(整理)9廣義積分習(xí)題課.

1、(整理)9廣義積分習(xí)題課.第九章 廣義積分習(xí)題課一、主要內(nèi)容 1、基本概念 無(wú)窮限廣義積分和無(wú)界函數(shù)廣義積分?jǐn)可⑿缘亩x、絕對(duì)收斂、條件收斂。 2、斂散性判別法 Cauchy收斂準(zhǔn)則、比較判別法、Cauchy判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法。 3、廣義積分的計(jì)算 4、廣義積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系5、廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e原則和程序包括定義在內(nèi)的廣義積分的各種判別法都有特定的作用對(duì)象和原則，定義既是定性的用于判斷簡(jiǎn)單的具體廣義積分的斂散性，也是定量的用于計(jì)算廣義積分，其它判別法都是定性的，只能用于判斷斂散性，Cauchy判別法可以用于抽象、半抽象及簡(jiǎn)單的具體廣義積分的斂散性，比較判別法

2、和Cauchy判別法用于不變號(hào)函數(shù)的具體廣義積分和抽象廣義積分判別法，Abel判別法和Dirichlet判別法處理的廣義積分結(jié)構(gòu)更復(fù)雜、更一般。對(duì)具體廣義積分?jǐn)可⑿耘袆e的程序： 1、比較法。 2、Cauchy法。 3、Abel判別法和Dirichlet判別法。 4、臨界情況的定義法。 5、發(fā)散性判別的Cauchy收斂準(zhǔn)則。 注、對(duì)一個(gè)具體的廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e，比較法和Cauchy法所起作用基本相同。注、在判斷廣義積分?jǐn)可⑿詴r(shí)要求： 1、根據(jù)具體題型結(jié)構(gòu)，分析特點(diǎn)，靈活選擇方法。2、處理問(wèn)題的主要思想：簡(jiǎn)化矛盾，集中統(tǒng)一，重點(diǎn)處理。3、重點(diǎn)要掌握的技巧：階的分析方法。二、典型例子下述一系列例子

3、，都是要求討論其斂散性。注意判別法使用的順序。例1 判斷廣義積分的斂散性。分析 從結(jié)構(gòu)看，主要是分析分母中兩個(gè)因子的作用。解、記，對(duì)，先討論簡(jiǎn)單情形。時(shí)，時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。，不妨設(shè)，則，故，時(shí)為常義積分，此時(shí)收斂。時(shí)，由于 因此，與積分同時(shí)斂散，即時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。因此，對(duì)，此時(shí)廣義積分的斂散性完全由分母中的低階項(xiàng)決定。上述結(jié)論也可以總結(jié)為：minp,q1時(shí)收斂，maxp,q時(shí)發(fā)散。綜上：時(shí)收斂，其余發(fā)散?；蛘邽椋簃inp,q10。分析 積分結(jié)構(gòu)中包含有正弦函數(shù)的因子，注意利用它的兩個(gè)特性：本身有界性用于獲得絕對(duì)收斂性的相關(guān)結(jié)論；積分片段的有界性用于獲得收斂性。注意驗(yàn)證積分片段有界性時(shí)的配因子方法

4、。解：先分析絕對(duì)收斂性，由于 ，故，m1時(shí)，廣義積分絕對(duì)收斂。當(dāng)時(shí)，利用配因子法驗(yàn)證積分片段的有界性， 由Dirichlet判別法，廣義積分收斂。由于 ，而類似可以證明收斂，發(fā)散，因而，發(fā)散，故時(shí)，廣義積分條件收斂。注、從解題過(guò)程中可知，利用定義可以證明m=0時(shí)積分發(fā)散。注、不能將積分分成如下兩部分 ，通過(guò)右端兩部分的收斂性得到I的收斂性，原因是只有當(dāng)右端兩項(xiàng)同時(shí)收斂時(shí)，才成立上述的分解結(jié)論。例3 討論的斂散性。分析 從結(jié)構(gòu)看，應(yīng)該分段處理，重點(diǎn)是討論ln（1x）的當(dāng)和時(shí)的性質(zhì)，進(jìn)行階的比較。解、記，。對(duì)， 由于，故，當(dāng)，即時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)，發(fā)散。對(duì)， 利用已知的結(jié)論：，則，當(dāng)時(shí)，取使得，則 故

