大數定律和中心極限定理

第五章 大數定律和中心極限定理一、內容提要（一）切貝謝夫不等式1. 切貝謝夫不等式的內容設隨機變量X具有有限的數學期望E（X）和方差D（X），則對任何正數，下列不等式成立。2. 切貝謝夫不等式的意義（1）只要知道隨機變量X的數學期望和方差（不須知道分布律），利用切貝謝夫不等式，就能夠對事件的概率做出估計，這是它的最大優(yōu)點，今后在理論推導及實際應用中都常用到切貝謝夫不等式。（2）不足之處為要計算的值時，切貝謝夫不等式就無能為力，只有知道分布密度或分布函數才能解決。另外，利用本不等式估值時精確性也不夠。（3）當X的方差D(X)越小時，的值也越小，表明X與E(X)有較大“偏差”的可能性也較小，顯示出D(X)確是刻畫X與E(X)偏差程度的一個量。（二）依概率收斂如果對于任何0，事件的概率當n時，趨于1，即，則稱隨機變量序列X1,X2,Xn,當n時依概率收斂于。（三）大數定律1. 大數定律的內容（1）大數定律的一般提法若X1,X2,Xn,是隨機變量序列，如果存在一個常數序列1,n,，對任意0，恒有，則稱序列Xn服從大數定律（或大數法則）。（2）切貝謝夫大數定律設隨機變量X1,X2,Xn,相互獨立，分別有數學期望E(Xi)和方差D(Xi)，且它們的方差有公共上界C，即則對于任意的0，恒有。（3）辛欽大數定律設X1,X2,Xn,是一列獨立同分布的隨機變量，且數學期望存在：則對于任意的0，有。（4）貝努里大數定律設nA是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的0，恒有。2. 大數定律的意義（1）大數定律從理論上證明了“頻率的穩(wěn)定性”，對概率論的建立起了奠基作用。（2）切貝謝夫大數定律說明經驗平均值接近于理論平均值；辛欽大數定律說明隨機變量的平均值接近于數學期望，這是測量中取平均值的理論依據；貝努里大數定律說明了頻率具有穩(wěn)定性，即頻率收斂于概率，這是用頻率fn(A)來估計概率p的理論依據。（3）把獨立隨機變量和的平均作為大數定律的研究對象在理論上的應用上都是重要的。（四）中心極限定理1. 中心極限定理的內容（1）獨立同分布中心極限定理設隨機變量X1,X2,Xn,相互獨立，服從同一分布，且具有有限的數學期望和方差：E(XK)=,D(XK)=20,(K=1,2,n,)，則隨機變量的分布函數Fn(x)，對于任意的x，滿足（2）德莫佛一拉普拉斯中心極限定理設隨機變量具有參數為n,p的二項分布，則對于任意區(qū)間，恒有。2. 中心極限定理的意義（1）中心極限定理從理論上證明了“許多類型”的隨機變量，它們的極限分布服從正態(tài)分布，這既肯定了正態(tài)分布在概率論中處于主導地位，又給概率計算提供了強有力有手段。（2）中心極限定理是把獨立隨機變量的和作為研究對象。（3）應用中心極限定理前的準備步驟（a）把問題歸結為獨立隨機變量的和。（b）把和“中心化”：（c）把和再“標準化”：對于獨立同分布中心極限定理標準化后是對于德莫佛一拉普拉斯中心極限定理標準化后是（4）由獨立同分布中心極限定理知：若X1,X2,Xn,獨立同分布，則n時，隨機變量X= X1X2,Xn=漸近地服從正態(tài)分布N(E(X),D(X)=N(n,n2)，或漸近地服從標準正態(tài)分布N（0，1）。由德莫佛一拉普拉斯中心極限定理知，若隨機變量XB(n,p)，則當n充分大時，就近似服從標準正態(tài)分布N（0,1）。記為從而得當n較大時，二項分布的近似計算公式二、要 求1. 掌握切貝謝夫不等式，會用切貝謝夫不等式估計、2. 了解大數定理的內容和意義。3. 掌握中心極限定理的內容，會做一些簡單應用題。