應用數(shù)理統(tǒng)計基礎

應用數(shù)理統(tǒng)計基礎（莊楚強）考試共8道題第二章的統(tǒng)計量與常見統(tǒng)計分布（每題12分）1、樣本的數(shù)據(jù)期望與方差 2、 分布的概念與性質(zhì) 3、一連續(xù)型函數(shù)（只有一個未知參數(shù)）的無偏估計第三章參數(shù)估計中的矩估計、極大似然估計、估計量的評選標準、區(qū)間估計。（共51分）4、一正態(tài)分布的置性區(qū)間5、兩個未知參數(shù)函數(shù)的矩估計6、求一離散型的總體似然估計 求未知參數(shù)的信息量求得的似然估計是否是最小方差估計第四章中的正態(tài)總體均值與方差的檢驗、非正態(tài)總體均值的假設檢驗。（共25分）7、正態(tài)分布的假設檢驗8、一離散型總體的假設檢驗第二章、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念與抽樣分布第一節(jié)、數(shù)理統(tǒng)計的幾個基本概念 重點：統(tǒng)計量，書中例題2、習題第四題第三節(jié)、常用統(tǒng)計分布 重點：常用統(tǒng)計分布（、t、F）的定義及性質(zhì)第四節(jié)、抽樣分布 重點：定理1及推論、定理4及推論 本章習題4、5、7、9、13、19、20第三章、參數(shù)估計掌握：矩估計、極大似然估計、區(qū)間估計本章習題1、2、3、4、10、11、15、16、18、27、29第四、章假設檢驗重點：第二節(jié)、一個正態(tài)總體均值與方差的檢驗 第三節(jié)、兩個正態(tài)總體均值與方差的檢驗 第四節(jié)、非正態(tài)總體均值的假設檢驗書上的例題、習題37、38、39、40第一章概率論復習與補充1、概率2、期望數(shù)據(jù)期望的性質(zhì)性質(zhì)1：常量的期望就是這個常量本身, 即 E(c)=c.推論：E(Ex) = Ex性質(zhì)2：隨機變量 x 與常量 c 之和的數(shù)學期望等于 x 的期望與這個常量 c 的和 E(x+c)=Ex+c性質(zhì)3：E(cx) = cE x性質(zhì)4：隨機變量的線性函數(shù)的數(shù)學期望等于這個隨機變量期望的同一線性函數(shù) E(k x +c)=k E x +c3、方差方差的性質(zhì)性質(zhì) 1：常量的方差等于零。即：設 c 為常數(shù)，則 Dc = 0性質(zhì) 2：隨機變量與常量之和的方差就等于隨機變量的方差本身 即：D(X+c)=DX性質(zhì) 3：常量與隨機變量乘積的方差，等于常量的平方與隨機變量 方差的乘積。 即：D(cX )=c2DX性質(zhì) 4：設 k , b 為常數(shù)，則：D(kX +b)=k2DX性質(zhì) 5：兩個獨立隨機變量和(差)的方差，等于這兩個隨機變量方差的和。 即：D(X Y ) = DX +DY第二章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念與抽樣分布1、統(tǒng)計量(第一題樣本數(shù)據(jù)期望與方差)預測類似題目可能會有二項分布B(n,p)、01分布B(1,p)、均勻分布Ra,b、指數(shù)分布E()、正態(tài)分布N(,2)。2、常用統(tǒng)計分布（第二題有開方分布的概念與性質(zhì)）1) 正態(tài)分布函數(shù) 定義：若連續(xù)隨機變量X 的概率密度為 其中 m 為常數(shù)，s 0 為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為 m , s 2 的正態(tài)分布，記為 X N(m , s 2)。其分布函數(shù)為正態(tài)分布滿足密度函數(shù)的兩個性質(zhì)： (1) j (x) 0 xR (2) 標準正態(tài)分布參數(shù)m = 0,s =1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布其密度函數(shù)為： 記為X N(0,1) 一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關系若 X N(m , s 2)，Y N(0 , 1)，它們的密度函數(shù)分別記為j (x)和 j 0(x) ，分布函數(shù)分別記為F (x) 和F0 (x) ，則 證明：2) 2分布 定義 設隨機變量X1,X2,Xn相互獨立,且同服從標準正態(tài)分布，則它們的平方和 c 2= X12+X22+ +Xn2服從的分布稱為自由度為 n 的c 2分布。記為： c 2 c 2(n)c 2 的密度函數(shù)為 2分布的基本性質(zhì)(1) c 2的特征函數(shù) (2) 若 Xc 2(n)，Yc 2(m)，且X與Y相互獨立， 則 X+Y c 2 (n+m) 推論：（1） 若 Xic 2(ni), i = 1, 2, , n ，且相互獨立， 則： (2) 若 X1, X2, , Xn相互獨立，同服從于正態(tài)分布N( mi , si2)，則 (3) 若分布, 則當 n 充分大時, 近似服從N(0,1). (4) 若分布, 則當 n 充分大時, 近似服從N(0,1).c2分布的臨界值（a 分位點）對于給定a（0a 0 時，其中稱為RaoCramr不等式的下界。其中 定義：設參數(shù)的一列估計量 ，滿足關系式，() ，則稱 為的漸近無偏估計量 相和性定義：設總體的概率函數(shù)為p( x ；) ，（ ， ， ，n） 為總體的樣本，n為未知參數(shù) 的估計量序列，為參數(shù)空間，若對任意 ，有則稱n為的相合（一致）估計量，也可說估計量n具有相合性（一致性）.定理1 樣本原點矩是相應的總體原點矩的相合估計量（假定被估計的總體原點矩存在），即。 定理2 樣本方差S是總體方差D的相合估計量（假定D存在），即 定理3設n為的估計量，若Dn 存在，且及則n是的相合估計量。例題1、設的正態(tài)分布，為樣本 求2+的矩估計量 判斷是否是2+的無偏估計，若不是無偏估計量，請修正為無偏估計量。例題2、設總體服從參數(shù)為P 的幾何分布，即 0p1，求p 的極大似然估計量 求p的信息量I(p) 問是否是p有效估計量2、區(qū)間估計區(qū)間估計的概念： 設=是未知參數(shù)的一個估計量, 對于一組樣本觀測值 ( x1, x2, , xn ) , 算得一個估計值), 點估計就是取。定義：設總體的分布函數(shù)為F（ x ；）， 為未知參數(shù)，為的一個樣本，若對事先給定的（ ）存在兩個統(tǒng)計量T1=T1、T2T2使得則稱區(qū)間（T1，T2）為參數(shù)的1- 的區(qū)間估計或1- 的置信區(qū)間T1，T2分別稱為置信下限和置信上限，而1- 稱為置信區(qū)間（T1，T2）的置信度或置信水平，稱為顯著性水平或誤判風險.正態(tài)總體分布的置信區(qū)間總是假定總體，為未知數(shù)，而為的一個樣本。 2已知，求的置信區(qū)間求的1- 置信區(qū)間，就是要找隨機區(qū)間（ T1，T2），使得為此，要先構(gòu)造一個分布為已知的樣本函數(shù)。我們知道 根據(jù)標準正態(tài)分布的分位數(shù)可得即：所求的1- 置信區(qū)間為：，習慣上，這個置信區(qū)間常常寫作 2未知，求的置信區(qū)間