高爾夫球射程問題

第卷第期武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)（交通科學(xué)與工程版）年月（() () () ）() () 高爾夫球射程問題的動(dòng)力學(xué)模擬研究高明向）陳定方）（武漢理工大學(xué)理學(xué)院）武漢）（武漢理工大學(xué)智能制造與控制研究所）武漢）摘要：利用數(shù)值模擬方法研究了高爾夫球的射程問題通過對初始速率、旋轉(zhuǎn)速度及拋射角等多種能夠人為控制的因素對射程影響的模擬與分析，得到了這些因素影響射程的規(guī)律關(guān)鍵詞：高爾夫球；射程；數(shù)值模擬中圖法分類號(hào)：引言量，繞過質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為；為重力加速度；為空氣密度；為空氣的阻力系數(shù)；為高爾夫球是一種把享受大自然樂趣、體育鍛空氣的動(dòng)態(tài)粘滯系數(shù)；為球的特征面積；為球煉和游戲集于一身的運(yùn)動(dòng)，是一種在優(yōu)美環(huán)境中的體積；為風(fēng)對球的作用力，也是位置和時(shí)間進(jìn)行的高尚娛樂活動(dòng)對高爾夫球類運(yùn)動(dòng)規(guī)律的的函數(shù)，可以根據(jù)實(shí)際需要建立不同的風(fēng)力模型研究，將有助于高爾夫球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展在國外，對則球在空氣中平動(dòng)的常微分方程為（，）高爾夫球運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究方法除理論和實(shí)驗(yàn)研究（，）外，還采用數(shù)值模擬方法在國內(nèi)則側(cè)重于理論（，）（，）（，）分析，而在實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值模擬上做得還不 夠在這些文獻(xiàn)中，為了分析和表示的方便，多將一些對球的運(yùn)動(dòng)影響較小的因素忽略不計(jì)，并把空氣的阻力系數(shù)當(dāng)成常量處理，因而得到的理論分析結(jié)果和實(shí)際情況有一定差別盡可能多地考慮影響高爾夫球運(yùn)動(dòng)的因素，建立高爾夫球運(yùn)動(dòng)微分方程，利用數(shù)值模擬方法，對高爾夫球的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)模擬，可以最大限度地獲得其真實(shí)的動(dòng)力學(xué)行為，無論對于工程應(yīng)用還是游戲娛樂都具有很大的實(shí)際意義本文針對球員能夠控制且對射程有明顯影響的因素進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)模擬與分析高爾夫球的運(yùn)動(dòng)微分方程設(shè)高爾夫球的質(zhì)量為；半徑為；質(zhì)心速度為，是位置和時(shí)間的函數(shù)；為單位速度矢（）在空氣中轉(zhuǎn)動(dòng)的常微分方程為() （，）（）方程（）右側(cè)第項(xiàng)為球的重力；第項(xiàng)為空氣阻力；第項(xiàng)為馬格納斯升力；第項(xiàng)為空氣浮力；方程（）右側(cè)為空氣對球的阻力矩下面根據(jù)此方程對高爾夫球的射程問題進(jìn)行數(shù)值模擬，并對結(jié)果進(jìn)行分析下文提到的粗糙球是指現(xiàn)代高爾夫球（網(wǎng)紋高爾夫球）阻力與光滑程度和球速的關(guān)系當(dāng)高爾夫球在空氣中飛行時(shí)，由于其速度比較高，空氣阻力所產(chǎn)生的影響就顯得十分明顯對于大小相同、初始速率相等的球來說，其所受空氣收稿日期：高明向（）：男，博士，講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)樘摂M現(xiàn)實(shí)技術(shù)的理論與實(shí)現(xiàn)湖北省科技攻關(guān)項(xiàng)目資助（批準(zhǔn)號(hào)：） 