19六年級奧數專題十九：近似值與估算

六年級奧數專題十九：近似值與估算關鍵詞：近似 四舍 近似值 千分 四舍五入法 四舍五入 尾數 奧數 舍去 截取在計數、度量和計算過程中，得到和實際情況絲毫不差的數值叫做準確數。但在大多數情況下，得到的是與實際情況相近的、有一定誤差的數，這類近似地表示一個量的準確值的數叫做這個量的近似數或近似值。例如，測量身高或體重，得到的就是近似數。又如，統計全國的人口數，由于地域廣人口多，統計的時間長及統計期間人口的出生與死亡，得到的也是近似數。用位數較少的近似值代替位數較多的數時，要有一定的取舍法則。要保留的數位右邊的所有數叫做尾數，取舍尾數的主要方法有：（1）四舍五入法。四舍，就是當尾數最高位上的數字是不大于4的數時，就把尾數舍去；五入，就是當尾數最高位上的數字是不小于5的數時，把尾數舍去后，在它的前一位加1。例如：7.3964，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.40。（2）去尾法。把尾數全部舍去。例如：7.3964，截取到千分位的近似值是7.396，截取到百分位的近似值是7.39。（3）收尾法（進一法）。把尾數舍去后，在它的前一位加上1。例如：7.3964，截取到千分位的近似值是7.397，截取到百分位的近似值是7.40。表示近似值近似的程度，叫做近似數的精確度。在上面的三種方法中，最常用的是四舍五入法。一般地，用四舍五入法截得的近似數，截到哪一位，就說精確到哪一位。例1有13個自然數，它們的平均值精確到小數點后一位數是26.9。那么，精確到小數點后兩位數是多少？分析與解：13個自然數之和必然是整數，因為此和不是13的整數倍，所以平均值是小數。由題意知，26.85平均值26.95，所以13個數之和必然不小于26.85的13倍，而小于26.95的13倍。26.8513349.05，26.9513350.35。因為在349.05與350.35之間只有一個整數350，所以13個數之和是350。3501326.923當精確到小數點后兩位數時，是26.92。例1中所用的方法可稱為“放縮法 ”。對于一個數，如例1中13個數的平均數，如果不知道它的確切數值，那么可以根據題設條件，適當地將它放大或縮小，再進一步確定它的具體數值。當然，這里的“放大”與“縮小”都要適當，如果放得過大或縮得過小，則可能無法確定正確值，這時“放縮”就失敗了。分析與解：真正計算出這個算式，再取近似值，幾乎是不可能的。因為題目要求精確到小數點后三位數，所以只要能大概知道小數點后四位數的情況就可以了。若分子縮小、分母擴大，則分數變??；若分子擴大、分母縮小，則分數變大。利用這一點，使用放縮法就能估計算式的值的范圍。分子、分母各取兩位小數，有由0.2037 原式0.2549，無法確定原式小數點后三位的近似值。縮放的范圍太大，應使范圍縮小些。分子、分母各取三位小數，有仍然無法確定，還應使范圍縮小。分子、分母各取四位小數，有由 0.2395原式0.2398知，原式小數點后三位肯定是“239”，第四位在5和8之間。按四舍五入法則，精確到小數點后三位數的近似值是0.240。由例2進一步看出“放縮”適度的重要性。取的位數少了，范圍太大，無法確定；取的位數多了，例如取十位小數，計算量太大，繁瑣且沒有必要。例3 求下式的整數部分：分析與解：對分母使用放縮法，有所以199.1原式200，原式整數部分是199。例4 求下式的整數部分：1.228.03+1.238.02+1.248.01。分析與解：在1.228.03， 1.238.02與1.248.01中，各式的兩個因數之和都相等。當兩個數的和一定時，這兩個數越接近，這兩個數的乘積越大，于是得到1.228.031.238.021.248.01。因為1.228.031.228，所以原式1.2283=29.28；因為 1.248.011.258，所以原式1.2583=30。由29.28原式30知，原式的整數部分是29。前面講過，四舍五入的方法是取近似值最常用的方法。但在實際問題中，一定要注意靈活運用，特別要注意有些問題不宜使用四舍五入的原則。例5某人執(zhí)行爆破任務時，點燃導火線后往70米開外的安全地帶奔跑，其奔跑的速度為7米/秒。已知導火線燃燒的速度是0.112米/秒。問：導火線的長度至少多長才能確保安全？（精確到0.1米）解：0.112（705）0.112101.121.2（米）答：導火線至少長1.2米。此題采用收尾法。如果你的答案是1.1米，執(zhí)行任務的人還沒跑到安全地帶，炸藥就被引爆，那可就太危險了。例6某飛機所載油料最多只能在空中連續(xù)飛行4時，飛去時速度為900千米/時，飛回時速度為850千米/時。問：該飛機最遠飛出多少千米就應返回？（精確到1千米）解：設該飛機最遠能飛出x千米，依題意有答：飛機最遠飛出1748千米就應返回。此題采用去尾法。如果按照四舍五入的原則，那么得到x1749，當飛機真的飛出1749千米再返回時，恐怕在快著陸的瞬間就要機毀人亡了。練習191.有17個自然數，它們的平均值精確到小數點后一位數是21.3，那么精確到小數點后三位數是多少？2.老師在黑板上寫了14個自然數，讓小明計算平均數（保留三位小數），小明計算出的答案是16.387。老師說小數點后第二位錯了，其它的數字都對。正確答案應該是多少？3.計算下式的精確到小數點后三位數的近似值：13579024688642097531。4.求下式的整數部分：1122123313441788。5.求下式的整數部分：2. 454.052.464.042.474.032. 484.022.494.01。6.為了修水電站，需要在極短的時間內向河道中投入300米3石料，以截斷河流。如果每臺大型運輸車一次可運石料17.5米3，那么為保障一次截流成功，至少需多少臺運輸車？7.一條單線鐵路全長 240