江西省樟樹中學等九校2020屆高三數(shù)學聯(lián)合考試試題 文（含解析）

江西省樟樹中學等九校2020屆高三聯(lián)合考試數(shù)學（文）試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知集合，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化簡集合，再利用交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以集合，故選A.【點睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關系時，關鍵是將兩集合的關系轉化為元素間的關系，本題實質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.2.已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，且，則實數(shù)（ ）A. -4B. 4C. D. 2【答案】C【解析】【分析】先利用復數(shù)乘法的運算法則化簡復數(shù)，再利用復數(shù)模的公式求解即可.【詳解】復數(shù)，且，所以，解得，故選C.【點睛】復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的模這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查乘除法運算，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.3.某兄弟倆都推銷某一小家電，現(xiàn)抽取他們其中8天的銷售量（單位：臺），得到的莖葉圖如下圖所示，已知弟弟的銷售量的平均數(shù)為34，哥哥的銷售量的中位數(shù)比弟弟的銷售量的眾數(shù)大2，則的值為（ ）A. 5B. 13C. 15D. 20【答案】B【解析】【分析】利用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義，根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)求出的值，從而可得結果 .【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，弟弟的眾數(shù)是34 ,則哥哥的中位數(shù)是，解得，又，解得，故選B.【點睛】本題考查了利用莖葉圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的應用問題，是基礎題.（1）中位數(shù)，如果樣本容量是奇數(shù)中間的數(shù)就是中位數(shù)，如果樣本容量為偶數(shù)中間兩位數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)；（2）眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)；（3）平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的算數(shù)平均數(shù) .4.已知，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用誘導公式化簡，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關系求解即可.【詳解】,因為，且，所以，故選D.【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)之間的關系以及誘導公式的應用，屬于中檔題. 同角三角函數(shù)之間的關系包含平方關系與商的關系，平方關系是正弦與余弦值之間的轉換，商的關系是正余弦與正切之間的轉換.5.已知雙曲線與拋物線有共同的焦點，且點到雙曲線漸近線的距離等于1，則雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由拋物線方程求出焦點坐標，可得，求出漸近線方程，利用點到直線距離公式列關于的方程，解方程組即可得到結果.【詳解】拋物線的焦點坐標為,可得雙曲線的焦點為,化為 ,得,雙曲線的一條漸近線方程為，由點到雙曲線漸近線的距離等于1，得 , 即，又 ，即，聯(lián)立解得，雙曲線的方程為，故選A .【點睛】本題主要考查拋物線、雙曲線的方程及簡單性質(zhì),是中檔題. 求解與雙曲線性質(zhì)有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.6.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，則A. -18B. 0C. 18D. 不能確定【答案】D【解析】【分析】由，可得函數(shù)是周期為6的周期函數(shù)，則 ，由，再由奇偶性可得，從而可得結果.【詳解】函數(shù)滿足，則函數(shù)是周期為6的周期函數(shù)，則 ，由，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以 ，所以，故選B.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、周期性的性質(zhì)以及應用，屬于中檔題. 函數(shù)的三個性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命題，而是常將它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結合、周期性與抽象函數(shù)相結合，并結合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，周期性與奇偶性相結合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.7.