數(shù)學(xué)解析幾何綜合題解題思路案例分析人教

高考數(shù)學(xué)解析幾何綜合題解題思路案例分析解析幾何綜合題是高考命題的熱點(diǎn)內(nèi)容之一. 這類試題往往以解析幾何知識(shí)為載體，綜合函數(shù)、不等式、三角、數(shù)列等知識(shí)，所涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)解題能力考查的層次要求較高，考生在解答時(shí)，常常表現(xiàn)為無(wú)從下手，或者半途而廢。據(jù)此筆者認(rèn)為：解決這一類問(wèn)題的關(guān)鍵在于：通觀全局，局部入手，整體思維. 即在掌握通性通法的同時(shí)，不應(yīng)只形成一個(gè)一個(gè)的解題套路，解題時(shí)不加分析，跟著感覺(jué)走，做到那兒算那兒. 而應(yīng)當(dāng)從宏觀上去把握，從微觀上去突破，在審題和解題思路的整體設(shè)計(jì)上下功夫，不斷克服解題征途中的道道運(yùn)算難關(guān).1判別式-解題時(shí)時(shí)顯神功案例1已知雙曲線，直線過(guò)點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問(wèn)題的重要手段. 從“有且僅有”這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過(guò)點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路：把直線l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式直線l在l的上方且到直線l的距離為解題過(guò)程略.分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路：轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題求解問(wèn)題關(guān)于x的方程有唯一解簡(jiǎn)解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離為： 于是，問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程.由于，所以，從而有于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于.由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .點(diǎn)評(píng)：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.2判別式與韋達(dá)定理-二者聯(lián)用顯奇效案例2已知橢圓C:和點(diǎn)P（4，1），過(guò)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個(gè)軌跡問(wèn)題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問(wèn)題可以通過(guò)參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過(guò)消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來(lái)？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來(lái)轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過(guò)這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒(méi)有開(kāi)始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y = k (x4)+1，消去參數(shù)k點(diǎn)Q的軌跡方程在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過(guò)是得到關(guān)于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過(guò)程。簡(jiǎn)解：設(shè)，則由可得：，解之得： （1）設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程： （2） 代入（1），化簡(jiǎn)得： (3)與聯(lián)立，消去得：在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： （）.點(diǎn)評(píng)：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問(wèn)題求解的一條有效通道.3求根公式-呼之欲出亦顯靈案例3設(shè)直線過(guò)點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到： =，但從此后卻一籌莫展, 問(wèn)題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系.分析1:從第一條想法入手， =已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個(gè)變量直線AB的斜率k. 問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA= f（k），xB = g（k）得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式求根公式AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡(jiǎn)解1：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得;當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形.當(dāng)時(shí)，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，綜上 .分析2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來(lái). 一般來(lái)說(shuō)，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問(wèn)題的橋梁，但本題無(wú)法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問(wèn)題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式.把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式關(guān)于所求量的不等式韋達(dá)定理AP/PB = （xA / xB）由判別式得出k的取值范圍簡(jiǎn)解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*）則令，則，在（*）中，由判別式可得 ，從而有 ，所以 ，解得 .結(jié)合得. 綜上，.點(diǎn)評(píng)：范圍問(wèn)題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題