高等數(shù)學(xué)-華南理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)統(tǒng)考試卷下2007

高等數(shù)學(xué)下冊(cè)試卷200874姓名學(xué)院與專業(yè)學(xué)號(hào)一、填空題共24分1、4分設(shè)，則432ZXY1,2DZ34XDY2、4分曲線在點(diǎn)的切線方程為COSINATZT,00XAYZC3、4分已知，則02,0,XYXF,XFY4、4分函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)方向的2ZXY01,2P01,2P1,23方向?qū)?shù)是135、4分設(shè)為取逆時(shí)針方向的圓周，則曲線積分L29XY224LXYDXDYA186、設(shè)L為直線上由點(diǎn)到點(diǎn)之間的一段，則曲線積分0,A,1B2LXYDS4二、7分計(jì)算二重積分是由所圍成的閉區(qū)2,XYDED1,0YX域解作圖知01,Y2222110001YXYXYXYDEEDEDEDED三、7分計(jì)算三重積分，其中由所確定ZV22ZXY解由交線（舍去）222120,XYZZZ于是投影區(qū)域?yàn)椋鴺?biāo)下為21D202,RZR22114624200172RZDVDRD四、7分計(jì)算，其中為半球2XZYZXYZXDY的上側(cè)22ZA解令取下側(cè)。則為半球體的外側(cè)，由高斯公式10,XYA1原式122222ZDVXZYZDXYZDXY225220000SINCOSSINAAADDDRCORD（用對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化計(jì)算）42550IAR五、7分計(jì)算，其中為拋物面1XYDS2101ZXYZ解，投影區(qū)域?yàn)?,XYZXY2D由對(duì)稱性，原式322001111DSRDR六、7分求在約束條件下的最大值和最小值2UXYZ22XYZ解令21L則2211032,13XYZXXYYORLZZZ1214124,3,33UU由于最值一定存在，所以最大值為3，最小值為七、7分設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求,XZFYF2,ZXY解21121223,ZXFFFFFXXYY八、7分求微分方程的通解20XYED解原式可以化為一階線性微分方程XYE由公式111LNLNDXDXXXXXYEECEDCDCE九、7分設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且F0,1FF是全微分方程，求其此全微2XYXYDFXYDFX分方程的通解。解由全微分方程的條件知221,22,0XYFXFXYFFXRI有特解有形式，代入原方程得ABCFX從而通解21212COSIN,SINCOSFXXFX由初值條件120,C因此2CSIFXX原方程即為22OIN2SINCO0YYDXXYD即2SICIXDX22INO0,SINCO2YXYXXYC十、7分（非化工類做）求冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)01NX解由，從而為收斂區(qū)間12LIMLI1NA,R又時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散（調(diào)和級(jí)數(shù)去掉第一項(xiàng)），時(shí)級(jí)數(shù)由萊布尼茨判別法知X1X道其收斂，從而收斂域?yàn)樽⒁舛它c(diǎn)區(qū)別對(duì)待,設(shè)，則01NSX1001,NXS，0NX0LN11XDX因此1,L,10,XSX十一、6分（非化工類做）將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)1LNXF解的定義域?yàn)?，F(xiàn)X1,X2001,LN10NNNFF從而210,NFXX十二、6分（非化工類做）證明在區(qū)間上等式成立,1220COS4NX證明對(duì)上的偶函數(shù)作周期為的周期延拓，再作出其,21FX傅立葉級(jí)數(shù)由收斂定理即可推出。由公式2230014ADX1222000SIN1COS,COS14NNXXNDD，從而由收斂定理知道在上一定成立0NB1220COS14NXX,十、7分（化工類做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面與2ZY平面平行。420XYZ解曲面的法向量應(yīng)與平面平面的法向量平行，4,1NXY4210XYZ從而有，由于切點(diǎn)在曲面上4,22XY221Z因此切平面為110,10YZXY十一、6分（化工類做）設(shè)是由方程所確,Y2ZXYZ定的函數(shù)，其中可導(dǎo)，求XDZ解對(duì)方程兩邊取微分得2YXDYZ即122DZZXXYD2XYD十二、6分（化工類做）證明函數(shù)在原點(diǎn)處可微，但2221SIN,0,0,XYXYF,在點(diǎn)處不連續(xù),XFY解由定義22001SIN0,LIMLIMXXXFFXF同理0,YF由于222220011SIN0,SINLIMLIM0XYXXYYFFYXY從而函數(shù)在原點(diǎn)處可微。,FX,當(dāng)20Y322