第期高明向，等：高爾夫球射程問題的動(dòng)力學(xué)模擬研究阻力的差異表現(xiàn)在的不同，則與球表面粗糙程度以及雷諾數(shù)有關(guān)圖反映了時(shí)，粗糙球與光滑球的與間的關(guān)系當(dāng)時(shí)，由于光滑球與粗糙球表面形成的邊界層都是層流，邊界層的分離點(diǎn)大致相同，壓差阻力也差不多一樣但是，由于粗糙的表面會(huì)增加摩擦阻力，因而此時(shí)粗糙球也會(huì)比光滑球受到更大的阻力圖粗糙球與光滑球的與間的關(guān)系如圖所示，對于光滑球，當(dāng)超過時(shí)突然減小，對于粗糙球，當(dāng)超過時(shí)開始減少，而接近時(shí)達(dá)到最小優(yōu)秀高爾夫球運(yùn)動(dòng)員的擊球速度可達(dá)到，可以計(jì)算，對于實(shí)際的高爾夫球，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下， 時(shí)，此速度下，根據(jù)圖，在此雷諾數(shù)下空氣對粗糙球的阻力系數(shù)約為，而對光滑球的阻力系數(shù)約為（圖中已用虛線標(biāo)出）因此粗糙球受到的空氣阻力要比光滑球小得多但速度為時(shí)，根據(jù)圖，空氣對二者的阻力系數(shù)相差更多隨著雷諾數(shù)的增加，當(dāng)超過時(shí)，從圖中看到，空氣對粗糙球的阻力系數(shù)反而超過了光滑球此時(shí)的球速大約為，一般情況下，很難打出這么高的速度高爾夫球射程的動(dòng)力學(xué)模擬射程與初速率及表面光滑程度的關(guān)系針對光滑球與粗糙球進(jìn)行射程模擬實(shí)驗(yàn)，研究初速率對射程的影響，并對光滑球和粗糙球的射程進(jìn)行比較結(jié)果如下環(huán)境條件空氣溫度為（溫度影響空氣阻力系數(shù)）、無風(fēng)初始條件球的運(yùn)行方向?yàn)檩S，并采用理論最佳拋射角，即與地面夾角為斜向上拋射，球不旋轉(zhuǎn)研究方法給定初始條件和環(huán)境條件，改變初始速率，獲取高爾夫球飛行過程中的數(shù)據(jù)，使用軟件處理數(shù)據(jù)圖反映了粗糙球的射程與初始速率的關(guān)系從圖中可以看到，在一定的初始速率范圍內(nèi)，增加球的初始速率能夠有效地增加射程大約在的范圍內(nèi)，球的射程幾乎隨著初始速率的增加而線性地增大，當(dāng)初始速率超過時(shí)，隨著初始速率的增加，射程的增量開始減小圖射程與初始速率的關(guān)系通過對粗糙球與光滑球的射程差（粗糙球射程光滑球射程）及射程比（粗糙球射程光滑球射程）與初速率間的關(guān)系進(jìn)行模擬，結(jié)果顯示，二者之間的最大比值約為，即粗糙球的射程是光滑球的倍，此時(shí)球的初始速率在的范圍內(nèi)，一般情況下，球的初始速率都要低于此值，此時(shí)的射程比為之間模擬結(jié)果還表明，當(dāng)初始速率低于時(shí)，光滑球與粗糙球的射程無差別，高于時(shí)射程的增大量變得越來越小，超過時(shí)，粗糙球的優(yōu)勢就變得越來越小了，這種優(yōu)勢隨著初始速率的增加幾乎線性地減小，當(dāng)速度超過時(shí)，光滑球反而比粗糙球飛行得更遠(yuǎn)這是由于，如圖所示，此時(shí)空氣對光滑球的阻力系數(shù)要小于對粗糙球的阻力系數(shù)所以，現(xiàn)代高爾夫球的極限初始速率應(yīng)該控制在以內(nèi)拋射角對射程的影響通過拋射角對射程影響的模擬，得到了最佳拋射角與初始速率的關(guān)系，模擬結(jié)果如下環(huán)境條件空氣溫度為 （溫度影響空氣阻力系數(shù)）、無風(fēng)初始條件球的運(yùn)行方向?yàn)檩S，球不旋轉(zhuǎn)武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)（交通科學(xué)與工程版）年第卷研究方法給定初始條件和環(huán)境條件，改變拋射角，獲取高爾夫球飛行過程中的數(shù)據(jù)模擬結(jié)果顯示，不同的初始速率下，最佳拋射角并不相同初始速率為時(shí)，最佳拋射角約為此時(shí)的射程約為；初始速率為時(shí)，最佳拋射角約為，此時(shí)的射程約為；初始速率為時(shí)，最佳拋射角約為，此時(shí)的射程約為；而當(dāng)初始速率增至?xí)r，最佳拋射角約為，此時(shí)的射程為模擬試驗(yàn)表明，當(dāng)考慮到旋轉(zhuǎn)的影響時(shí)，射程會(huì)超過這個(gè)數(shù)值，但最大射程不會(huì)超過，這就是現(xiàn)代小型高爾夫球場要求洞(，) 