九級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 24.1.2《垂直于弦的直徑》教學(xué)課件 （新版）新人教版

1、連接圓上任意兩點(diǎn)的連接圓上任意兩點(diǎn)的線段線段叫做叫做弦弦， 經(jīng)過圓心的經(jīng)過圓心的弦弦叫做叫做直徑直徑 圓上任意兩點(diǎn)間的圓上任意兩點(diǎn)間的部分部分叫做叫做圓弧圓弧 弧弧(半圓半圓) 劣弧與優(yōu)弧劣弧與優(yōu)弧 等圓等圓(同心圓同心圓)與等弧與等弧 弦弦(直徑直徑) 圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧， 每一條弧都叫做每一條弧都叫做半圓半圓 圓圓圓心為圓心為O O，半徑為，半徑為r r 的圓可以看成是的圓可以看成是: : 所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)r r 的的點(diǎn)點(diǎn)的集合。的集合。 能夠重合的兩個(gè)圓叫做能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓等圓 圓心相

2、同的圓叫做同心圓圓心相同的圓叫做同心圓 在同圓或等圓中在同圓或等圓中, 能夠互相重合的弧叫做能夠互相重合的弧叫做等弧等弧 2.2.你能找出多少條對(duì)稱軸？你能用什么方你能找出多少條對(duì)稱軸？你能用什么方 法解決上述問題？法解決上述問題？ 可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)： 1、圓是軸對(duì)稱圖形。圓是軸對(duì)稱圖形。 任何一條任何一條直徑直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸所在直線都是它的對(duì)稱軸 1.1.圓是軸對(duì)稱圖形嗎圓是軸對(duì)稱圖形嗎? ? 如果是，它的對(duì)稱軸是什么？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？ ? 2.2.它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，可用它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，可用對(duì)折對(duì)折方法解決上述問題方法解決上述問題 A B A B C D 思考：思考：

3、 問題問題1.1.圖中有相等的線段嗎？有相等的劣弧嗎？如果圖中有相等的線段嗎？有相等的劣弧嗎？如果 有，你能找到多少對(duì)？有，你能找到多少對(duì)？ O 問題問題2.2.ABAB作怎樣的變換時(shí)，作怎樣的變換時(shí)， 相等的線段有：相等的線段有：OA=OC=OB=OD，AB=CD 相等的弧有：相等的弧有： 結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng)CDCDAB時(shí)時(shí)， AC= BC, AD= BD AC = BC,AD = BD, AC = BD, BC =AD, C D O 問題問題3.3.將弦將弦ABAB進(jìn)行平移時(shí)，如圖進(jìn)行平移時(shí)，如圖 A B A B 演演 示示 E AC = BC, (1)(1)右圖是軸對(duì)稱圖形嗎右圖是軸對(duì)稱圖

4、形嗎? ?如果是，它的對(duì)稱軸是什么？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？ (2)(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和弧? ? (1)(1)是軸對(duì)稱圖形是軸對(duì)稱圖形, ,其對(duì)稱軸是直線其對(duì)稱軸是直線CDCD (2) AE=BE, 垂直于弦的直徑平分弦，垂直于弦的直徑平分弦， 并且平分弦所對(duì)的兩條弧。并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 垂直于弦垂直于弦 的直徑的直徑 AD = BD, 已知已知: :在在OO中中,CD,CD是直徑是直徑, ,ABAB是弦是弦，CDABCDAB于于E E。 即直徑即直徑CD平分弦平分弦AB，并且，并且 平分平分AB及及ACB 驗(yàn)證驗(yàn)證 當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著

5、直徑CD折疊時(shí)折疊時(shí), A點(diǎn)和點(diǎn)和B點(diǎn)重合，點(diǎn)重合， AC、AD分別與分別與BC、BD重合。重合。 已知：在已知：在OO中中,CD,CD是直徑是直徑,AB,AB是弦是弦,CDAB,CDAB。 求證：求證：AEAEBEBE，ACACBCBC，ADADBDBD。 疊合法疊合法 O A B C D E 垂直于弦垂直于弦AB的直徑的直徑CD所在的直線所在的直線 是是 O的對(duì)稱軸。的對(duì)稱軸。 證明：證明： 連結(jié)連結(jié)OA,OB CDAB ,OA=OB AE=BE O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對(duì)稱對(duì)稱 AC = BC,AD = BD, 點(diǎn)點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于CD對(duì)稱對(duì)稱. 垂直于弦的直徑平分弦，垂直于弦的直徑平

