高等數(shù)學(xué)第六版上下冊(cè)(同濟(jì)大學(xué)出版社)PPT課件

第一章,分析基礎(chǔ),函數(shù),極限,連續(xù),研究對(duì)象,研究方法,研究橋梁,函數(shù)與極限,.,2,第一章,二、映射,三、函數(shù),一、集合,第一節(jié),映射與函數(shù),.,3,元素a屬于集合M,記作,元素a不屬于集合M,記作,一、集合,1.定義及表示法,定義1.,具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.,組成集合的事物稱為元素.,不含任何元素的集合稱為空集,記作.,注:M為數(shù)集,表示M中排除0的集;,表示M中排除0與負(fù)數(shù)的集.,簡(jiǎn)稱集,簡(jiǎn)稱元,.,4,表示法：,(1)列舉法：,按某種方式列出集合中的全體元素.,例:,有限集合,自然數(shù)集,(2)描述法：,x所具有的特征,例:整數(shù)集合,或,有理數(shù)集,p與q互質(zhì),實(shí)數(shù)集合,x為有理數(shù)或無(wú)理數(shù),開(kāi)區(qū)間,閉區(qū)間,.,5,無(wú)限區(qū)間,點(diǎn)的鄰域,其中,a稱為鄰域中心,稱為鄰域半徑.,半開(kāi)區(qū)間,去心鄰域,左鄰域:,右鄰域:,.,6,是B的子集,或稱B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算,定義2.,則稱A,若,且,則稱A與B相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,若,設(shè)有集合,記作,記作,必有,.,7,定義3.給定兩個(gè)集合A,B,并集,交集,且,差集,且,定義下列運(yùn)算:,余集,直積,特例:,為平面上的全體點(diǎn)集,或,.,8,二、映射,某校學(xué)生的集合,學(xué)號(hào)的集合,某班學(xué)生的集合,某教室座位的集合,引例1.,.,9,引例2.,引例3.,(點(diǎn)集),(點(diǎn)集),向y軸投影,.,10,定義4.,設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī),則f,使得,有唯一確定的,與之對(duì)應(yīng),則稱,f為從X到Y(jié)的映射,記作,元素y稱為元素x在映射f下的像,記作,元素x稱為元素y在映射f下的原像.,集合X稱為映射f的定義域;,Y的子集,稱為f的值域.,注意:,1)映射的三要素定義域,對(duì)應(yīng)規(guī)則,值域.,2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.,.,11,對(duì)映射,若,則稱f為滿射;,若,有,則稱f為單射;,若f既是滿射又是單射,則稱f為雙射或一一映射.,引例2,3,引例2,引例2,.,12,例1.,海倫公式,例2.,如圖所示,對(duì)應(yīng)陰影部分的面積,則在數(shù)集,自身之間定義了一種映射,(滿射),例3.,如圖所示,則有,(滿射),(滿射),.,13,X(數(shù)集或點(diǎn)集),說(shuō)明:,在不同數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用,X(),Y(數(shù)集),f稱為X上的泛函,X(),X,f稱為X上的變換,R,f稱為定義在X上的函數(shù),映射又稱為算子.,名稱.例如,.,14,定義域,三、函數(shù),1.函數(shù)的概念,定義5.設(shè)數(shù)集,則稱映射,為定義在,D上的函數(shù),記為,稱為值域,函數(shù)圖形:,自變量,因變量,.,15,(對(duì)應(yīng)規(guī)則),(值域),(定義域),例如,反正弦主值,定義域,對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:,解析法,、圖像法,、列表法,使表達(dá)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義的自變量集合.,定義域,值域,又如,絕對(duì)值函數(shù),定義域,值域,對(duì)無(wú)實(shí)際背景的函數(shù),書(shū)寫(xiě)時(shí)可以省略定義域.,對(duì)實(shí)際問(wèn)題,書(shū)寫(xiě)函數(shù)時(shí)必須寫(xiě)出定義域；,.,16,例4.已知函數(shù),解:,f(x)的定義域,值域,.,17,2.函數(shù)的幾種特性,設(shè)函數(shù),且有區(qū)間,(1)有界性,使,稱,使,稱,說(shuō)明:還可定義有上界、有下界、無(wú)界.,(2)單調(diào)性,為有界函數(shù).,在I上有界.,使,若對(duì)任意正數(shù)M,均存在,則稱f(x)無(wú)界.,稱為有上界,稱為有下界,當(dāng),稱,為I上的,稱,為I上的,單調(diào)增函數(shù);,單調(diào)減函數(shù).,(見(jiàn)P11),.,18,(3)奇偶性,且有,若,則稱f(x)為偶函數(shù);,若,則稱f(x)為奇函數(shù).,說(shuō)明:若,在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng),必有,例如,偶函數(shù),雙曲余弦,記,.,19,又如,奇函數(shù),雙曲正弦,記,再如,奇函數(shù),雙曲正切,記,說(shuō)明:給定,則,偶函數(shù),奇函數(shù),.,20,(4)周期性,且,則稱,為周期函數(shù),若,稱l為周期,(一般指最小正周期).,周期為,周期為,注:周期函數(shù)不一定存在最小正周期.,例如,常量函數(shù),狄利克雷函數(shù),x為有理數(shù),x為無(wú)理數(shù),.,21,3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì),若函數(shù),為單射,則存在一新映射,習(xí)慣上,的反函數(shù)記成,稱此映射,為f的反函數(shù).,其反函數(shù),(減),(減).,1)yf(x)單調(diào)遞增,且也單調(diào)遞增,性質(zhì):,使,其中,.,22,2)函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關(guān)于直線,對(duì)稱.,例如,對(duì)數(shù)函數(shù),互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,指數(shù)函數(shù),.,23,(2)復(fù)合函數(shù),則,設(shè)有函數(shù)鏈,稱為由,確定的復(fù)合函數(shù),u稱為中間變量.,注意:構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件,不可少.,例如,函數(shù)鏈:,但可定義復(fù)合函數(shù),時(shí),雖不能在自然域R下構(gòu)成復(fù)合函數(shù),可定義復(fù)合函數(shù),當(dāng)改,.,24,兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).,例如,可定義復(fù)合函數(shù):,約定:為簡(jiǎn)單計(jì),書(shū)寫(xiě)復(fù)合函數(shù)時(shí)不一定寫(xiě)出其定義域,默認(rèn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)鏈順次滿足構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件.,.,25,4.初等函數(shù),(1)基本初等函數(shù),冪函數(shù)、,指數(shù)函數(shù)、,對(duì)數(shù)函數(shù)、,三角函數(shù)、,反三角函數(shù),(2)初等函數(shù),由常數(shù)及基本初等函數(shù),否則稱為非初等函數(shù).,例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步,驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).,可表為,故為初等函數(shù).,又如,雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).,(自學(xué),P17P20),.,26,非初等函數(shù)舉例:,符號(hào)函數(shù),當(dāng)x0,當(dāng)x=0,當(dāng)x0,取整函數(shù),當(dāng),.,27,設(shè)函數(shù),x換為f(x),例5.,解:,.,28,例6.求,的反函數(shù)及其定義域.,解:,當(dāng),時(shí),則,當(dāng),時(shí),則,當(dāng),時(shí),則,反函數(shù),定義域?yàn)?.,29,內(nèi)容小結(jié),1.集合及映射的概念,定義域?qū)?yīng)規(guī)律,3.函數(shù)的特性,有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性,4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu),作業(yè)P214(5),(8),(10);6;8;9;13;16;17;18,2.函數(shù)的定義及函數(shù)