《全等三角形》.ppt

全等三角形,2.5,如圖是兩組形狀、大小完全相同的圖形.用透明紙描出每組中的一個圖形，并剪下來與另一個圖形放在一起，它們完全重合嗎？,（1）,（2）,（1）,（2）,我發(fā)現(xiàn)它們可以完全重合,我們把能夠完全重合的兩個圖形叫作全等圖形.,如圖，ABC分別通過平移、旋轉、軸反射后得到，問ABC與能完全重合嗎？,根據(jù)平移、旋轉和軸反射的性質，可知分別通過上述三個變換后得到的與ABC都可以完全重合，因此它們是全等圖形.,能完全重合的兩個三角形叫作全等三角形.,全等三角形中，互相重合的頂點叫作對應頂點，,互相重合的邊叫作對應邊，,互相重合的角叫作對應角.,例如，圖（1）中的ABC和全等，,其中A與A，B與B，C與C是對應頂點；,記作：ABC.,AB與，BC與，CA與是對應邊；,A與A，B與B，C與C是對應角.,（1）,全等用符號“”表示，讀作“全等于”.,在表示兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上.,全等三角形的對應邊相等；,全等三角形的對應角相等.,我們知道，能夠完全重合的兩條線段是相等的，能夠完全重合的兩個角是相等的，由此得到：,例如，,舉例,例1如圖，已知ABCDCB，AB=3，DB=4，A=60.,（1）寫出ABC和DCB的對應邊和對應角；（2）求AC，DC的長及D的度數(shù).,解（1）AB與DC，AC與DB，,BC與CB是對應邊；,A與D，ABC與DCB，,ACB與DBC是對應角.,AC=DB=4，DC=AB=3.,（2）AC與DB，AB與DC是全等三角形的對應邊，,A與D是全等三角形的對應角，,D=A=60.,如圖，已知ADFCBE，AD=4，BE=3，AF=6，A=20，B=120.,（1）找出它們的所有對應邊和對應角；（2）求ADF的周長及BEC的度數(shù).,解（1）AF與CE，AD與CB，,DF與BE是對應邊；,A與C，AFD與CEB，,D與B是對應角.,（2）ADF的周長是13，BEC=40.,兩個三角形滿足什么條件就能全等呢？,下面我們就來探討這個問題.,每位同學在紙上的兩個不同位置分別畫一個三角形，它的一個角為50，夾這個角的兩邊分別為2cm，2.5cm.將這兩個三角形疊在一起，它們完全重合嗎？由此你能得到什么結論？,我發(fā)現(xiàn)它們完全重合，我猜測：有兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.,下面，我們從以下這幾種情形來探討這個猜測是否為真.,設在ABC和中，,（1）ABC和的位置關系如圖.,將ABC作平移，使BC的像與重合，ABC在平移下的像為.,由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此ABC,因為，,所以線段AB與重合，,因此點與點重合，,那么與重合，,所以與重合，,因此，,從而,（2）ABC和的位置關系如圖（頂點B與頂點重合）.,因為，,將ABC作繞點B的旋轉，旋轉角等于，,所以線段BC的像與線段重合.,因為，,所以,由于旋轉不改變圖形的形狀和大小，,又因為，,所以在上述旋轉下，BA的像與重合，,從而AC的像就與重合，,于是ABC的像就是,因此ABC,（3）ABC和的位置關系如圖.,根據(jù)情形（1），（2）的結論得,將ABC作平移，使頂點B的像和頂點重合，,因此,（4）ABC和的位置關系如圖.,將ABC作關于直線BC的軸反射，,ABC在軸反射下的像為,由于軸反射不改變圖形的形狀和大小，,因此ABC,根據(jù)情形（3）的結論得，,因此,由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：,兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.,通常可簡寫成“邊角邊”或“SAS”.,例2已知：如圖，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.求證：ACOBDO.,舉例,ACOBDO.（SAS）,1.如圖，將兩根鋼條AA和BB的中點O連在一起，使鋼條可以繞點O自由轉動，就可做成測量工件內槽寬度的工具（卡鉗）.只要量出的長，就得出工件內槽的寬AB.這是根據(jù)什么道理呢？,解ABOABO，,AB=AB.,2.如圖，ADBC，AD=BC.問：ADC和CBA是全等三角形嗎？為什么？,解ADBC,ADCCBA.,DAC=BCA，,又AD=BC，AC公共,3.已知：如圖，AB=AC，點E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點.求證：BE=CF.,解AB=AC,且E，F(xiàn)分別是AC，AB中點，,ABEACF，,AF=AE，,又A公共，,BE=CF.,如圖，在ABC和中，如果BC=，B=B，C=C，你能通過平移、旋轉和軸反射等變換使ABC的像與重合嗎？那么ABC與全等嗎？,類似于基本事實“SAS”的探究，同樣地，我們可以通過平移、旋轉和軸反射等變換使ABC的像與重合，因此ABC,由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：,兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.,通?？珊唽懗伞敖沁吔恰被颉癆SA”.,舉例,例3已知：如圖，點A，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，ABDC，AB=CD，B=D.