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高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)等差(比)數(shù)列的基本概念及運(yùn)算【復(fù)習(xí)目標(biāo)及教學(xué)建議】復(fù)習(xí)目標(biāo):1理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義.2理解等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的概念.3掌握等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式.4掌握等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.教學(xué)建議:本節(jié)重在等差、等比數(shù)列的判定,教師可提供各種情形,如推遞關(guān)系式(定義),中項(xiàng)、通項(xiàng)、前n項(xiàng)和表達(dá)式,讓學(xué)生辨識(shí)等差等比數(shù)列的特征.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1考察下列數(shù)列,a1 =1,an+1 =an + ,b1 =2,bn+1 =bn2. an+1 =an ,bn+1 =2bn. an+1 =an+n,b1 =1,bn+1 =(bn)2 ,則an是等差數(shù)列且bn是等比數(shù)列的有( A )A1組B2組C3組D0組【解析】中an,bn分別是等差、等比數(shù)列.中an是等差數(shù)列但bn可能bn =0而不是等比數(shù)列. 中均不是,共有1組選A【點(diǎn)評(píng)】等差、等比定義.2Sn是an前n項(xiàng)和,Bn是bn前n項(xiàng)和,則an,bn分別是等差、等比數(shù)列的是( D )ASn = n2 + n +1,Bn =2n 1BSn =2n,Bn =2n 3CSn = n2 + n,Bn =2n + 1DSn =an+ bn,Bn =2n 1【解析】利用【點(diǎn)析】記住等差、等比數(shù)列的求和Sn特征及通項(xiàng)公式的特征.3等差數(shù)列an中,an-m = A,an+m =B.等比數(shù)列bn中,bn-m = A,bn+m =B.則有( C )Aan =A + B,bn =ABBan =,bn =Can =,bn =Da2n =A + B,b2n =AB【解析】等差、等比中項(xiàng)定義,選C.4已知等差數(shù)列an的公差d =,且前100項(xiàng)和S100 = 145,那么a1 + a3 + a5 +a99 = 60 .【解析】解法:由.得a1 + a100 =2.9.而a1 + a99 =2.9 0.5 =2.4.故a1 + a3 + a99 =.解法:令a1 + a3 + a99 =A.則a2+ a4 + a100 =A + 50d.故A + A + 50d =S100 =145.A= 60.【點(diǎn)評(píng)】等差數(shù)列求和.5已知f (x) =log2x,令an =f -1(n).則an前n項(xiàng)和Sn = 2n 1 .【解析】f -1(x) = 2x an =f -1(n) = 2n.【點(diǎn)評(píng)】等比數(shù)列求和公式.【知識(shí)要點(diǎn)】一、等差數(shù)列1定義從第二項(xiàng)起, 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列叫做等差數(shù)列. 即:an + 1 an = d(常數(shù))或者an + 2 an + 1 = an + 1 an(nN*).2通項(xiàng)公式an = a1 + (n 1)d;推廣: an = am + (n m)d;變式: 由此聯(lián)想點(diǎn)列n,an所在直線的斜率.3前n項(xiàng)和公式 聯(lián)想前n項(xiàng)平均數(shù)、中位數(shù); ,聯(lián)想“成對(duì)和”相等一倒序相加法.4等差中項(xiàng)如果a、A, b成等差數(shù)列, 那么A叫做a與b的等差中項(xiàng), 且A = 5三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列, 通常設(shè)為a d, a, a+d; 四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列通常設(shè)為a 3d,a d, a + d, a + 3d.二、等比數(shù)列1定義從第二項(xiàng)起, 每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列叫做等比數(shù)列. 即:(q為不等于零的常數(shù))或者 .2通項(xiàng)公式an = a1qn 1, 推廣:an = amqn m (nm; m、nN*).3前n項(xiàng)和公式(q1).Sn=4等比中項(xiàng)若a、 b、c成等比數(shù)列, 則稱b為a、c的等比中項(xiàng), 且b =.5三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列, 通常設(shè)為、x、xq; 四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列, 通常設(shè)為、xq、xq3.6數(shù)值不為零的常數(shù)列, 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.【雙基固化】1等差(比)列的判斷與證明例 1 已知數(shù)列an,anN*,Sn =.(1)求證:an是等差數(shù)列;(2)若b1 =1,b2 =4,bn前n項(xiàng)和為Bn,且Bn+1 =(a n+1 a n + 1)Bn +(a n a n+1)Bn 1(n2).求bn通項(xiàng)公式.【分析】由Sn 求出an,進(jìn)而判斷是否滿足下列條件之一:a n+1 a n =d;a n =kn + b;Sn =an2 + bn.【解析】(1)an+1 = Sn+1 Sn ,8 an+1 =,(an+1 + an)(a n+1 a n 4)=0,anN*,an+1 + an0,a n+1 a n 4=0,即a n+1 a n = 4,數(shù)列an是等差數(shù)列.