人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2第6講：合情推理與演繹推理(教師版)

1、人教版高中數(shù)學(xué)合情推理與演繹推理_1.推理.根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷，這種思維方式叫做推理推理一般分為合情推理與演繹推理兩類.2.合情推理歸納推理由某類事物的部分對(duì)象具有某些特定義征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理特點(diǎn)由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理類比推理由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理由特殊到特殊的推理一般步驟(1)通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確的一般性命題(猜想)(1)找出兩類事物之間相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)去推

2、測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)3.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理；1(2)特點(diǎn)：演繹推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段論.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：“三段論”的結(jié)構(gòu)“三段論”的表示大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；根結(jié)論據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷.大前提m是p.小前提s是m.結(jié)論s是p.題型一歸納推理13例1設(shè)f(x)3x，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明.思維啟迪解題的關(guān)鍵是由f(x)計(jì)算各式，利用歸納推理得出結(jié)論

3、并證明.113解f(0)f(1)303132633133113，13333同理可得：f(1)f(2)3，f(2)f(3)3，并注意到在這三個(gè)特殊式子中，自變量之和均等于1.33歸納猜想得：當(dāng)x1x21時(shí)，均為f(x1)f(x2)證明：設(shè)x1x21，3.33x2f(x1)f(x2)311x133x23)(3x2(3x13)x1+x23x223x2233.3(3x13x2)233(3x13x2x1x1333x1x2x1(33)32323)23)(333(3x13x23)3(2)已知f(n)1(nn*)，經(jīng)計(jì)算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，則有_.(2)f(2n)n2(n2，nn

4、*)(2)由題意得f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以當(dāng)n2時(shí)，有f(2n).故填f(2n)(n2，nn*).例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若ama，anb(nm1，m，nn*)，則amnnm思維升華(1)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍.(2)歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的(3)歸納推理所得結(jié)論未必正確，有待進(jìn)一步證明，但對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)的發(fā)現(xiàn)很有用(1)觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為_.1115723n22答案(1)56789101112138

5、12解析(1)由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五個(gè)等式為56789101112139281.45672222n22n22題型二類比推理nbma.類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列bn(bn0，nn*)，若bmc，bnd(nm2，m，nn*)，則可以得到bmn_.思維啟迪等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn類比時(shí)，等差數(shù)列的公差對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的加減法運(yùn)算對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的乘除法運(yùn)算，等差數(shù)列的乘除法運(yùn)算對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的乘方開方運(yùn)算.答案nmdncm因?yàn)閍na1(n1)d，bnb1qn1，amnnm解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q.n

6、bma，3nmdnn所以類比得bmcm思維升華(1)進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比，提出猜想.其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵.(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等.(3)在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等.(1)給出下列三個(gè)類比結(jié)論：(ab)nanbn與(ab)n類比，

7、則有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sinsin；(ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22abb2.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()直徑，以此可求得外接圓半徑r(其中a，b為直角三角形兩直角邊長).類比此方法可得三a.0b.1c.2d.3(2)把一個(gè)直角三角形以兩直角邊為鄰邊補(bǔ)成一個(gè)矩形，則矩形的對(duì)角線長即為直角三角形外接圓a2b22條側(cè)棱長分別為a，b，c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑r_.答案(1)b(2)a2b2c22(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，)對(duì)稱；它關(guān)于點(diǎn)(，)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1x，1y).解析(

8、1)錯(cuò)誤，正確.(2)由平面類比到空間，把矩形類比為長方體，從而得出外接球半徑題型三演繹推理aa例3已知函數(shù)f(x)ax(a0，且a1).1122(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值.思維啟迪證明本題依據(jù)的大前提是中心對(duì)稱的定義，函數(shù)yf(x)的圖象上的任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中a11a心的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖象上.小前提是f(x)ax(a0且a1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，2)對(duì)稱.(1)證明函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，任取一點(diǎn)(x，y)，1122aaaxa，則1y1aa由已知得yaxaxax，4a1yf(1x)，即函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，)對(duì)稱.aaaaxaxxaaaf(1x)a1

9、aaaxax，ax1122(2)解由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.思維升華演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提，一般地，若大前提不明確時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.已知函數(shù)yf(x)，滿足：對(duì)任意a，br，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，試證明：f(x)為r上的單調(diào)增函數(shù).證明設(shè)x1，x2r，取x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)

