(diǎn)第四階段圖式階段 如何利用借助數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大小 教 學(xué) 過(guò) 程教學(xué)環(huán)節(jié)教 師 活 動(dòng)預(yù)設(shè)學(xué)生行為設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境,引入課題問(wèn)題1:溫度計(jì)是我們?nèi)粘Ｉ钪杏脕?lái)測(cè)量溫度的重要工具，你會(huì)讀溫度計(jì)嗎？請(qǐng)你嘗試讀出課本43頁(yè)圖中三個(gè)溫度計(jì)所表示的溫度？問(wèn)題2：在一條東西向的馬路上，有一個(gè)汽車站，汽車站東3 m和7.5m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站西3 m和4.8m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境四人小組為單位討論并回答教師的問(wèn)題創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情,發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué).通過(guò)問(wèn)題1和問(wèn)題2的解決, 學(xué)生感受到點(diǎn)與數(shù)之間的關(guān)系,從而由點(diǎn)表示數(shù)的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí).二、合作交流，探索新知由上述兩問(wèn)題得到什么啟發(fā)？你能用一條直線上的點(diǎn)表示有理數(shù)嗎？歸納：先畫一條水平直線，在水平直線上取一點(diǎn)表示0（叫做原點(diǎn)），選取某一長(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，規(guī)定向右的方向?yàn)檎较蜻@就是數(shù)軸.- 3 2 1 0 1 2 3在討論的基礎(chǔ)上動(dòng)手操作，在操作的基礎(chǔ)上歸納出：可以表示有理數(shù)的直線必須滿足什么條件？學(xué)生在開放的環(huán)境下,大膽的發(fā)表自己的見解.有的學(xué)生提出用射線上的點(diǎn)表示有理數(shù),但有人反駁,射線是向一方延伸,而有理數(shù)是無(wú)限的,應(yīng)該采用直線.同時(shí)學(xué)生還探索出,為了區(qū)分正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù),必須在直線上先確定零點(diǎn),即原點(diǎn).同時(shí)還需要正方向以及像溫度計(jì)刻度一樣的單位長(zhǎng)度. 三、動(dòng)手練習(xí)，歸納總結(jié)問(wèn)題1： +3，-4，-1.5，0分別在數(shù)軸的什么位置?問(wèn)題2：指出數(shù)軸上 A, B, C, D各點(diǎn)分別表示什么數(shù)?問(wèn)題3： 畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)： ， -5， 0， 5， -4，問(wèn)題4： 2與-2有什么相同點(diǎn)與不相同點(diǎn)？它們?cè)跀?shù)軸上的位置有什么關(guān)系？與，5與-5呢？學(xué)生回答問(wèn)題，動(dòng)手訓(xùn)練通過(guò)練習(xí)，得出結(jié)論。正有理數(shù)是用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)是用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。所以任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。問(wèn)題2是數(shù)軸上已知點(diǎn)所表示的有理數(shù)，是由“形”到“數(shù)”的思維過(guò)程。問(wèn)題3是給定的數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，是由“數(shù)”到“形”的思維過(guò)程。它們從兩個(gè)側(cè)面體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想。問(wèn)題4是使學(xué)生通過(guò)觀察特例，總結(jié)出相反數(shù)的概念，以及互為相反數(shù)的兩數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系，從數(shù)和形兩個(gè)側(cè)面理解相反數(shù)。四、仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律問(wèn)題1：數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，右邊點(diǎn)表示的數(shù)與左邊點(diǎn)表示的數(shù)有怎樣的大小關(guān)系？問(wèn)題2：正數(shù)、負(fù)數(shù)在數(shù)軸的什么位置？判斷它們的大??？ 利用結(jié)論練習(xí)：比較下列每組數(shù)的大小，并說(shuō)明理由.（1）-2 和 +6； （2）0和 -1.8； 結(jié)論：數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)所表示數(shù)，右邊的總比左邊的大.正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù).學(xué)生觀察數(shù)軸并回答問(wèn)題思考數(shù)軸的應(yīng)用價(jià)值，觀察數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的大小情況.得出結(jié)論：數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)所表示數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù).通過(guò)練習(xí)，借助數(shù)軸比較數(shù)的大小。五、加強(qiáng)練習(xí)，鞏固提高1、寫出三對(duì)非零的相反數(shù)，在數(shù)軸上將它們表示出來(lái)，并比較其中三個(gè)負(fù)數(shù)的大小.