拋物線及其標準方程PPT精選文檔

1,2.4.1拋物線及其標準方程,2,y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),y2=2px(p0),復習回顧,3,拋物線的四種標準方程對比,2.如何根據拋物線的標準方程來判斷拋物線的焦點位置及開口方向？,焦點在一次項字母對應的坐標軸上.,一次項系數的符號決定了拋物線的開口方向.,1.拋物線的四種標準方程形式上有什么共同特點?,左邊都是平方項，右邊都是一次項.,4,題型一（由方程求有關量）,感悟：求拋物線的焦點坐標和準線方程要注意兩點:1.先化為標準方程2.判斷焦點的位置,即：準確“定型”,5,練習：填空（頂點在原點，焦點在坐標軸上）,開口向右,開口向左,開口向上,開口向下,6,1.焦點為F（-2，0），則拋物線的標準方程為_.2.準線方程是y=-2，則拋物線的標準方程為_.3.焦點到準線的距離是4,則拋物線的標準方程為_.,y2=-8x,x2=8y,y2=8x、x2=8y,（1）,（2）,題型二（由有關量求標準方程）,感悟：1.“定型”“定量”2.如果焦點位置或者開口方向不定則要注意分類討論.,7,4.標準方程中p前面的正負號決定拋物線的開口方向,1.拋物線的定義:,2.拋物線的標準方程有四種不同的形式:每一對焦點和準線對應一種形式.,3.p的幾何意義是:,焦點到準線的距離,8,例1（1）已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；,（2）已知拋物線的方程是y=6x2，求它的焦點坐標和準線方程；,（3）已知拋物線的焦點坐標是F（0，-2），求它的標準方程。,112,9,練習1：,1、根據下列條件，寫出拋物線的標準方程：,（1）焦點是F（3，0）；,（2）準線方程是x=；,（3）焦點到準線的距離是2。,y2=12x,y2=x,y2=4x、y2=-4x、x2=4y或x2=-4y,10,課堂練習,2、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：(1)y2=20 x(2)x2=y(3)2y2+5x=0(4)x2+8y=0,（5，0）,x=-5,（0，-2）,y=2,11,思考:M是拋物線y2=2px（p0）上一點，若點M的橫坐標為x0，則點M到焦點的距離是,這就是拋物線的焦半徑公式!,12,3、(1)拋物線y2=2px（p0）上一點M到焦點的距離是a，則點M到準線的距離是_，點M的橫坐標為_,P67練習3(1),a,13,3、(2)拋物線y2=12x上與焦點的距離等于9的點的坐標為_,P67練習3(2),3,-3,14,2.若拋物線y2=8x上一點M到原點的距離等于點M到準線的距離，則點M的坐標是_.,15,變式練習:已知拋物線的焦點在x軸上，拋物線上的點M(-3,m)到焦點的距離等于5，求拋物線的標準方程.,數形結合,用定義轉化條件。,16,5.求過點A（-3，2）的拋物線的標準方程.,感悟：1.待定系數法2.數形結合3.分類討論,題型三（由有關量求標準方程）,17,4.求焦點在直線3x+4y-12=0上的拋物線的標準方程.,題型三（由有關量求標準方程）,標準方程對應的拋物線焦點在坐標軸上.,分析:,18,例2點M與點F(4,0)的距離比它到直線l：x+5=0的距離小1，求點M的軌跡方程.,解：如圖,設點M的坐標為(x,y),依題意可知點M與點F的距離等于它到直線x+4=0的距離，根據拋物線的定義，點M的軌跡是以F（4,0）為焦點的拋物線.,焦點在x軸的正半軸上，點M的軌跡方程為：y2=16x,l,x,O,y,F,19,題型四拋物線的應用,例3:一輛卡車高3m,寬1.6m,欲通過斷面為拋物線形的隧道,如下圖所示,已知拱口AB寬恰好是拱高CD的4倍,若拱寬為am,求能使卡車通過的a的最小整數值.,20,分析:要求拱寬a的最小值,需建立適當的坐標系,寫出拋物線方程,然后利用方程求解.,21,22,23,24,25,題型一利用拋物線的定義求方程例1:若動圓M與圓C:(x-2)2+y2=1外切,又與直線x+1=0相切,則動圓圓心的軌跡方程是()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x,答案:A,26,解析:如圖所示,設動圓圓心為M(x,y),半徑為R,由題設可知定圓圓心為C(2,0),半徑r=1.