廣東廣州實(shí)驗(yàn)中學(xué)、執(zhí)信中學(xué)高三數(shù)學(xué)聯(lián)考理

廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2018屆高三上學(xué)期10月段測(cè)試數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.復(fù)數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題可知故本題答案選2.等差數(shù)列中，為等比數(shù)列，且，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的定義與性質(zhì)，求出的值，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出的值【詳解】等差數(shù)列中，又，所以，解得或（舍去），所以，所以故選【點(diǎn)睛】本題考查了等差與等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，考查了計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題目3.已知，“函數(shù)有零點(diǎn)”是“函數(shù)在上是減函數(shù)”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 即不充分也不必要條件【答案】B【解析】試題分析：由題意得，由函數(shù)有零點(diǎn)可得，而由函數(shù)在上為減函數(shù)可得，因此是必要不充分條件，故選B考點(diǎn)：1.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；2.對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；3.充分必要條件.4.下面給出四種說(shuō)法：設(shè)、分別表示數(shù)據(jù)、的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，則；在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，越接近于，表示回歸的效果越好；繪制頻率分布直方圖時(shí)，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的組距；設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則其中不正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)數(shù)據(jù)求出的平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)即可判斷；對(duì)于B，相關(guān)指數(shù)R2越接近1，表示回歸的效果越好；對(duì)于C，根據(jù)頻率分布直方圖判定； 對(duì)于D，設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N（4，22），利用對(duì)稱性可得結(jié)論；【詳解】解：將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：、，中位數(shù)：；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是因?yàn)榇私M數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是，所以是此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；則；越接近于，表示回歸的效果越好，正確；根據(jù)頻率分布直方圖的意義，因?yàn)樾【匦蔚拿娣e之和等于，頻率之和也為，所以有各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率；故錯(cuò)；隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是，故正確故選【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)：頻率分布直方圖和線性回歸及分類(lèi)變量X，Y的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題5.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫(huà)出的是該幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三視圖可得，直觀圖為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為6的圓柱的一半，即可求出幾何體的體積【詳解】由三視圖可得，直觀圖為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為的圓柱的一半，故選【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖還原幾何體，體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題6.對(duì)于實(shí)數(shù)，若函數(shù)圖象上存在點(diǎn)滿足約束條件，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形可得函數(shù)的圖象與直線xy+30交于點(diǎn)（1，2），當(dāng)點(diǎn)A與該點(diǎn)重合時(shí)圖象上存在點(diǎn)（x，y）滿足不等式組，且此時(shí)m達(dá)到最小值，由此即可得到m的最小值【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的三角形，其中，再作出指數(shù)函數(shù)的圖象，可得該圖象與直線交于點(diǎn)，因此，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，圖象上存在點(diǎn)滿足不等式組，且此時(shí)達(dá)到最小值，即的最小值為故選【點(diǎn)睛】本題給出二元一次不等式組，求能使不等式成立的m的最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和函數(shù)圖象的作法等知識(shí)，屬于中檔題7.有一個(gè)球的內(nèi)接圓錐，其底面圓周和頂點(diǎn)均在球面上，且底面積為已知球的半徑，則此圓錐的側(cè)面積為（ ）A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】由題意列方程求出圓錐的高h(yuǎn)，再求出圓錐的母線長(zhǎng)l，即可求出圓錐的側(cè)面積【詳解】圓錐，是底面圓心，為球心， ，如圖，在上， 如圖，故選【點(diǎn)睛】本題考查了丁球內(nèi)接圓錐的側(cè)面積問(wèn)題，求出圓錐的高是關(guān)鍵，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中檔題8.已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將A和B點(diǎn)代入雙曲線的方程，兩式相減即可求得直線的斜率，由直線AB的斜率k=1，即可求得=，根據(jù)雙曲線的離心率公式，即可求得雙曲線C的離心率【詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中點(diǎn)為N（12，15），則x1+x2=24，y1+y2=30，由，兩式相減得：=，則=，由直線AB的斜率k=1，=1，則=，雙曲線的離心率e=，雙曲線C的離心率為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率公式，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，考查直線的斜率，考查計(jì)算能力，屬于中檔題9.