10、f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1).所以yf(x)為r上的單調(diào)增函數(shù).1,3,6,10，第n個(gè)三角形數(shù)為n2n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為n(n，k)(k3)，以下列高考中的合情推理問題典例：(1)(5分)(2013湖北)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)n(n1)11222出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：n(n,3)n2n，n(n,5)n2n，三角形數(shù)正方形數(shù)五邊形數(shù)六邊形數(shù)1122n(n,4)n2，3122n(n,6)2n2n解析由n(n,4)n2，n(n,6)2n2n，可以推測：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，n(n，

11、k)n2n，可以推測n(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算n(10,24)_.思維啟迪從已知的部分k邊形數(shù)觀察一般規(guī)律寫出n(n，k)，然后求n(10,24).k24k225x2x0y2y0k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得12(123012)，23(234123)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1).相加，得1223n(n1)n(n1)(n2).n(10,24)10010x1xy1yxxyy答案x0xy0y12424242211001001000.答案1000x2y2(2)(5分)若p0(x0，y0)在橢圓a2b21(ab0)外，過p0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為p1，p

12、2，則切xxyyx200點(diǎn)弦p1p2所在的直線方程是a2b21，那么對(duì)于雙曲線則有如下命題：若p0(x0，y0)在雙曲線a2y2b21(a0，b0)外，過p0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為p1，p2，則切點(diǎn)弦p1p2所在直線的方程是_.思維啟迪直接類比可得.解析設(shè)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，則p1，p2的切線方程分別是22a2b21，a2b21.因?yàn)閜0(x0，y0)在這兩條切線上，xxyy11故有a20b201，a2b21，xxyy00這說明p1(x1，y1)，p2(x2，y2)在直線a2b21上，xxyy00故切點(diǎn)弦p1p2所在的直線方程是a2b21.a2bk(3)(5分)在計(jì)算“

13、1223n(n1)”時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫第項(xiàng)：131313，1313類比上述方法，請你計(jì)算“123234n(n1)(n2)”，其結(jié)果為_.思維啟迪根據(jù)兩個(gè)數(shù)積的和規(guī)律猜想，可以利用前幾個(gè)式子驗(yàn)證.6解析類比已知條件得k(k1)(k2)k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，由此得123(12340123)，234(23451234)，345(34562345)，n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2).n(n1)(n2)(n3).答案n(n1)(n2)(n3)14141414，14以上幾個(gè)式子相加得：123234n(n1)(n2)14

14、141.判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”).(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適()()()(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的.().(5)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是ann(nn()(6)222334466323，3838，415415，baba(a，b均為實(shí)數(shù))，則可以推測a35，b6.()2.數(shù)列2,5,11,20，x,4

15、7，中的x等于()a.28b.32c.33d.27答案b解析523,1156,20119，推出x2012，所以x32.3.觀察下列各式：553125,5615625,5778125，則52011的后四位數(shù)字為()a.3125答案db.5625c.0625d.81257解析553125,5615625,5778125,58390625,591953125，可得59與55的后四位數(shù)字相同，由此可歸納出5m4k與5m(kn*，m5,6,7,8)的后四位數(shù)字相同，又201145017，所以52011與57后四位數(shù)字相同為8125，故選d.4.(2013陜西)觀察下列等式1211222312223261

16、222324210照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_.答案12223242(1)n1n2(1)n1n(n1)2n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n個(gè)等式為12223242(1)n1n2(1)n1.等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為tn，則t4，_，_，16成等比數(shù)列.因此8a5a6a7a8，12a9a10a11a12，16a13a14a15a16，而t4，8，12，16的公比為q16，因此t4，8，12，16成等比數(shù)列.解析觀察等式左邊的式子，每次增加一項(xiàng)，故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng)，指數(shù)都是2，且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項(xiàng)為(1)n1n2.等式右邊的值的符號(hào)也是正、負(fù)相間，其絕對(duì)值分別為1