三、例題分析例1 在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為0.5，利用切貝謝夫不等式估計在1000次獨立試驗中，事件A發(fā)生的次數在400600之間的概率。分析 利用切貝謝夫不等式估計某事件的概率，需作如下準備：（1）恰當地選擇隨機變量X；（2）求出E(X),D(X)；（3）依題意確定。在此基礎上可利用切貝謝夫不等式進行估計。解 設X表示在1000次獨立試驗中，事件A發(fā)生的次數，則XB（1000,0.5），且E（X）=np=500，D(X)=npq=250.于是在切貝謝夫不等式中，取=100，則有即在1000次獨立試驗中，事件A發(fā)生的次數在400600之間的概率在以上。例2 利用切貝謝夫不等式估計隨機變量與其數學期望差的絕對值大于三倍均方差的概率。分析 依題意，要估計只需在切貝謝夫不等式中取即可。解 設隨機變量X的期望為E(X)，方差為D(X)，在切貝謝夫不等式中，取，則有。評注 由例1、例2可以看出：利用切貝謝夫不等式可以對隨機變量的分布做出估計，即對于任意的，可以估計出。當然這種估計還是非常粗略的，如XN（,2），則。而利用切貝謝夫不等式進行估計，則。切貝謝夫不等式更重要的價值在于對理論研究的貢獻，大數定律的理論證明是其中之一。例3 設X為連續(xù)型隨機變量，p(x)為分布密度，如果E|X|K（K為正整數）存在，則對于任意的0，有證明說明 切貝謝夫不等式的證明方法是很有特色的，同樣在本題的證明過程中兩次加強了不等式，其一是利用在積分區(qū)間。其二是利用被積函數非負擴大積分區(qū)間（由部分區(qū)間擴大到整個數軸上）。例4 計算機進行加法計算時，把每個加數取為最接近它的整數來計算。設所有的“加數”取整數的誤差是相互獨立的隨機變量且都在0.5,0.5上均勻分布。若將1200個數相加，求誤差總和的絕對值小于15的概率。分析 以隨機變量X表示誤差總和，XK表示各個加數取整數的誤差（K=1,2,1200），則。由于X1,X2,X1200相互獨立且服從同一分布，由中心極限定理得X近似地服從正態(tài)分布，從而可計算出。解 以隨機變量X表示誤差總和，XK（K=1,2,1200）表示各個加數取整的誤差，則由題意知X1,X2,X1200相互獨立都在0.5,0.5上服從均勻分布，因此由中心極限定理知近似地服從標準正態(tài)分布。所以 例5 現存有一批種子，其中良種占，今取6000粒種子，試以0.99的概率推斷，在這6000粒種子中良種所占的比例與的差是多少？相應的良種在哪個范圍？ 分析 以隨機變量X表示在6000粒種子中良種的個數，則。由于n=6000較大，由德莫佛一拉普拉斯定理知近似地服從N（0,1）。依題意，就是要確定0，使解 以隨機變量X表示6000粒種子中的良種粒數，則。由德莫佛一拉普拉斯定理知設以0.99的概率推斷，良種所占的比例與的差為。即，而 所以 ， ，查正態(tài)分布表，得207.85=2.58，=0.0124，并由 ，得 。即以0.99的概率推斷，在6000粒種子中良種所占的比例與差是0.0124，這時，相應地良種數在925粒到1075粒之間。例6 某單位200架電話分機，每架分機有5%的時間要使用外線通話，假定每架分機是否使用外線是相互獨立的，問該單位要安裝多少條外線，才能以90%的概率保證分機使用外線時不等待。解 以隨機變量X表示使用外線的分機數，則XB（200,0.05），設需要設置n條外線，滿足PXn=0.9，由德莫佛一拉普拉斯中心極限定理知所以 要使 ，即使 ，查正態(tài)分布表得即設置14條外線就可滿足要求。評注 由例4例6可以看出：（1）若隨機變量Xi(i=1,2,n)獨立同分布，則當n較大時，就近似服從，或就近似地服從N（0,1）。