6、分弦， 并且平分弦所對(duì)的兩條弧。并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 垂徑定理垂徑定理: : 垂徑定理垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦，并垂直于弦的直徑平分弦，并 且平分弦所對(duì)的兩條弧。且平分弦所對(duì)的兩條弧。 O E D C B A 結(jié)論：結(jié)論： 注意注意:過過圓心圓心和和垂直于弦垂直于弦兩個(gè)條件缺一不可兩個(gè)條件缺一不可 AC= BC, AD=BD 進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論：進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論： 平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平的直徑垂直于弦，并且平 分弦所對(duì)的兩條弧。分弦所對(duì)的兩條弧。 即：即：如果如果CD過圓心，且過圓心，且AE=BE則則 CDAB， AC= BC,

7、AD=BD CD過圓心過圓心(CD為直徑為直徑)，CD AB， AE=BE， AM=BM, n由由 CD是直徑是直徑 CDAB 可推得可推得 AD=BD. AC=BC, CDAB, n由由 CD是直徑是直徑 AM=BM AC=BC, AD=BD. 可推得可推得 垂徑定理：垂徑定理： 推論：推論： O M D BA C O M D BA 如何應(yīng)用如何應(yīng)用垂徑定理：垂徑定理： 例例1 1如圖，在如圖，在O O中，弦中，弦ABAB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm8cm， 圓心圓心O O到到ABAB的距離為的距離為3cm3cm，求，求OO的半徑的半徑 練習(xí)練習(xí) O A B E A 解：解： OEAB 222 AOO

8、EAE 2222 = 3 +4 =5cmAOOEAE 答：答： O的半徑為的半徑為5cm. 11 84 22 AEAB 在在Rt AOE 中中 如上圖如上圖. .若若OO的半徑為的半徑為10cm,10cm, OE=6cm,OE=6cm,則則AB=AB= cmcm。 E D C O A B 1.下列圖形是否具備垂徑定理的條件？下列圖形是否具備垂徑定理的條件？ E C O A B D O A B c 是是 不是不是是是 不是不是 O E D C A B 注意：定理中的兩個(gè)條件注意：定理中的兩個(gè)條件（直（直 徑，垂直于弦）徑，垂直于弦）缺一不可！缺一不可！ 證明：過證明：過O作作OEAB，垂足為，垂

9、足為E， 則則AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，所以，ACBD E . A CD B O 例例2.2.如圖，在以如圖，在以O(shè) O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的 弦弦ABAB交小圓于交小圓于C C、D D兩點(diǎn)。求證：兩點(diǎn)。求證：AC=BDAC=BD OEOE就是就是 弦心距弦心距 2. O的半徑是的半徑是10cm, 弦弦AB的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是12cm，則，則AB的弦心的弦心 距是距是_ 3.過過 O內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦為的最長(zhǎng)弦為10cm，最短弦長(zhǎng)，最短弦長(zhǎng)8cm，那么，那么 O的半徑等于的半徑等于_，OM的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為_ 4.如圖：如圖：AB是是 O的直徑，弦

10、的直徑，弦CDAB于于E， 若若AE=9， BE=1， 求求CD的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。 O C D A B E 5.已知已知 O的直徑是的直徑是20cm, O的兩的兩 條平行弦條平行弦AB=12cm.CD=16cm, 則它們之間的距離則它們之間的距離_. 4 . C D A B O. CD AB O 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 判斷下列說(shuō)法的正誤判斷下列說(shuō)法的正誤 垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧 問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ? 它的主橋是圓

11、弧形它的主橋是圓弧形, ,它的它的 跨度跨度( (弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弧的中點(diǎn)到 弦的距離弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少？趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 你能利用垂徑定理解決求你能利用垂徑定理解決求 趙州橋拱半徑的問題嗎趙州橋拱半徑的問題嗎? ? 37.4m 7.2m A B O C D 經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O 作作OCAB 于于D， OC交交AB 于點(diǎn)于點(diǎn)D，連接，連接AO R 用用 弧弧AB表示主橋拱，設(shè)弧表示主橋拱，設(shè)弧AB所所 在圓的