(2)由a n+1 a n = 4,由題知Bn+1 = 5Bn 4 Bn1Bn+1 Bn = 4(Bn Bn1)bn+1 = 4bn(n2)又已知b1 = 1,b2 = 4.故bn是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列.an =4n 1 (nN+)2等差數(shù)列中基本量的計(jì)算例 2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,若S12 =84,S20 = 460,求S28.【分析】由已知列出關(guān)于a1和d的方程組,求出a1和d,即可求出S28.也可由等差數(shù)列求和公式的特點(diǎn),由Sn =an2 + bn,求得a,b進(jìn)而求S28. 【解析】方法一:設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,則,S12 =84,S20 =460.,解得a1= 15,d =4.Sn = 15n +.S28= 2282 1728=1092.方法二:由已知不妨設(shè)Sn =an2 + bna =2,b = 17,Sn =2n2 17nS28=2282 1728=1092.【點(diǎn)評(píng)】(1)方法一是聯(lián)想等差數(shù)列的求和公式,轉(zhuǎn)化為建立基本量的方程求基本量,方法二通過(guò)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的變形式求出待定系數(shù)a,b使問(wèn)題得到解決,較為簡(jiǎn)捷.(2)有關(guān)等差數(shù)列的基本運(yùn)算問(wèn)題,常運(yùn)用列方程解方程,因此要強(qiáng)化列方程與解方程的技能,能做到快速、準(zhǔn)確地運(yùn)算.【能力提升】例 3 OBC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0, 0)、(1, 0)、(0, 2),設(shè)P1為線段BC的中點(diǎn),P2為線段CO的中點(diǎn),P3為線段OP1的中點(diǎn),對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點(diǎn),令Pn的坐標(biāo)為(xn, yn),.(1)求a1,a2,a3及an;(2)證明yn+4 = 1 ,nN*;(3)若記bn = y4n + 4 y4n,nN*,證明bn是等比數(shù)列.【解析】(1)由已知得:y1 = y2 = y4 = 1,y3 =, y5 =,a1 = a2 = a3 = 2.又由題意得,+,即對(duì)任意的正整數(shù)n,各項(xiàng)相等,即數(shù)列an為常數(shù)列,an = 2.(2)由(1)得, 又,=1,即 ,nN*.(3)bn = y4n+4 y4n,bn+1 = y4n+8 y4n+4 =bn.又b1 = y8 y4 =0,bn是公比為的等比數(shù)列.【點(diǎn)評(píng)】本題是由幾何迭代產(chǎn)生的等差等比數(shù)列,此型也是高考熱點(diǎn)題型.本題中要利用幾何迭代關(guān)系,轉(zhuǎn)化為數(shù)列遞推關(guān)系,進(jìn)而用定義證明它是等差等比數(shù)列.【規(guī)律總結(jié)】1等差數(shù)列的識(shí)別方法有以下幾種:1)定義法:an+1 an =d(常數(shù)) an 是等差數(shù)列.2)中項(xiàng)公式法:2 an+1= an + an+2(anN*) an 是等差數(shù)列.3)通項(xiàng)公式法:an =pn + q(p,q為常數(shù)) an 是等差數(shù)列.4)前n項(xiàng)和公式法:Sn =An2 + Bn(A,B為常數(shù)) an 是等差數(shù)列.2等比數(shù)列的識(shí)別方法有以下幾種:1)定義法:(q是不為0的常數(shù),anN*)| an |是等比數(shù)列.2)通項(xiàng)公式法:an =cqn(c,q均是不為0的常數(shù),nN*) an 是等比數(shù)列.3)中項(xiàng)公式法:=anan+2(anan+1an+20,nN*) an 是等比數(shù)列.4)前n項(xiàng)和公式法: an 是等比數(shù)列. 注:要證明等差等比數(shù)列,用定義法或中項(xiàng)公式法.【課時(shí)作業(yè)】A組題一、選擇題1已知數(shù)列an,那么對(duì)任意的nN*,點(diǎn)Pn(n,an)都在直線y=2x+1上,則an( B )A是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列B是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列C是等差數(shù)列且又是等比數(shù)列D不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列【解析】由Pn(n,an)都在直線y=2x+1上,得an=2n+1知等差數(shù)列2在等差數(shù)列an中前n項(xiàng)和為Sn,若S5 = 17,S10=68,則首項(xiàng)與公差之比為( D )A21B14C13D12【解析】依題意得4 得.故選D.3、設(shè),an = f (n),求數(shù)列an的前n項(xiàng)之和為 ( A )ABC2nD0【解析】,a=3求和得A4已知公差不為0的等差數(shù)列的第4,7,16項(xiàng)恰好是某等比數(shù)列的第4,6,8項(xiàng),那么該等比數(shù)列的公比是( C )A BC D【解析】由已知條件得.所以q =.二、填空題5在數(shù)列an中,an+1 = can,c為非零常數(shù),且前n項(xiàng)和Sn = 3n + k,則k的值是 1 .【解析】由an = Sn Sn1 = 3n 3n1 =23n1.a1 = 3 + k = 2,k = 1.6在1和1024之間插入9個(gè)數(shù),使這11個(gè)數(shù)順次成等比數(shù)列,所插入的9個(gè)數(shù)之和是 1022或342 .【解析】由條件知a1=1,a11=1024,設(shè)公比為q,由an=a1qn-1,得1024=q10,q=2,當(dāng)q=2時(shí),所插入9個(gè)數(shù)之和為=1022當(dāng)q= 2時(shí),所插入9個(gè)數(shù)之和為 = 342.