5、收斂。當(dāng)時(shí)，取，則故發(fā)散。因而，當(dāng)時(shí)，收斂；時(shí)發(fā)散。例4 討論的斂散性，其中。分析 分段處理，對(duì)第一部分的無(wú)界函數(shù)廣義積分，是非負(fù)函數(shù)的廣義積分，可以用比較判別法或Cauchy判別法，對(duì)第二部分的無(wú)窮限廣義積分，由于被積函數(shù)是變號(hào)函數(shù)，因此，應(yīng)該用Abel判別法或Dirichlet判別法。 解：記 ， 對(duì)，當(dāng)時(shí)， 故，收斂。由于此時(shí)被積函數(shù)不變號(hào)，故又絕對(duì)收斂。當(dāng)時(shí)， 故，發(fā)散。對(duì)，由于 ，故當(dāng)時(shí)，（絕對(duì)）收斂。當(dāng)時(shí)，由于，對(duì)任意， 且 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減趨于0，由Dirichlet判別法，收斂。又，此時(shí) 且收斂，因此，發(fā)散。因而，當(dāng)時(shí)，條件收斂。綜上，；例5 討論的斂散性，其中p、q非負(fù)。分析

6、從被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn)，組成被積函數(shù)的兩個(gè)因子中，較難處理的是因子，因此，處理思想就是將其簡(jiǎn)化，處理手段是變量代換。處理技巧是先易后難。解、先考慮最簡(jiǎn)情形：時(shí)的情形。記，此時(shí)，、分別是無(wú)界函數(shù)和無(wú)窮限廣義積分，因此，時(shí)，收斂；時(shí)， 發(fā)散；而對(duì)， 時(shí)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散，故時(shí)，發(fā)散。當(dāng)時(shí)，令，則 對(duì)，由于 ，故與同時(shí)斂散。因而，時(shí)，（絕對(duì)）收斂；時(shí)，發(fā)散。對(duì)，由于，故，時(shí)，絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，由Dirichlet判別法，（條件）收斂。當(dāng)時(shí)，利用周期函數(shù)的積分性質(zhì)，則 因而，由Cauchy收斂準(zhǔn)則，發(fā)散。綜上：時(shí)，發(fā)散；時(shí)， 時(shí)，絕對(duì)收斂； 時(shí)，條件收斂； 時(shí)，發(fā)散。 注、本題的證明思想：過(guò)程：由易到難；

7、矛盾集中，突出重點(diǎn)，抓住主要矛盾。注、也可以用配因子法處理。下述的例子用階的分析法。例6 討論的斂散性。分析 首先將積分分段處理，記 ，。從被積函數(shù)結(jié)構(gòu)看，被積函數(shù)形式較為復(fù)雜，處理的方法一般是通過(guò)階的分析，估計(jì)其速度，從而估計(jì)斂散性，并進(jìn)一步驗(yàn)證。對(duì)，分析奇點(diǎn)附近被積函數(shù)的階。由于 ，因而，從而，判斷出被積函數(shù)在奇點(diǎn)處的奇性。對(duì) ，對(duì)被積函數(shù)作階的分析，由于x充分大時(shí)，因此，利用函數(shù)展開(kāi)理論得 , ，由此可以將復(fù)雜的函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化，從而得到相應(yīng)廣義積分的斂散性。解、記 ，。對(duì)，利用LHosptial法則， ，因而， ，故，收斂。對(duì) 由于，則其中 ，因而收斂，又由于條件收斂，故條件收斂。因此，

8、條件收斂。注、對(duì)復(fù)雜的函數(shù)結(jié)構(gòu)利用函數(shù)展開(kāi)理論判斷廣義積分的斂散性也是一個(gè)有效的方法。例7 （）。分析：這是無(wú)窮限廣義積分，分析時(shí)被積函數(shù)的性質(zhì)，此時(shí) ，故 ，又 ，故所以 ，證明過(guò)程就是驗(yàn)證上述函數(shù)關(guān)系。解、由于 因而，與廣義積分同時(shí)斂散。故時(shí)，收斂；時(shí)，發(fā)散。下述的一個(gè)命題反映了判別斂散性的又一思想方法。例8 證明：設(shè)、上連續(xù)，單調(diào)且，則與同時(shí)斂散。證明：若收斂，由Abel判別法，收斂。若收斂，則仍有單調(diào)且，由Abel判別法，則收斂。注、本命題結(jié)論非常簡(jiǎn)單，但命題中體現(xiàn)出來(lái)的思想非常有用。即在討論廣義積分的斂散性時(shí)，分析被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)，抓住主要因素，解決主要矛盾，略去次要因素，即將一個(gè)復(fù)雜

