數(shù)值分析：9.3Runge-Kutta方法

1、 9.3 Runge-Kutta法法 第九章第九章 常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解 8.3 Runge-Kutta法法 1 (,) kkkk yyhf xy 111 (,)(,) 2 kkkkkk h yyf xyf xy 考慮改進(jìn)Euler法 如果將其改成 00 ()yy x 1 (,) kk Kf xy 211 (,) kk Kf xyhK 112 () 2 kk h yyKK -(1) 改進(jìn)Euler法是由梯形公式和Euler公式復(fù)合而成 梯形公式具有2階精度 形如(1)式的求解公式稱(chēng)為二階二階Runge-Kutta法法 同樣可以證明,改進(jìn)Euler法也具有2階精度 0 11 ( (

2、, ), ) kkkk yy y f xx ay xy b hyx a 對(duì)于微分方程初值問(wèn)題 如已知需要求， 1 1 01() ( , ,) kk k k kkk h h x f xhh yy y yy xhy 則由微分中值定理 可得 1 ),(, (,),) kkkk kkkkk fxxxhhx fx y xx y yyyy 其中為在區(qū)間上的平均斜率。 為在點(diǎn)上的斜率( ) 基本思路基本思路 0 1 1 2 (,) (,)(,) ( ) , () kkkk kkk k k k k yy yyyh a f x xf x x yy x hO y 在中 僅用一個(gè)點(diǎn)處的斜率 來(lái)近似代替區(qū)間上的平均斜

3、率， 局部 歐拉公式 截?cái)嗾`差為。 1 1211 121 1 (,) (,) (,)(,) 1 1 () () 2 2 pkk k ckpk kk kp k k c k k f x Kf h x f yyy y yyyy yy y xKf xK KK hh h yy 在 改進(jìn)的歐拉公式 中 11 111 3 1 (,)(,) (,) (,) ,() kkk k k k k kk k k k h h xf x xK f xK xx yyy y O y h y 則是用點(diǎn)處的斜率和由此點(diǎn) 處信息預(yù)估的點(diǎn)處的斜率 的算術(shù)平均值來(lái)近似代替 區(qū)間上的平均斜率，局部截?cái)嗾`差為。 所以如果在區(qū)間上多預(yù)估幾個(gè)點(diǎn)

4、的斜率值， 再將它們的線性組合作為平均斜率的近似值， 則就有可能構(gòu)造出精度更高的計(jì)算格式。 推廣 1 (, ) kkkk yyhxy h ( , )f x y其中 是用在一些點(diǎn)上值的線性組合來(lái)構(gòu)成 這種單步法稱(chēng)為Runge-Kutta方法,簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為R-K公式公式. ,Runge-Kutta.RRf若 是由 個(gè) 值線性組合構(gòu)成 則稱(chēng)線性方法級(jí) 三階三階Runge-KuttaRunge-Kutta 1 4 , () kk h xx O 若在區(qū)間上再增加一個(gè)新點(diǎn)， 即用三個(gè)點(diǎn)上的斜率進(jìn)行加權(quán)平均作為平均斜率， 則可望得到截?cái)嗾`差為的計(jì)算公式， 1 123 123 1 21 32 1213231

5、, , (,) (,) (,) () 1,1 kkkkk k k k k kk k k xphqhxxxx KKK Kf x Kf xK Kf x phph qhqh h pq y y yK KyyKK 預(yù)估預(yù)估 其中為區(qū)間上的三個(gè)點(diǎn)； ；00； 是三個(gè)斜率的線性組合系數(shù)。 即 三階龍格三階龍格- -庫(kù)塔公式庫(kù)塔公式 4 1 1 2 -() pq hO 如果取中點(diǎn)和終點(diǎn)的斜率， 則可得到三階龍一種截?cái)嗾`差為格的庫(kù)塔公式 1 21 32 3 231 12 1 (,) (,) 22 (,) (4) 6 141 , 666 k k k k k k k k y y y y Kf x Kf xK Kf

6、xK KK hh hh h Ky 即 三階龍格三階龍格- -庫(kù)塔公式庫(kù)塔公式 1 21 32 13 1 1 23 (,) (,) 33 22 (,) 33 (3) 4 13 ,0, 44 k k k kk k k k Kf x Kf xK Kf xK hh h y h h K y yyK y 即 4 12 33 ()- pq hO 如果取任意兩點(diǎn)，如和終點(diǎn)的斜率， 則可得到另一種截?cái)嗾`差為的三階龍格 庫(kù)塔公式 四階龍格四階龍格- -庫(kù)塔公式庫(kù)塔公式 1 5 1 ,1 2 () - kk pq h xx O : 若在區(qū)間上仍取三個(gè)點(diǎn) （，），但在中點(diǎn)處又校正， 則可望得到截?cái)嗾`差為 四階古典形式

7、的龍格 庫(kù) 的計(jì) 塔公式 算公式， 1 21 32 4 12341 3 / (,) (,) 22 (,) 22 (,) (22) 6 k k k k k k k k k k hh hh Kf x Kf xK Kf xK Kf x y y y y yy K KKKK hh h 多校即(RK4)正一次 構(gòu)造一般的R級(jí)Runge-Kutta方法 1 22211 11 1 ,11 1122 (,) (,) () (,) () k k k kkR k k RkRRR RR R Kf x Kf xpqK RK Kf xpqKqK y h KKK y y yy h hhh h ,Taylor iiis p

8、q其中等均為待定的參數(shù), 根據(jù)展開(kāi) 并由期望的階數(shù)確定, 且一般不唯一. Runge-kutta方法的階與級(jí)的關(guān)系方法的階與級(jí)的關(guān)系 在Runge-kutta計(jì)算格式(RK)中.計(jì)算函數(shù)值 f 的次數(shù) R 稱(chēng)為級(jí)級(jí), 級(jí)數(shù)與階數(shù)是不同的, 可以證明R級(jí)Runge-kutta公式 的 最高階數(shù)是 R . 通常所說(shuō)的 R 級(jí) m 階Runge-kutta公式 指要計(jì)算 R個(gè)f(x,y)的函數(shù)值, 且對(duì)應(yīng)的計(jì)算公式是 m 階的. Butcher得出如下Runge-kutta方法的級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)R與階數(shù)階數(shù)m的對(duì)應(yīng)關(guān)系: 因此, 通常使用4級(jí)4階Runge-kutta公式(RK4). ()fR每步計(jì)算 的個(gè)數(shù)級(jí)數(shù) 2 3 4 5 6 7 R8 2 3 4 4 5 6 R-2 可達(dá)到的最高精度階數(shù) 應(yīng)當(dāng)注意，高階應(yīng)當(dāng)注意，高階R-K公式的推導(dǎo)是基于初公式的推導(dǎo)是基于初 值問(wèn)題的解值問(wèn)題的解y(x)的的