函數(shù)f（x）=sin（x）（其中|的圖象如圖所示，為了得到y(tǒng)=sinx的圖象，只需把 的圖象上所有點A. 向右平移個單位長度B. 向右平移個單位長度C. 向左平移個單位長度D. 向左平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的最值求出,由周期求出,由五點法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式,再利用的圖象變換規(guī)律，得出結論.【詳解】由函數(shù)(其中的部分圖象可得,，求得，再根據(jù)五點法作圖可得，故把的圖象向右平移個長度單位,可得的圖象，故選A.【點睛】本題主要通過已知三角函數(shù)的圖象求解析式考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及圖象的平移法則，屬于中檔題.利用最值求出 ,利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點求出，正確求是解題的關鍵.求解析時求參數(shù)是確定函數(shù)解析式的關鍵，由特殊點求時，一定要分清特殊點是“五點法”的第幾個點.8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用底面的外心和高的一半求得球的半徑，由此求得球的表面積.【詳解】畫出幾何體的直觀圖如下圖所示，設球心為，底面等邊三角形的外心為，由三視圖可知，設球的半徑為，則，故球的表面積為，故選C.【點睛】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，考查幾何體外接球的有關計算，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，考查空間想象能力，屬于中檔題.要找到幾何體外接球的球心，主要根據(jù)幾何體的結構，利用球心到球面上的點的距離相等，通過解直角三角形來求解出半徑，從而求得球的表面積或者體積.9.函數(shù)的圖象大致為A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性排除選項；利用時，排除選項，從而可得結果.【詳解】因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關于軸對稱，排除選項；因為時，所以可排除選項，故選A.【點睛】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.10.在中，內(nèi)角，所對應的邊分別為，若，且，則（ ）A. B. C. 2D. 0【答案】D【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，由求得，由兩角和的余弦公式可得，由兩角差的余弦公式可得，可得，從而可得結果.【詳解】因為，所以，由正弦定理可得，即，因為 ，因為，所以，所以，又因為，所以，所以，故選D.【點睛】本題主要考查兩角和與差的余弦公式，以及正弦定理的應用，屬于難題. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.11.如圖所示，是橢圓C：的短軸端點，點M在橢圓上運動，且點M不與，重合，點N滿足，則A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)要求解的比值是常數(shù),可采用特殊點法求解，設在橢圓的左頂點，判斷在的正半軸上，利用三角形面積公式求解即可【詳解】由題意以及選項的值可知：是常數(shù),所以可取為橢圓的左頂點，由橢圓的對稱性可知，在的正半軸上，如圖：則是由射影定理可得，可得 ，則,故選C .【點睛】本題考查橢圓的方程與簡單性質(zhì)的應用,以及選擇題的解法，屬于難題. 特殊法是“小題小做”的重要策略，用特例代替題設所給的一般性條件，得出特殊結論，然后對各個選項進行檢驗，從而做出正確的判斷，這種方法叫做特殊法. 若結果為定值，則可采用此法.12.若函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點，其坐標滿足條件：的最大值為0，則稱為“柯西函數(shù)”，則下列函數(shù)：；其中為“柯西函數(shù)”的個數(shù)為A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】問題轉化為存在過原點的直線與的圖象有兩個不同的交點，利用方程思想與數(shù)形結合思想，逐一判斷即可.【詳解】由柯西不等式得：對任意實數(shù)恒成立(當且僅當取等號），若函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點，其坐標滿足條件：的最大值為0，則函數(shù)在其圖象上存在不同的兩點，使得共線，即存在過原點的直線與的圖象有兩個不同的交點：對于 ,方程,即，不可能有兩個正根，故不存在；對于，由圖可知不存在；對于，由圖可知存在；對于，由圖可知存在,所以“柯西函數(shù)”的個數(shù)為2，故選B.【點睛】本題考查了新定義,以及轉化思想與數(shù)形結合思想的應用，屬于難題. 數(shù)形結合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關系提供了“形”的直觀性歸納起來，圖象的應用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知平面向量，且，則_【答案】2【解析】【分析】根據(jù),即可得出 ,由數(shù)量積的坐標運算即可求出 ,從而可求出,進而可得結果.【詳解】, ,解得 ,所以,，故答案為.【點睛】本題主要考查向量垂直的坐標表示以及向量模的公式，屬于中檔題. 