在正方體中，分別是棱，的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)，面與面相交于，面與面相交于，則直線，的夾角為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】畫(huà)出圖象，可得m即為CF，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可得mn【詳解】如圖所示：，分別是棱，的中點(diǎn)，故，則面即為平面與平面相交于，即直線，由，可得平面，故面與面相交于時(shí)，必有，即，即直線，的夾角為故選【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間直線的夾角，線面平行的判定定理及性質(zhì)定理，難度中檔10.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增；函數(shù) 的最小正周期為；函數(shù) 的值域?yàn)槠渲姓婷}的個(gè)數(shù)是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、值域以及它的圖象的對(duì)稱性，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論【詳解】解：對(duì)于函數(shù)，由于， 故的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故排除在區(qū)間上，單調(diào)遞增，故正確函數(shù)，故函數(shù)的最小正周期不是，故錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，故它的最大值為，最小值為；當(dāng)時(shí)，綜合可得，函數(shù)的最大值為，最小值為，故正確故選【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、值域以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題11.在拋物線與直線圍成的封閉圖形內(nèi)任取一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線被該封閉圖形解得的線段長(zhǎng)小于的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如圖圓的方程為，由圓方程，直線方程，拋物線方程知，整個(gè)密閉區(qū)域的面積為，滿足條件的區(qū)域面積為由幾何概型知所求概率為故本題答案選12.若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函數(shù)在(0,2)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于 在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn)，令f(x)=0,則 ，即 ，x1=0或 ，x=1滿足條件,且 (其中x1且x(0,2)； ,其中x(0,1)(1,2)；設(shè)t(x)=exx2,其中x(0,1)(1,2)；則t(x)=(x2+2x)ex0，函數(shù)t(x)是單調(diào)增函數(shù)，t(x)(0,e)(e,4e2)，a.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：2求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范、表格齊全，區(qū)分極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小3求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)認(rèn)真比較才能下結(jié)論一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)最值是唯一的，可以在區(qū)間的端點(diǎn)取得 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則，的大小是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：ab，clog67即可得出【詳解】解：ab，clog67cab故答案為：cab【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題14.已知平面向量，的夾角為，且，若平面向量滿足，則_【答案】【解析】由題可設(shè),設(shè),由題,解得，.15.展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是_【答案】60【解析】解：因?yàn)檎归_(kāi)式中，通項(xiàng)公式為，令x的次數(shù)為零可知常數(shù)項(xiàng)為60.16.設(shè)數(shù)列滿足，且，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則_【答案】【解析】構(gòu)造，則由題意可得：故數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，以上個(gè)式子相加可得解得，則點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，考查了累加求和的方法，裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握通項(xiàng)公式的求法，考查了學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題。三、解答題（本大題共6小題，滿分70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟和推證過(guò)程）17.已知函數(shù)（）若，求的值（）在中，角，的對(duì)邊分別是，且滿足，求的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）先進(jìn)行三角恒等變形，使化為的形式，求出的值，再利用與的關(guān)系進(jìn)行求值；（2）先利用余弦定理求出角A,化簡(jiǎn)，利用B的范圍進(jìn)行求解.試題解析： （1）f（x）sincoscos2sincossin.由f（x）1，可得sin.coscos（x）cos（x）2sin2（）1.（2）由acos Ccb，得acb，即b2c2a2bc，所以cos A.因?yàn)锳（0，），所以A，BC，所以0B，所以，所以f（B）sin考點(diǎn)：1.三角恒等變形；2.余弦定理；3.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)18.