6.1留數(shù)的概念及留數(shù)的求法（課堂PPT）

復(fù)變函數(shù)論,FunctionsofOneComplexVariable,湖南第一師范學(xué)院數(shù)理系,1,第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用,6.1留數(shù),6.2用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分,6.3輻角原理及其應(yīng)用,2,1.留數(shù)的定義及留數(shù)定理,設(shè)函數(shù)f(z)在點(diǎn)a解析.作圓C:|za|=r,設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域0|z-a|R內(nèi)解析.選取r，使0rR，并且作圓C:|za|=r,如果f(z)在a也解析，則上面的積分也等于零；,使f(z)在以它為邊界的閉圓盤上解析，那么根據(jù)柯西積分定理,6.1留數(shù),3,如果a是f(z)的孤立奇點(diǎn)，則上述積分就不一定等于零.,定義6.1設(shè)f(z)在點(diǎn)a的某去心鄰域0|za|R內(nèi)解析，則稱積分,為f(z)在孤立奇點(diǎn)a的留數(shù)(residue)，記作,4,而且這一展式在上一致收斂。逐項(xiàng)積分，我們有,因此,注1.我們定義的留數(shù)與圓的半徑無關(guān)：事實(shí)上，在0|z-a|R內(nèi)，f(z)有洛朗展式：,5,注2.f(z)在孤立奇點(diǎn)a的留數(shù)等于其洛朗級(jí)數(shù)展式中,的系數(shù)c-1。,注3.如果a是f(z)的可去奇點(diǎn)，那么,6,柯西留數(shù)定理,定理6.1如果f(z)在周線或復(fù)周線C所圍的區(qū)域D內(nèi)，除a1，a2，an外解析，在閉域D+C上除a1，a2，an外連續(xù)，則,7,8,留數(shù)定理的證明,以D內(nèi)每一個(gè)孤立奇點(diǎn)ak為心，作圓k，,使以它為邊界的閉圓盤上每一點(diǎn)都在D內(nèi)，并且使任意兩個(gè)這樣的閉圓盤彼此無公共點(diǎn)。從D中除去以這些k為邊界的閉圓盤的一個(gè)區(qū)域G，其邊界是C以及k.,在G及其邊界所組成的閉區(qū)域上，f(z)解析。因此根據(jù)柯西定理，,9,注1.留數(shù)定理在兩個(gè)完全不同，也不相干的概念之間架起了一座橋梁.,注2.具體計(jì)算一定要注意前面的系數(shù)2i.,注3.柯西積分定理與柯西積分公式都是柯西留數(shù)定理的特殊情形.,注4.留數(shù)定理把計(jì)算周線積分的整體問題化為計(jì)算各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)的局部問題.,10,2.留數(shù)的求法,計(jì)算f(z)在孤立奇點(diǎn)a的留數(shù)時(shí)，我們只關(guān)心其洛朗級(jí)數(shù)展式中的洛朗系數(shù)c-1，應(yīng)用洛朗級(jí)數(shù)是求留數(shù)的一般方法.但是對(duì)于奇點(diǎn)較多的情形此法較繁.,對(duì)于計(jì)算f(z)在極點(diǎn)a處的留數(shù)時(shí)，我們有下面的定理：,11,定理6.2設(shè)a為f(z)的n階極點(diǎn)，,12,推論6.3設(shè)a為f(z)的二階極點(diǎn)，,定理6.2的結(jié)論也可寫成,推論6.3設(shè)a為f(z)的一階極點(diǎn)，,13,定理6.5設(shè)a為的一階極點(diǎn).,其中P(z)及Q(z)在a解析，P(a)0，Q(a)=0.,14,例1.函數(shù),因此,有兩個(gè)一階極點(diǎn)z=i，這時(shí),15,例2.函數(shù),在z=0有三階極點(diǎn)，而,因此,由上述公式也可得：,16,例3.函數(shù),在z=i有二階極點(diǎn).這時(shí),令z=i+t，那么在,的泰勒展式中，t的系數(shù)就是f(z)在z=i處的留數(shù)。寫出h(t)中每個(gè)因子的到t的一次項(xiàng)，我們有：,17,當(dāng)|t|1時(shí),因此當(dāng)|t|1時(shí)，,于是,18,由上述公式也可得：,19,例6.3計(jì)算積分.,解只以z=0為三階極點(diǎn).,20,例6.4計(jì)算積分.,解法一,21,例6.4計(jì)算積分.,解法二的全部零點(diǎn)為,在|z|=1內(nèi)只有z=0一個(gè)零點(diǎn).且為被積函數(shù)