17、,3,6,10,15,21，.設(shè)此數(shù)列為an，則a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anann(n1)12n(n1)25.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，則s4，s8s4，s12s8，s16s12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有設(shè)tt12答案t8t12t4t8解析對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為tn，則t4a1a2a3a4，t8a1a2a8，t12a1a2a12，t16a1a2a16，tttt4t8t12tttt4t8t12tttt4t8t12_8_基礎(chǔ)鞏固a組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1.(2012江西)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4

18、b47，a5b511，則a10b10等于()a.28b.76c.123d.199答案c解析觀察規(guī)律，歸納推理.從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10b10123.2.定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，則n*1等于()a.nb.n1c.n1d.n2答案a解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*121*1+(n1).又1*1=1，n*1n3.下列推理是歸納推理的是()a.a，b為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足|pa|pb|2a|ab|，則p點(diǎn)

19、的軌跡為橢圓b.由a11，an3n1，求出s1，s2，s3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的表達(dá)式x2y2c.由圓x2y2r2的面積r2，猜想出橢圓a2b21的面積sabd.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案b解析從s1，s2，s3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和sn，是從特殊到一般的推理，所以b是歸納推理，故應(yīng)選b.4.已知abc中，a30，b60，求證：ab.證明：a30，b60，ab.a0)，且f1(x)f(x)，當(dāng)nn*且n2時(shí)，(x)ffn1(x)，則f3(x)_，猜想fn(x)(nn*)的表達(dá)式為_.答案xx7x8(2n1)x2n解析f1(x)xx2，fn(x)ffn1(x)(n2)，f2(x)f(

20、).(2)f3(x)ff2(x)f().(2)xx2xxxx23x4x2x3x4xxx3x47x83x4108.在平面幾何中，abc的內(nèi)角平分線ce分ab所成線段的比為，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：由所求等式知，分子都是x，分母中常數(shù)項(xiàng)為2n，x的系數(shù)比常數(shù)項(xiàng)少1，為2n1，x1)x2n故fn(x)(2n.aeacebbc在三棱錐abcd中(如圖所示)，平面dec平分二面角acdb且與ab相交于點(diǎn)e，則類比得到的結(jié)論是_.答案bebcdeasn5n2n(n4).10.在abc中，abac，adbc于d，求證：，那么在四面體abcd中，類acd解析易知點(diǎn)e到平面bcd與平面acd的距離相等，bcd故v

21、ebcdbe.veacdeaacd三、解答題9.已知等差數(shù)列an的公差d2，首項(xiàng)a15.(1)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn；(2)設(shè)tnn(2an5)，求s1，s2，s3，s4，s5；t1，t2，t3，t4，t5，并歸納出sn與tn的大小規(guī)律.解(1)由于a15，d2，n(n1)2(2)tnn(2an5)n2(2n3)54n2n.t15，t2422218，t3432339，t4442468，t54525105.s15，s22(24)12，s33(34)21，s44(44)32，s55(54)45.由此可知s1t1，當(dāng)n2時(shí)，sntn.歸納猜想：當(dāng)n1時(shí)，sntn；當(dāng)n2，nn時(shí)，sn0ab”類比推

22、出“若a，bc，則ab0ab”.其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()a.0b.1c.2d.3答案c解析正確，錯(cuò)誤.因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)，不能比較大小.2.設(shè)是r的一個(gè)運(yùn)算，a是r的非空子集.若對(duì)于任意a，ba，有aba，則稱a對(duì)運(yùn)算封閉.下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是()a.自然數(shù)集c.有理數(shù)集b.整數(shù)集d.無理數(shù)集答案c解析a錯(cuò)：因?yàn)樽匀粩?shù)集對(duì)減法、除法不封閉；b錯(cuò)：因?yàn)檎麛?shù)集對(duì)除法不封閉；c對(duì)：因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則12運(yùn)算都封閉；d錯(cuò)：因?yàn)闊o理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法都不封閉.3.平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為_.答案n2n22n)1個(gè)區(qū)域.(1)數(shù)列n是等比數(shù)列；故sn1n1(小前提)2n，解析1條直線將平面分成11個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1(12)4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1(123)7個(gè)區(qū)域；，n條直線最多可將平面分成1(123n(n1)n2n222n24.數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為sn，已知a11，an1nsn(nn*).證明：sn(2)sn14an.n2證明(1)an1sn1sn，an1nsn，(n2)snn