某大學(xué)生從全校學(xué)生中隨機(jī)選取名統(tǒng)計(jì)他們的鞋碼大小，得到如下數(shù)據(jù)： 鞋碼合計(jì)男生女生以各性別各鞋碼出現(xiàn)的頻率為概率（）從該校隨機(jī)挑選一名學(xué)生，求他（她）的鞋碼為奇數(shù)的概率（）為了解該校學(xué)生考試作弊的情況，從該校隨機(jī)挑選名學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)查每位學(xué)生從裝有除顏色外無(wú)差別的個(gè)紅球和個(gè)白球的口袋中，隨機(jī)摸出兩個(gè)球，若同色，則如實(shí)回答其鞋碼是否為奇數(shù)；若不同色，則如實(shí)回答是否曾在考試中作弊這里的回答，是指在紙上寫(xiě)下“是”或“否”若調(diào)查人員回收到張“是”的小紙條，試估計(jì)該校學(xué)生在考試中曾有作弊行為的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意知樣本中鞋碼為奇數(shù)的同學(xué)共55人，由此能求從該校隨機(jī)挑選一名學(xué)生，他（她）的鞋碼為奇數(shù)的概率；（2）摸球?qū)嶒?yàn)中，求出兩球同色的概率為，兩球異色的概率為，設(shè)所求概率為p，利用互斥事件概率加法公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式列出方程，能求出結(jié)果【詳解】解： （）由題意知，樣本中鞋碼為奇數(shù)的同學(xué)共人， 故所求概率即為所求概率：（）摸球?qū)嶒?yàn)中，兩球同色的概率為，兩球異色的概率為，設(shè)所求概率為，結(jié)合（）的結(jié)果，有，解得，即所求概率為【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用19.如圖，在直角梯形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿折起，使平面平面，連接，得到如圖所示的幾何體（）求證：平面（）若，二面角的平面角的正切值為，求二面角的余弦值【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（II）.【解析】試題分析：（I）由平面與名垂直的性質(zhì)定理可得平面. 由折疊前后均有，,可得平面；() 由（）可得二面角的平面角為，又依題意，可得，依次求得.，以下由兩種解法：1.建立空間直角坐標(biāo)系，求得相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面的法向量和平面的法向量，則問(wèn)題可求：2.利用相關(guān)的立體幾何知識(shí)，證明二面角的平面角為，然后利用面幾何知識(shí)求得二面角的余弦值為. 試題解析：() 因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?又，所以平面. 因?yàn)槠矫妫? 又因?yàn)檎郫B前后均有，, 所以平面. () 由（）知平面，所以二面角的平面角為. 又平面，平面，所以.依題意. 因?yàn)?，所? 設(shè)，則. 依題意，所以，即. 解得，故. 法1：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則,， 所以，.由（）知平面的法向量. 設(shè)平面的法向量由得令，得,所以. 所以. 由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為. 法2 ：因?yàn)槠矫?，過(guò)點(diǎn)作/交于，則平面. 因?yàn)槠矫?，所? 過(guò)點(diǎn)作于，連接，所以平面，因此. 所以二面角的平面角為. 由平面幾何知識(shí)求得， 所以. 所以cos=. 所以二面角的余弦值為. 20.已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)為該圓的圓心，并且線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)（）求點(diǎn)的軌跡方程（）已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線，分別交（）中點(diǎn)的軌跡于，兩點(diǎn)（，四點(diǎn)互不相同），證明：直線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)【答案】（1）（2）直線恒過(guò)一定點(diǎn).【解析】試題分析：（1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得，再結(jié)合橢圓的定義，可得點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，利用兩直線方程，及，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可得，結(jié)合前面兩式，化簡(jiǎn)可得則當(dāng)時(shí)，恒成立，直線過(guò)定點(diǎn)試題解析：（）依題意有，且，所以點(diǎn)的軌跡方程為：（）依題意設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程得：且：， 直線：，直線：由題知，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，得：，即即：，整理得： 將代入得：化簡(jiǎn)可得：當(dāng)變化時(shí)，上式恒成立，故可得：所以直線恒過(guò)一定點(diǎn).21.已知函數(shù)，（）設(shè)曲線在處的切線為，到點(diǎn)的距離為，求的值（）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，試確定的取值范圍（）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)或(2)(3)不存在【解析】試題分析：(1)該問(wèn)切點(diǎn)橫坐標(biāo)已知,則利用切點(diǎn)在曲線上,帶入曲線即可得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo),對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)并得到在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率,有切線的斜率,切線又過(guò)切點(diǎn),利用直線的點(diǎn)斜式即可求的切線的方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合條件點(diǎn)到切線的距離為即可求的參數(shù)的值.(2)該問(wèn)為恒成立問(wèn)題可以考慮分離參數(shù)法,即把參數(shù)a與x進(jìn)行分離得到,則,再利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間的最大值,即可求的a的取值范圍.(3)根據(jù)切線的斜率即為曲線C在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值,即該問(wèn)可以轉(zhuǎn)化為是否存在使得,令,則即存在使得,對(duì)再次求導(dǎo)進(jìn)行最值求解可得,所以不存在使得.試題解析：（1）,.在處的切線斜率為，切線的方程為，即. 2分又點(diǎn)到切線的距離為,所以，解之得，或4分（2）因?yàn)楹愠闪?，若恒成立；若恒成立，即，在上恒成立，設(shè)則當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的取值范圍為. 9分（3）依題意,曲線的方程為,令所以,設(shè),則,當(dāng),故在上單調(diào)增函數(shù),因此在上的最小值為即又時(shí),所以曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解,但是,沒(méi)有實(shí)數(shù)解,故不存在實(shí)數(shù)使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直. 14分考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)最值單調(diào)性零點(diǎn)22.極坐