利用向量的位置關系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.14.已知變量，滿足，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由約束條件作出可行域，利用是可行域內(nèi)的動點與定點連線的斜率，結合兩點連線的斜率公式可得結果.【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立,解得,聯(lián)立，解得，的幾何意義是可行域內(nèi)的動點與定點連線的斜率，的取值范圍是，故答案為.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點（在可行域內(nèi)平移或旋轉變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.15.2020年4月4日，中國詩詞大會第三季總決賽如期舉行，依據(jù)規(guī)則：本場比賽共有甲、乙、丙、丁、戊五位選手有機會問鼎冠軍，某家庭中三名詩詞愛好者依據(jù)選手在之前比賽中的表現(xiàn)，結合自己的判斷，對本場比賽的冠軍進行了如下猜測：爸爸：冠軍是乙或?。粙寢專汗谲娨欢ú皇潜投。缓⒆樱汗谲娛羌谆蛭?比賽結束后發(fā)現(xiàn)：三人中只有一個人的猜測是對的，那么冠軍是_【答案】丁【解析】【分析】假設冠軍分別是甲、乙、丙、丁、戊，分別判斷孩子、媽媽、爸爸的判斷是否正確，即可得結果.【詳解】若冠軍是甲或戊，孩子與媽媽判斷都正確，不合題意；若冠軍是乙，爸爸與媽媽判斷都正確，不合題意；若冠軍是丙，三個人判斷都不正確，不合題意；若冠軍是丁，只有爸爸判斷正確，合題意，故答案為丁.【點睛】本題主要考查推理案例，屬于中檔題.推理案例的題型是高考命題的熱點，由于條件較多，做題時往往感到不知從哪里找到突破點，解答這類問題，一定要仔細閱讀題文，逐條分析所給條件，并將其引伸，找到各條件的融匯之處和矛盾之處，多次應用假設、排除、驗證，清理出有用“線索”，找準突破點，從而使問題得以解決.16.如圖所示，三棱錐的頂點，都在同一球面上，過球心且，是邊長為2等邊三角形，點、分別為線段，上的動點（不含端點），且，則三棱錐體積的最大值為_【答案】【解析】【分析】可先證明平面，設，則 ，可得三棱錐體積 ，利用基本不等式可得結果.【詳解】過球心 ，又是邊長為的等邊三角形，,三角形是等腰直角三角形， ，又因為,在平面內(nèi)，由線面垂直的判定定理可得平面 ,即平面，設， ，則三棱錐體積，當且僅當，即時取等號，故答案為.【點睛】本題考查了空間線面位置關系，及三棱錐體積計算，考查了最值問題,屬于中檔題. 解決立體中的最值問題一般有兩種方法：一是利用空間、平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將最值問題轉化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法解答.三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）17.已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足的解集為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由韋達定理可得且，利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，列方程解得首項和公差，即可得到所求通項公式；（2）結合（1）求得,運用數(shù)列的分組求和，結合等比數(shù)列與等差數(shù)列的求和公式，即可得到所求和.【詳解】（1）因為的解集為所以且，.（2）由（1）可得 ，.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式以及等比數(shù)列的求和公式， “分組求和法”求數(shù)列前項和，屬于中檔題. 利用“分組求和法”求數(shù)列前項和常見類型有兩種：一是通項為兩個公比不相等的等比數(shù)列的和或差，可以分別用等比數(shù)列求和后再相加減；二是通項為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的和或差，可以分別用等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和后再相加減.18.已知斜三棱柱的側面與底面垂直，側棱與底面所成的角為，.（1）求證：平面平面；（2）若為的中點，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得，平面，由此得，結合利用線面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而可得結果；（2）結合（1），側棱與底面所成的角為，利用直角三角形的性質(zhì)可得，點到平面的距離等于點到平面的距離的一半為1，結合“等積變換”，利用錐體的體積公式可得結果.【詳解】（1）平面平面 平面平面，平面，又，平面，又 平面，平面平面.（2）由（1）可知，平面平面，則平面，又側棱與底面所成的角為， ，點到平面的距離等于點到平面的距離的一半為1，則，.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理以及錐體的體積公式，屬于難題題. 解答空間幾何體中垂直關系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關系進行轉化，轉化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理.19.