內(nèi)切球與外接球常見解法

1、內(nèi)切與外接精品資料a.b. 1 c. 1+2d. 2221球與柱體1.1 球與正方體如圖1所示，正方體如gd-4為6&.設(shè)正方體的棱長為口，瓦凡笈,g為棱的中點，。為球的球心.常見組合方式有三美工一是球 為正方體的內(nèi)切球,新面圖為正方形efgy和其內(nèi)切圓,則 |j|=r=|；二是與正方體各攝相切的球，截面圖為正方形直戶型和 其外接圓，rij|go| = =fl；三是球為正方陣的外接球，截面圖為長方形工c4g和其外接圓，則|40|二*二苧-通過這三種類型可以例1棱長為1的正方體abcd - a1b1cld1的8個頂點都在球。的表面上，e, f分別是棱aa1 , dd1的中點，則直線 ef被球o截

2、得的線段長為（）1.2 球與長方體長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長方體的棱長為a,b,c,其體對角線為l .當(dāng)球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其-la2 b2 c2外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑r =-=.22例2在長、寬、高分別為 2, 2, 4的長方體內(nèi)有一個半徑為1的球，任意擺動此長方體,則球經(jīng)過的空間部分的體積為（）10 %8兀7兀a. 3b.4 兀c. 3d. 31.3球與正棱柱球與一般的正棱柱的組臺體，掌以外接形態(tài)居多.下面以正三棱柱 為例，介紹本夷題目的解法構(gòu)造直角三第形法.設(shè)正三棱柱 奶c-a瓦g的高為

3、人底面邊長為4，如圖2所示，2和b分別為 上下底面的中心,根據(jù)幾何體的特點，球心心落在高dd的中息。， od = -taorfad = -5借助直角三焦形aqd的勾股定理，可23求正二枷二w7，例3正四棱柱abcd - aibgdi的各頂點都在半徑為 r的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有 最 值，為.2球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合， 通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體 積或者表面積等相關(guān)問題2.1 球與正四面體cq=qs=rqe =s =|a, r2 -r2 = ce22 a=，解得：r =36、6

4、a, r 二12a.正四面蟀作為一個規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi) 切球，并且兩心合一，而呻這點可順利解決球的半徑與正四面體的 棱長的關(guān)系.如圖%設(shè)正四面體-w3c的桃長為入內(nèi)旬球半徑 為“ 外接球的半徑為/取為月的中點為白，耳為*在底面的射 彩，連接crgn題為正四面f*的高.在截面三角形皿作一個 與邊so和口c相切,扇心在高題上的圓,即為內(nèi)切球的截面,因為 正四面體本身的對稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為。.此時,例4將半徑都為1的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為 （）.3 2,62.6 八 2. 64.3 2,6 b. 2+ c. 4+ d.a

5、 33332.2 球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐法，即護二樓錯斗木底下方本肅者*尸體.常r.兩種華百：一是三棱錐的三條ffil犢互相垂直并且相等，則可以補的為一個正方體.它的 外接球的球心就是三棱錐的夕檄球的球心，如圖5.三橫84-力耳4的外 接球的球心和正方悻4cdab1cl 乂的外搭球的球心重合,設(shè) 則k 1,二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且不相等,則可以補形 2為一長力體，它的外接球的球心就是三槎椎的外接球的球爐j十/十立 =”為長方彼的相對角線長3 44例5在正三棱錐sabc中，m、n分別是棱sc、bc的中點，且am_lmn,若側(cè)棱sa=2，3，則正三棱錐s-abc外接球的表面積是

6、2.3 球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據(jù)截面圖的特點，可以構(gòu)造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑r .這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6在三b隹p-abc中，pa = pb=pc= 73,側(cè)棱pa與底面abc所成的角為60 ,則該 三棱錐外接球的體積為（二4 二b. c. 4 ：. d.33_ sc接球的球心，則r =.2例7矩形abcd中，ab=4,bc =3

7、,沿ac將矩形abcd折成一個直二面角 bacd ,則四面體abcd的外接球的體積是（）125125125125a.b.c.d.-129633球與球?qū)Χ鄠€小球結(jié)合在一起， 組合成復(fù)雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄危鐪?zhǔn)確確定各個小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解.例7在半彳5為r的球內(nèi)放入大小相等的 4個小球，則小球半徑 r的最大值為（）a （v； - i）尺b . 6一二流c.rd. -yj?4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進行轉(zhuǎn)換和求解例：與正四面體各棱都相切的球的半徑為棱的一半：例8把一個皮球放入如圖 10所示的由8根長均為2