三、解答題7設(shè)an是等差數(shù)列,bn = ,已知:b1 + b2 + b3 =,b1b2b3 =,求等差數(shù)列的通項(xiàng)an.【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d則a1=a2d,a3=a2+db1b2b3 =a2=1.于是b1+b2+b3=,即2d+2d+1=,4(2d)2172d+4=0,2d=或2d=4,d= 2,或d =2.d = 2,a1 = a2 d=3,或 d=2,a1 = a2 d= 1.故當(dāng)a1 = 3,d= 2時(shí),an=a1+(n-1)d=5 2n;a1 = 1,d =2時(shí),an= a1+(n-1)d =2n3.8設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn+1= 4an + 2 (nN*).(1)設(shè)bn=an+12an,求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列;(2)設(shè)Cn=求證:數(shù)列Cn是等差數(shù)列;(3)求Sn = a1 + a2 + + an.【解析】(1)an+1 = Sn+1 Sn = 4an 4an1,an+1 2an = 2( an 2an1),bn = 2bn1(n2).又b1 = a2 2a1 = S2 3a1 = a1 + 2 = 3,bn是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.(2)bn=32n1,an+1 2 an =32n1,Cn+1 Cn =.又C1=,Cn是以為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列.(3)Cn=, an=2nCn=2n2(3n 1).當(dāng)n2時(shí),Sn= 4an1+2=42n33(n1) 1+2=2n1(3n 4)+2又n=1時(shí),S1=1.故Sn=2n1 (3n4)+2.9數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式:3tSn (2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4,)(1)求證:數(shù)列an是等比數(shù)列;(2)設(shè)數(shù)列an的公比為f(t),作數(shù)列bn,使b1=1,bn=f()(n=2,3,4,),求bn;(3)求和:b1b2b2b3+ b3b4+b2n1b2nb2n b2n+1.【解析】(1)由S1 = a1 = 1,S2 = a1 + a2 = 1 + a2,得3t (1 + a2) (2t + 3) = 3t.可得a2=,于是.又3tSn(2t+3)Sn1=3t,3tSn1 (2t+3)Sn2=3t,兩式相減,得3tan (2t+3)an1 = 0,于是,n=3,4,因此,an是一首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列. (2)由f(t)=bn = f (,可見(jiàn),bn是一個(gè)首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列.于是,bn=1+.(3)由bn,可知b2n-1和b2n是首項(xiàng)分別為1和,公差均為的等差數(shù)列,于是b2n=.b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1= b2(b1b3)+b4(b3 b5)+ b2n(b2n1- b2n+1)= (b2+b4+b2n) = n()= (2n2+3n).B組題10已知等差數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為Sn,若=,且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)點(diǎn)O),則S200等于( A )A100B101C200D201【解析】=,且A、B、C三點(diǎn)共線.a1 + a200 =1.11下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”:47( )( )( )a1j712( )( )( )a2j( )( )( )( )( )a3j( )( )( )( )( )a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差數(shù)列, aij表示位于第i行第j列的數(shù).(1)寫(xiě)出a45的值;(2)寫(xiě)出aij的計(jì)算公式;(3)證明:正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N + 1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積.【解析】(1)a45 = 49.(2)該等差數(shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4, 公差為3的等差數(shù)列:a1j = 4 + 3(j 1);第二行是首項(xiàng)為7, 公差為5的等差數(shù)列:a2j = 7 + 5(j 1),第i行是首項(xiàng)為4 + 3(i 1), 公差為2i + 1的等差數(shù)列, 因此,aij = 4 + 3(i 1) + (2i + 1)(j 1)=2ij + i + j = i (2j + 1) + j.(3)必要性:若N在該等差數(shù)陣中,則存在正整數(shù)i,j,使得N = i (2j + 1) + j.從而2N + 1 = 2i (2j + 1) + 2j +1 = (2i+1) (2j+1),即正整數(shù)2N+1可分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積.充分性:若2N + 1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積, 由于2N + 1是奇數(shù), 則它必為兩個(gè)不是1的奇數(shù)之積. 即存在正整數(shù)k, l, 使得2N + 1 = (2k + 1)(2l + 1),從而, N = k(2l + 1) + l = akl,可見(jiàn)N在該等差數(shù)陣中.綜上所述, 正整數(shù)N在該等差數(shù)陣之中的充要條件是2N + 1可以分解成兩個(gè)不是
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