求證：ABECDF.,證明ABDC，,A=C.,在ABE和CDF中，,ABECDF（ASA）.,例4如圖，為測量河寬AB，小軍從河岸的A點沿著和AB垂直的方向走到C點，并在AC的中點E處立一根標桿，然后從C點沿著與AC垂直的方向走到D點，使D，E，B恰好在一條直線上.于是小軍說：“CD的長就是河的寬.”你能說出這個道理嗎？,舉例,圖3-35,B,E,C,D,A=C=90，,AE=CE，,AEB=CED(對頂角相等),AEBCED.（ASA）,AB=CD.(全等三角形的對應邊相等),因此，CD的長就是河的寬度.,1.如圖，工人師傅不小心把一塊三角形玻璃打碎成三塊，現(xiàn)要到玻璃店重新配一塊與原來一樣的三角形玻璃，只允許帶其中的一塊玻璃碎片去.請問應帶哪塊玻璃碎片去？為什么？,2.已知：如圖，ABC，CF，分別是ACB和的平分線.求證：,證明：,ABCABC，,A=A,ACB=ACB.,AC=AC,證明：,CF=CF.,又CF，CF分別是ACB和ACB的平分線，,ACF=ACF.,ACFACF,如圖，在ABC和中，如果A=A，B=B，那么ABC和全等嗎？,根據(jù)三角形內角和定理，可將上述條件轉化為滿足“ASA”的條件，從而可以證明ABC,在ABC和中，,A=A，B=B，,C=C.,又，B=B，,(ASA).,由此得到判定兩個三角形全等的定理：,兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.,通?？珊唽懗伞敖墙沁叀被颉癆AS”.,例5已知：如圖，B=D，1=2，求證：ABCADC.,舉例,證明1=2，,ACB=ACD（同角的補角相等）.,在ABC和ADC中，,ABCADC（AAS）.,例6已知：如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，ACFD，A=D，BF=EC.求證：ABCDEF.,舉例,證明ACFD，,ACB=DFE.,BF=EC，,BF+FC=EC+FC，,即BC=EF.,在ABC和DEF中，,ABCDEF（AAS）.,1.已知：如圖，1=2，AD=AE.求證：ADCAEB.,ADCAEB（AAS）.,2.已知：在ABC中，ABC=ACB，BDAC于點D，CEAB于點E.求證：BD=CE.,證明由題意可知BEC和BDC均為直角三角形，,在RtBEC和RtCDB中，,ABC=ACB，,BC=BC，,RtBECRtCDB（AAS）.,BEC=CDB=90，,如圖，在ABC和中，如果，那么ABC與全等嗎？,如果能夠說明A=A，那么就可以由“邊角邊”得出ABC,將ABC作平移、旋轉和軸反射等變換，使BC的像與重合，并使點A的像與點在的兩旁，ABC在上述變換下的像為,由上述變換性質可知ABC，,則，,連接,1=2，3=4.,從而1+3=2+4，,，,即,在和中，,（SAS）.,ABC,由此可以得到判定兩個三角形全等的基本事實：,三邊分別相等的兩個三角形全等.,通?？珊唽懗伞斑呥呥叀被颉癝SS”.,舉例,例7已知：如圖，AB=CD，BC=DA.求證：B=D.,ABCCDA.(SSS),B=D.,舉例,例8已知：如圖，在ABC中，AB=AC，點D，E在BC上，且AD=AE，BE=CD.求證：ABDACE.,證明BE=CD，,BE-DE=CD-DE.,即BD=CE.,在ABD和ACE中，,ABDACE（SSS）.,由“邊邊邊”可知，只要三角形三邊的長度確定，那么這個三角形的形狀和大小也就固定了，三角形的這個性質叫作三角形的穩(wěn)定性.,三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中有廣泛的應用.,如日常生活中的定位鎖、房屋的人字梁屋頂?shù)榷疾捎萌切谓Y構，其道理就是運用三角形的穩(wěn)定性.,1.如圖，已知AD=BC，AC=BD.那么1與2相等嗎？,答：相等.因為AD=BC，AC=BD，AB公共，所以ABDBAC(SSS).所以1=2(全等三角形對應角相等).,2.如圖，點A，C，B，D在同一條直線上，AC=BD，AE=CF，BE=DF.求證：AECF，BEDF.,證明AC=BD，,AC+BC=BD+BC，,即AB=CD.,所以AECF，BEDF.,又AE=CF，BE=DF，,所以ABECDF(SSS).所以EAB=FCD,EBA=FDC(全等三角形對應角相等).,根據(jù)下列條件，分別畫ABC和,（1），B=B=45；,滿足上述條件畫出的ABC和一定全等嗎？由此你能得出什么結論？,滿足條件的兩個三角形不一定全等，由此得出：兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形不一定全等.,（2）A=A=80，B=B=30，C=C=70.,滿足上述條件畫出的ABC和一定全等嗎？由此你能得出什么結論？,滿足條件的兩個三角形不一定全等，由此得出：三角分別相等的兩個三角形不一定全等.,舉例,例9已知：如圖，AC與BD相交于點O，且AB=DC，AC=DB.求證：A=D.,證明連接BC.,在ABC和DCB中，,ABCDCB（SSS）.,A=D.,舉例,例10某地在山區(qū)修建高速公路時需挖通一條隧道.為估測這條隧道的長度（如圖），需測出這座山A，B間的距離，結合所學知識，你能給出什么好方法嗎？,解選擇某一合適的地點O，,使得從O點能測出AO與BO的長度.,這樣就構造出兩個三角形.,連接AO并延長至A，使；,連接BO并延長至B，使，,連接，,O,A,B,在AOB和中，,AOB（SAS）.,AB=,因此只要測出的長度就能得到這座山A，B間的距離.,1.已知：如圖，AB=AD，BC=DC.求證：B=D.,證明如圖，連接AC.,所以ACBACD(SSS).,所以B=D.,2.如圖，在ABC和DEC中，已知一