某商場營銷人員進行某商品市場營銷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每回饋消費者一定的點數(shù)，該商品當天的銷量就會發(fā)生一定的變化，經(jīng)過試點統(tǒng)計得到以下表：反饋點數(shù)12345銷量（百件）/天0.50.611.41.7（1）經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合當?shù)卦撋唐芬惶熹N量（百件）與該天返還點數(shù)之間的相關關系.請用最小二乘法求關于的線性回歸方程，并預測若返回6個點時該商品當天銷量；（2）若節(jié)日期間營銷部對商品進行新一輪調(diào)整.已知某地擬購買該商品的消費群體十分龐大，經(jīng)過營銷部調(diào)研機構對其中的200名消費者的返點數(shù)額的心理預期值進行了一個抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：返還點數(shù)預期值區(qū)間（百分比）頻數(shù)206060302010將對返還點數(shù)的心理預期值在和的消費者分別定義為“欲望緊縮型”消費者和“欲望膨脹型”消費者，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個區(qū)間的30名消費者中隨機抽取6名，再從這6人中隨機抽取3名進行跟蹤調(diào)查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨脹型”消費者的概率.（參考公式及數(shù)據(jù)：回歸方程，其中，；.）【答案】（1），返回6個點時該商品每天銷量約為2百件；（2）（i），中位數(shù)的估計值為，（ii）見解析【解析】【分析】(1)求出變量的平均數(shù)，求出最小二乘法所需要的數(shù)據(jù)，可得線性回歸方程的系數(shù),再根據(jù)樣本中心點一定在線性回歸方程上，求出的值，寫出線性回歸方程； 代入線性回歸方程求出對應的的值，即可預測返回6個點時該商品每天銷量；(2)利用分層抽樣方法求得“欲望膨脹型”消費者與 “欲望緊縮型”消費者中抽取的人數(shù)，利用列舉法得到所有的抽樣情況共20種，其中至少有1名“欲望膨脹型”消費者的情況有16種，利用古典概型概率公式可得結果.【詳解】（1）易知，則y關于x的線性回歸方程為，當時，即返回6個點時該商品每天銷量約為2百件.（2）設從“欲望膨脹型”消費者中抽取人，從“欲望緊縮型”消費者中抽取人，由分層抽樣的定義可知，解得，在抽取的6人中，2名“欲望膨脹型”消費者分別記為，4名“欲望緊縮型”消費者分別記為，則所有的抽樣情況如下：共20種，其中至少有1名“欲望膨脹型”消費者的情況有16種，記事件A為“抽出的3人中至少有1名欲望膨脹型消費者”，則.【點睛】本題主要考查回歸方程的求法與應用、分層抽樣與古典概型概率公式的應用，屬于中檔題. 利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數(shù)是解題的關鍵，基本亊件的探求方法有 (1)枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先，. ，再，.依次 . 這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.20.在直角坐標系xOy中，已知橢圓E的中心在原點，長軸長為8，橢圓在X軸上的兩個焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形求橢圓的標準方程；過橢圓內(nèi)一點的直線與橢圓E交于不同的A，B兩點，交直線于點N，若，求證：為定值，并求出此定值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由長軸為8，得，由兩個焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形，可得，從而可得結果；（2）設，由可得，代入橢圓方程得到,同理可得，利用韋達定理可得結果.【詳解】（1）因為長軸為8，所以，又因為兩個焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形，所以，由于橢圓焦點在軸上，所以橢圓的標準方程為：；（2）設，由得，所以，因為上，所以得到，得到；同理，由可得，所以m，n可看作是關于x的方程的兩個根，所以，為定值.【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種： 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關； 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.21.設函數(shù)，a為實數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若存在實數(shù)a，使得對任意恒成立，求實數(shù)m的取值范圍提示：【答案】（1）單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；（2）【解析】【分析】（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）令，時，不合題意，時，利用導數(shù)求得，問題等價于恒成立，再利用導數(shù)求得的最大值即可得結果.【詳解】（1），由，得，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）令， 則，若e-a0，可得h（x）0，函數(shù)h（x）為增函數(shù)，當x+時，h（x）+， 不滿足h（x）0對任意xR恒成立；若e-a0，由h（x）=0，得，則， 當x時，h（x）0，當x時，h（x）0， ，若f（x）g（x）對任意xR恒成立， 則0（ae）恒成立， 若存在實數(shù)a，使得0成立