屆高考文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(第輪)廣西專(zhuān)版課件：均值不等式.ppt

,第六章,不等式,6.2均值不等式,一、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理1.若a0，b0，則稱(chēng)_為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)_為兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù).2.如果a、b為實(shí)數(shù)，那么a2+b22abab_，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào).3.如果a、b為正實(shí)數(shù)，那么_，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).,如果a+b為定值P,那么ab有最_值，為_(kāi);如果ab為定值S,那么a+b有最_值,為_(kāi).這一結(jié)論稱(chēng)為均值定理.其應(yīng)用的三個(gè)條件依次為_(kāi)、_、11_.二、不等式恒成立問(wèn)題不等式af(x)恒成立，f(x)max存在12_，不等式af(x)恒成立，f(x)min存在13_.,大,小,一正,二定,三相等,af(x)max,af(x)mix,盤(pán)點(diǎn)指南：;大；;??；;一正；二定；三相等；11af(x)max;12af(x)min,若x,y,且x+y=s,xy=p,則下列命題中正確的是()A.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，s有最小值B.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，p有最大值C.當(dāng)且僅當(dāng)p為定值時(shí)，s有最小值D.若s為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，p有最大值解：由均值不等式易得答案為D.,D,若x,y,x+y4,則下列不等式中成立的是()解：故選B.,B,設(shè)a0，b0，則下列不等式中不成立的是()解法1：由于是選擇題，可用特值法，如取a=4,b=1,代入各選項(xiàng)中的不等式,易判斷不成立.解法2：可逐項(xiàng)使用均值不等式判斷不等式成立;,B.因?yàn)橄喑说贸闪?C.因?yàn)橛钟傻盟猿闪?D.因?yàn)椋运约床怀闪?故選D.,1.今有一臺(tái)壞天平,兩臂長(zhǎng)不等,其余均精確.有人說(shuō)要用它稱(chēng)物體的重量,只需將物體放在左右托盤(pán)各稱(chēng)一次,則兩次稱(chēng)量結(jié)果的和的一半就是物體的真實(shí)重量,這種說(shuō)法對(duì)嗎?并說(shuō)明你的理由.解：不對(duì).設(shè)左、右臂長(zhǎng)分別是l1,l2,物體放在左、右托盤(pán)稱(chēng)得重量分別為a,b，真實(shí)重量為G.,題型1利用均值不等式比較代數(shù)式的大小,則由杠桿平衡原理有：l1G=l2b，l2G=l1a.得G2=ab,所以.由于l1l2，故ab,由均值不等式知說(shuō)法不對(duì),真實(shí)重量是兩次稱(chēng)量結(jié)果的幾何平均值.點(diǎn)評(píng)：本題考查均值不等式,杠桿平衡原理知識(shí)及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬跨學(xué)科(數(shù)學(xué)、物理)的創(chuàng)新問(wèn)題.均值不等式應(yīng)用的條件是“一正二定三相等”，即兩個(gè)數(shù)都為正數(shù)，兩個(gè)數(shù)的和或積是定值，有相等的可取值.,已知a、b、c都是正數(shù)，且a+b+c=1.求證：證明：因?yàn)樗酝?，有所以但由?a+21，所以上式不能取等號(hào).所以,2.(1)已知x0,y0,且求x+y的最小值;(2)已知x0,y0,所以,題型2求函數(shù)或代數(shù)式的最值,當(dāng)且僅當(dāng)即y=3x時(shí),上式等號(hào)成立.又所以x=4,y=12時(shí)，(x+y)min=16.(2)因?yàn)閤0,所以當(dāng)且僅當(dāng)即x=1時(shí),上式等號(hào)成立,故當(dāng)x=1時(shí)，ymax=1.,(3)由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy，所以所以x+y=(x+y)()=10+=10+2()10+22=18,當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2y時(shí)取等號(hào).又2x+8y-xy=0，所以x=12,y=6,所以當(dāng)x=12,y=6時(shí)，x+y取最小值18.,點(diǎn)評(píng)：第(2)小題是一類(lèi)應(yīng)用均值不等式求分式型函數(shù)的最值的題型，此類(lèi)問(wèn)題求解中注意變形配湊成兩個(gè)正數(shù)的和式(或積式)，且它們的積(或和)式為定值的形式，然后看能否有相等條件，若有再利用均值不等式得出函數(shù)的最值；若沒(méi)有，則利用函數(shù)的單調(diào)性求解.第(1)(3)小題可利用已知條件轉(zhuǎn)化為(2)的形式.,3.若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x、y,不等式恒成立，則a的最小值是.解：若不等式恒成立,則恒成立.所以因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào).所以a，故amin=.,題型3用均值不等式求解不等式中的恒成立問(wèn)題,點(diǎn)評(píng)：求恒成立中的問(wèn)題的方法比較多，本題利用的是分離變量法：即一邊為所求參數(shù)a；另一邊是其他參數(shù)的式子，然后求其式子的最值.從填空題的角度來(lái)思考，本題也可以利用對(duì)稱(chēng)式的特點(diǎn)取x=y=1，由此猜想a的值.,已知a、b、cR,求證：證明：因?yàn)樗酝?三式相加得,1.均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”及將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能.2.