兩圓外切,|MC|=R+1.又動圓M與已知直線x+1=0相切,圓心M到直線x+1=0的距離d=R,|MC|=d+1.即動點M到定點C(2,0)的距離等于它到定直線x+2=0的距離.由拋物線的定義可知點M的軌跡為以C為焦點,x+2=0為準線的拋物線,其方程為y2=8x.故正確答案為A.,27,變式訓練1:動點P到點(3,0)的距離比它到直線x=-2的距離大1,則動點P的軌跡是()A.橢圓B.雙曲線C.雙曲線一支D.拋物線解析:將直線x=-2向左平移一個單位,由已知可得動點P到點(3,0)的距離等于到直線x=-3的距離.,答案:D,28,2.拋物線y2=8x的準線方程是()A.x=-2B.x=-4C.y=-2D.y=-4答案:A,解析:y2=8x=24x,p=4,準線方程為,29,答案:B,解析:x2=ay的準線方程為,a=-8.,30,答案:C,31,答案:B,32,33,6.在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線關于x軸對稱,頂點在原點,且過點P(2,4),則該拋物線的方程為_.,y2=8x,解析:設拋物線方程為y2=ax,又拋物線過點P(2,4),則16=2a,a=8,y2=8x.,34,7.(2008上海,6)若直線ax-y+1=0經過拋物線y2=4x的焦點,則實數a=_.,-1,解析:由y2=4x得焦點F(1,0),代入直線方程得a+1=0.a=-1.,35,11.(2010福建卷)以拋物線y2=4x的焦點為圓心且過坐標原點的圓的方程為()A.x2+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y2-x=0D.x2+y2-2x=0,解析:拋物線y2=4x的焦點坐標為(1,0),圓心坐標為(1,0),半徑r=1,圓的方程為(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案:D,36,題型二求拋物線的標準方程例2:求適合下列條件的拋物線的標準方程.分析:首先需確定使用哪種標準方程形式,若無法確定,則應討論,然后由條件求p的值.,37,例2:求適合下列條件的拋物線的標準方程.(1)過點(-3,2);,38,(2)令x=0,由方程x-2y-4=0得y=-2,當拋物線的焦點為F(0,-2)時,設拋物線方程為x2=-2py(p0),則由=2得p=4,所求拋物線方程為x2=-8y.令y=0,由方程x-2y-4=0得x=4,當拋物線的焦點為F(4,0)時,設拋物線方程為y2=2px(p0),則由=4得p=8,所求拋物線方程為y2=16x.綜上,所求拋物線方程為x2=-8y或y2=16x.,例2:求適合下列條件的拋物線的標準方程.(2)焦點在直線x-2y-4=0上;,39,(3)焦點到準線的距離為p=所求拋物線方程為:y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y.規(guī)律技巧:(1)拋物線的標準方程有四種形狀,主要看其焦點的位置和開口方向.(2)不知道焦點的具體位置時,標準方程有兩種一般形式:y2=mx(m0)或x2=ny(n0).,例2:求適合下列條件的拋物線的標準方程.(3)頂點在原點,以坐標軸為對稱軸,焦點到準線的距離為,40,變式訓練2:分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程.