間距在以內(nèi)，而球的飛行速率設(shè)計(jì)為最高的原因所在圖反映了最佳拋射角與初始速率間的關(guān)系初始速率低于時(shí)的最佳拋射角均為，隨著初始速率的增加，最佳拋射角在減小當(dāng)球速接近時(shí)，最佳拋射角將減小為，高于此速率時(shí)，最佳拋射角又開始增大，但不超過，而當(dāng)初始速率高于時(shí)，拋射角又開始減小，并漸漸趨向的拋射角初始速率高于時(shí)，就要更換為光滑的球了，因而不需考慮此時(shí)的拋射角問題圖初始速率與最佳拋射角的關(guān)系轉(zhuǎn)速對射程的影響旋轉(zhuǎn)對高爾夫球的射程也有明顯的影響從球手的角度看，球的旋轉(zhuǎn)可以分為上旋、下旋、側(cè)旋等，其中，上旋將會(huì)增大球的射程，而下旋則會(huì)減小球的射程，因?yàn)橄滦龝r(shí)，空氣對球的升力將導(dǎo)致球很快下墜而側(cè)旋則會(huì)改變球在空中的路徑，從而形成各種各樣的飛行姿態(tài)，高爾夫球空中飛行的 “九形圖 ”就與球的不同旋轉(zhuǎn)形式有關(guān)旋轉(zhuǎn)對射程的影響，還與球的拋射角有關(guān)，不同拋射角下，需要有不同的轉(zhuǎn)速配合才能達(dá)到最大射程下面以初始速率研究轉(zhuǎn)速、拋射角對射程的影響從圖看到，提高轉(zhuǎn)速的同時(shí)降低拋射角能夠有效增加射程當(dāng)拋射角較大時(shí)，增大轉(zhuǎn)速對射程的增加并沒有太大的好處，相反當(dāng)轉(zhuǎn)速提高到一定程度后，反而使射程減少，原因在于，旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的升力不僅在豎直方向上與重力抗衡，還會(huì)在水平方向上產(chǎn)生與球運(yùn)動(dòng)方向相反的分量，從而加劇了球在水平方向上的減速運(yùn)動(dòng)而當(dāng)球的旋轉(zhuǎn)速度超過一定數(shù)值后，球反而會(huì)在空中折回球的拋射點(diǎn)在其他初始速率下，轉(zhuǎn)速對射程的影響是相似的圖轉(zhuǎn)速、拋射角與射程的關(guān)系結(jié)束語通過建立高爾夫球的動(dòng)力學(xué)微分方程，并利用空氣對不同粗糙程度球的阻力曲線，在初始速率為的范圍內(nèi)對高爾夫球的射程問題進(jìn)行模擬研究，得出了能夠人為控制的多種因素（如初始速率、拋射角度、旋轉(zhuǎn)等）對高爾夫球射程的影響規(guī)律，模擬結(jié)果與真實(shí)高爾夫球的運(yùn)動(dòng)非常接近，因而對于增強(qiáng)高爾夫球的擊球技術(shù)和相關(guān)娛樂游戲的開發(fā)是有實(shí)際指導(dǎo)意義的 第期高明向，等：高爾夫球射程問題的動(dòng)力學(xué)模擬研究參考文獻(xiàn)，（）：高明向虛擬環(huán)境中球形物體的動(dòng)力學(xué)行為建模及夏皮羅形與流漫談阻力流體動(dòng)力學(xué)談鎬其應(yīng)用研究武漢：武漢理工大學(xué)理學(xué)院，生，譯北京：科學(xué)出版社，楊寶勝，王淑惠仰角取何值時(shí)鉛球拋得最遠(yuǎn)物林榮生流體力學(xué)在體育運(yùn)動(dòng)中的某些應(yīng)用力學(xué)理通報(bào)，（）：與實(shí)踐，（）：譚受清，熊定勛高爾夫?qū)д撻L沙：國防科技大劉雅君高爾夫球射程問題的討論大學(xué)物理，學(xué)出版社，）（，）（，）：，：；檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶歡迎訂閱武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)（交通科學(xué)與工程版）武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)（交通科學(xué)與工程版）是基礎(chǔ)理論與應(yīng)用相結(jié)合的中央級學(xué)術(shù)性期刊本刊報(bào)導(dǎo)范圍突出現(xiàn)代交通科學(xué)與工程，兼顧其他相關(guān)學(xué)科及交叉學(xué)科主要刊登有關(guān)數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、船舶與海洋工程、機(jī)械科學(xué)與工程、船舶機(jī)械、輪機(jī)工程、港口機(jī)械、智能交通系統(tǒng)（）、車輛