由此，可對有關X的事件作近似計算。（2）若XB（n,p），當n較大時，由德莫佛一拉普拉斯定理知就近似地服從N（0,1）。由此，得下列近似公式 例7 某電教中心有100臺彩電，各臺彩電發(fā)生故障的概率都是0.02，各臺彩電的工作是相互獨立的，試分別用二項分布，泊松分布，中心極限定理，計算彩電出故障的臺數不小于1的概率。解 設彩電故障的臺數為X，則XB（100,0.2）。（1）用二項分布直接計算 （2）用泊松分布作近似計算 （3）用中心極限定理計算 四、習 題1. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞平均為7300，均方差為700，利用切貝謝夫不等式估計每毫升含白細胞數在52009400之間的概率。2. 利用切貝謝夫不等式確定當擲一枚均勻硬幣時，需擲多少次能保證使得正面出現頻率在0.40.6之間的概率不小于0.9。3. （1）一復雜的系統(tǒng)，由100個相互獨立起作用的部件所組成，在整個運行期間每個部件損壞的概率為0.10，為了使整個系統(tǒng)起作用，至少有85個部件工作，求整個系統(tǒng)工作的概率。（2）一復雜的系統(tǒng)，由n個相互獨立起作用的部件所組成，每個部件的可靠性（即部件工作的概率）為0.90，且必須有80%的部件工作時才能使整個系統(tǒng)工作，問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性為0.95。4. 設Xi（i=1,2,100）是相互獨立的隨機變量，且它們都服從參數為=1的泊松分布，試計算5.一大批種子中良種占，利用下列兩種方法，估計在任意選出的6000粒種子中良種所占的比例與比較上下不超過1%的概率。（1）切貝謝夫不等式；（2）中心極限定理。6. 某車間有200臺車床，每臺車床由于各種原因常常要停車，假定各車床的停車或開車是相互獨立的。若每臺車床的開工率為0.6，開工時，需要消耗的電能為E，問發(fā)電廠至少要供給這個車間多少電能，才能以99.9%的概率保證這個車間不致因供電不足而影響生產。7. 設甲地到乙地之間有兩種交通工具，汽車和輪船，每位旅客以的概率選擇乘汽車，的概率選擇乘輪船。假設有800位旅客同時由甲地出發(fā)至乙地，若要求在100次中有98次有足夠的座位，問這兩種交通工具各應設多少座位。8. 在人壽保險公司里有10000個同一年齡的人參加人壽保險，在一年里這些人死亡率為0.001，參加保險的人在一年的頭一天交付保險費10元，死亡時，家屬可以從保險公司領取2000元的撫恤金。（1）求保險公司一年中獲利不小于40000元的概率；（2）保險公司虧本的概率。五、習題答案與提示1.解 以隨機變量X表示每毫升含的白細胞數，由題意E(X)=7300,D(X)=7002.2. 解 設需要投擲n次，以隨機變量X表示n次投擲中出現正面的次數，由題意得，要使 ，只需 ，解得n250.3. （1）以隨機變量X表示100個部件中正常工作的部件數，則XB（100,0.9）。由德莫佛一拉普拉斯定理知，從而 （2）設X表示在n個部件中正常工作的部件數，則XB（n,0.9）。依題意就是要確定n，使，由德莫佛一拉普拉斯定理知，從而0.95=P0.8nXn 解得 ，查正態(tài)分布函數表得 。4. 解 因為Xi（i=1,2100）服從泊松分布，所以，則，。由中心極限定理知 ，。5. 解 以X表示6000粒種子中的良種數，則，（1）利用切貝謝夫不等式估計（2）利用中心極限定理估計，6. 解 以X表示200臺車床中開車的臺數，則XB(200，0.6)，依題意就是要確定K