(1)過點(3,-4);,解:(1)點(3,-4)在第四象限,設拋物線標準方程為y2=2px(p0)或x2=-2p1y(p10).把點(3,-4)的坐標分別代入y2=2px和x2=-2p1y,得(-4)2=2p53,32=-2p15(-4),41,(2)令x=0得y=-5,令y=0得x=-15.拋物線的焦點為(0,-5)或(-15,0).故所求的拋物線的標準方程為x2=-20y或y2=-60 x.,變式訓練2:分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程.(2)焦點在直線x+3y+15=0上.,42,1.到定點(3,5)與定直線2x+3y-21=0的距離相等的點的軌跡是()A.圓B.拋物線C.線段D.直線,解析:因為定點(3,5)在直線上,所以點的軌跡是直線.答案:D,43,方法：利用平移,44,3.動點P到點A(0,2)的距離比到直線l:y=-4的距離小2，則動點P的軌跡方程為_,x2=8y,45,1.抓住標準方程的特點,注意與焦點位置,開口方向的對應關系;2.拋物線的定義反映了拋物線的本質，靈活應用定義往往可以化繁為簡、化難為易，且思路清晰，解法簡捷，巧妙解法常常來源于對定義的恰當運用.,46,題型三與拋物線有關的最值問題例3:已知拋物線x2=4y,點P是拋物線上的動點,點A的坐標為(12,6).求點P到點A的距離與點P到x軸的距離之和的最小值.,提示：利用準線,47,分析:由定義知,拋物線上的點P到焦點F的距離等于點P到準線的距離d,求|PA|與點P到x軸的距離之和的最小值,轉化成求|PA|+d-的最小值.,48,解:如下圖,易判斷知點A在拋物線外側,設P(x,y),則P到x軸的距離即y值,設P到準線y=-1的距離為d,則y=d-1.,故|PA|+y=|PA|+d-1,由拋物線定義知|PF|=d.于是|PA|+d-1=|PA|+|PF|-1.由圖可知,當APF三點共線時,|PA|+|PF|取最小值為13.故所求距離之和的最小值為|FA|-1=12.,49,規(guī)律技巧:定義是解決問題的基礎和靈魂,要善于思考定義和應用定義,本題如果設P點坐標為(x,y),利用兩點間距離公式求解,無法得到答案.由拋物線定義可知,|PF|等于P點到準線的距離,當PAF三點共線時,|PA|+|PF|的距離最小,這體現了數學中的轉化思想.,50,變式訓練3:(2008遼寧高考)已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點(0,2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為(),解析:由拋物線的定義可知,拋物線上的點到準線的距離等于到焦點的距離.由圖可知,P點,(0,2)點和拋物線的焦點(0.5,0)三點共線時距離之和最小.,51,答案:A,52,1.已知定點A(3,2)和拋物線y2=2x,F是拋物線焦點，試在拋物線上求一點P,使PA與PF的距離之和最小，并求出這個最小值.,提示：利用點到直線距離定義及二次函數最值,提示：利用準線,53,54,55,規(guī)律技巧:這是拋物線的應用問題.解題時,可畫出示意圖,幫助理解題意,轉化為數學問題,作出解答.,56,變式訓練4:某河上有座拋物線形拱橋,當水面距拱頂5m時,水面寬8m,一木船寬4m,高2m,載貨后木船露在水面上的部分高為m,問水面上漲到與拱頂相距多少時,木船開始不能通航?,57,答:水面上漲到與拋物線拱頂相距2m時,船開始不能通航.,58,8.(2009海南寧夏卷)已知拋物線C的頂點為坐標原點,焦點在x軸上,直線y=x與拋物線C交于A,B兩點,若P(2,2)為AB的中點,則拋物線C的方程為_.,y2=4x,解析:設拋物線方程為y2=ax(a0),由方程組得交點坐標為A(0,0),B(a,a),而點P(2,2)為AB的中點,從而a=4.故所求拋物線方程為y2=4x.,59,9.已知拋物線的焦點在y軸上,拋物線上一點M(m,-