12、圓心為在圓的圓心為O，半徑為，半徑為R ,7.184.37 2 1 2 1 ABAD AB=37.4，CD=7.2， OD=OCCD=R7.2 18.7 R-7.2 ADO=90 即即 R2=18.72+（R7.2）2 OA2=AD2+OD2 解得：解得：R279（m） 例例3如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等為互相垂直且相等 的兩條弦，的兩條弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊，求證四邊 形形ADOE是正方形是正方形 D O A B C E 證明：證明： OEAC ODAB ABAC 90 90 90OEAEADODA 四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形， 又又A

13、C=AB 11 22 AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形. 4. 已知：已知： O中弦中弦ABCD。 求證：求證：ACBD 證明：作直徑證明：作直徑MNAB。 ABCD，MNCD。 則則AMBM，CMDM（垂直平分（垂直平分 弦的直徑平分弦所對(duì)的弦）弦的直徑平分弦所對(duì)的弦） AMCMBMDM ACBD . M CD AB O N 講解講解 圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等 小結(jié)小結(jié): : 解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心過圓心 作弦的垂線作弦的垂線，或或作垂直于弦的直徑作垂直于弦的直徑，連結(jié)連結(jié) 半徑半徑等輔助線，為應(yīng)

14、用垂徑定理創(chuàng)造條件。等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。 . CD AB O M N E . A CD B O . AB O 2. 垂徑定理垂徑定理: AC= BC, AD=BD CD過圓心，過圓心，CD AB， AE=BE， (2).幾何語(yǔ)言幾何語(yǔ)言 (1)垂直于弦的直徑平分弦，垂直于弦的直徑平分弦， 并且平分弦所對(duì)的兩條弧。并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 1.圓是圓是_, _是它的對(duì)稱軸是它的對(duì)稱軸 軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形任何一條直徑在的直線任何一條直徑在的直線 3.利用垂徑定理時(shí)，常用輔助線是：利用垂徑定理時(shí)，常用輔助線是： (1)連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形 (2

15、)(2)作垂直于弦的直徑作垂直于弦的直徑 1、如圖，AB是圓的弦，利 用一個(gè)三角板，你能確定這 條弦的中點(diǎn)嗎？ 2、如圖，點(diǎn)C是圓的任 意一個(gè)點(diǎn)，利用一個(gè)三 角板，你能畫出一條弦 AB，使點(diǎn)剛好是這條弦 的中點(diǎn)嗎？ AB C 豐豐 收收 園園 判斷下列說(shuō)法的正誤判斷下列說(shuō)法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的( ) ( ) 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 ( )( ) 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦( ) ( ) 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦( ) ( ) 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的直徑 ( )( ) 平

16、分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦( ) ( ) 在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦， 必平分此弦所對(duì)的弧必平分此弦所對(duì)的弧 ( )( ) Upper formation building O E D C B A 進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論：進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論： 平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑垂直于弦，的直徑垂直于弦， 并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧。 即：即：如果如果CD過圓心，且過圓心，且 AE=BE則則CDAB， AC= BC, AD= BD 想一想：為什么規(guī)定弦想一想：為什么規(guī)

17、定弦AB不是直徑？不是直徑？ 1 1如圖，在如圖，在O O中，弦中，弦ABAB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm8cm，圓，圓 心心O O到到ABAB的距離為的距離為3cm3cm，求，求O O的半徑的半徑 O AB E 練習(xí)練習(xí) 解：解： OEAB 222 AOOEAE 2222 = 3 +4 =5cmAOOEAE 答：答： O的半徑為的半徑為5cm. 11 84 22 AEAB 在在Rt AOE 中中 2 2如圖，在如圖，在OO中，弦中，弦 ABAB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm8cm，圓心，圓心OO 到到ABAB的距離為的距離為3cm3cm，求，求 OO的半徑。的半徑。 O AB E 3.3.若若OO的半徑為的半徑為

18、10cm,10cm, OE=6cm,OE=6cm,則則AB=AB= cmcm。 解得：解得：R279（m） B O D A C R 在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 即即 R2=18.72+（R7.2）2 趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m. OA2=AD2+OD2 ,7.184.37 2 1 2 1 ABAD AB=37.4，CD=7.2， OD=OCCD=R7.2 在圖中在圖中 解：用解：用 弧弧AB表示主橋拱，設(shè)弧表示主橋拱，設(shè)弧AB 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半，半 徑為徑為R經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O 作弦作弦AB 的垂線的垂線OC，D為垂足，為垂足，OC與與AB 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D， 根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D 是是