9、的廣義積分轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的廣義積分討論其斂散性。下面，通過(guò)一個(gè)例子，說(shuō)明例8的作用。例9 討論 的斂散性。解、由于,由于 非負(fù)單調(diào)且，因此，利用例8的結(jié)論，其與同時(shí)斂散。因而，時(shí)絕對(duì)收斂；時(shí)條件收斂；時(shí)發(fā)散。下面一個(gè)結(jié)論與例8具有類似的思想。例10 設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）、h（x）定義在上且對(duì)任意有限的實(shí)數(shù)Aa，它們都在a, A上可積，證明：若且廣義積分、都收斂，則也收斂。分析 題目類似極限的兩邊夾定理，但是條件較弱，證明思路是通過(guò)條件尋找它們之間的關(guān)系，利用性質(zhì)或定義或比較法進(jìn)行判斷。證明：由所給的關(guān)系式，則 ，由條件和廣義積分性質(zhì)，則收斂，由比較判別法，則收斂，由于，再次利用積分性質(zhì)，則

10、收斂。注、例10結(jié)論表明，對(duì)待考察的廣義積分的被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓烙?jì)，去掉一些次要因素的影響，由此得到收斂性，體現(xiàn)了研究廣義積分收斂性的又一思想。注、盡管例8和例10體現(xiàn)的處理問(wèn)題的思想類似，但是，由于例8是一個(gè)等價(jià)的轉(zhuǎn)化，得到的是同斂散的結(jié)論，因此，例8的結(jié)論比例10要好。下面的命題用于處理另一類廣義積分的斂散性。例11 設(shè)f(x)0且單調(diào)遞減，證明與同時(shí)斂散。證明：因?yàn)閒(x)0且單調(diào)遞減，故存在。若0，則由Dirichlet判別法，收斂。由于 2故，與同時(shí)斂散。若b0，此時(shí)發(fā)散。由極限定義，存在Aa，使得xA時(shí)， 故，取n充分大，使得 ，則 ，故，發(fā)散。因而，此時(shí)二者同時(shí)發(fā)散。 下面的例

11、子用上述結(jié)論很容易處理。 例12 討論的斂散性。解、由于 對(duì)，已知p0時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。為討論的斂散性，注意到 故，與同時(shí)斂散，由例11，又與同時(shí)斂散，即時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。故，當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散。注、這類題目的討論技巧性高，得到的結(jié)論也深刻。事實(shí)上，和作對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，分母上增加因子sinx，深刻改變了其斂散性，使得收斂范圍變小。這也反映了廣義積分?jǐn)可⑿缘膹?fù)雜性。注、例12也表明了因子sinx的復(fù)雜作用，當(dāng)它處在分子上時(shí)，可以充分利用其本身有界和積分片段的有界性得到一些斂散性結(jié)論；但是，當(dāng)這個(gè)因子處在分母上時(shí)，其變號(hào)且非單調(diào)的性質(zhì)起到了很大的作用，從而影響到了廣義積分的斂散性。也可以通過(guò)與例9的結(jié)論對(duì)

12、比發(fā)現(xiàn)這些差異，例9中，分母為，因子1不起作用，此例中，分母中的因子sinx起到了影響斂散性的作用。例13 若收斂，在單調(diào)，則， 即。分析 要證明的結(jié)論表明，要研究的是被積函數(shù)的極限行為（，即要控制當(dāng)x充分大時(shí)的xf（x），而從廣義積分的收斂性的條件能產(chǎn)生與被積函數(shù)的無(wú)窮遠(yuǎn)處的行為有關(guān)的結(jié)論就是Cauchy收斂準(zhǔn)則，因此，建立二者的橋梁為Cauchy收斂準(zhǔn)則。因此，證明的關(guān)鍵就是如何從Cauchy片段中分離出xf（x），因此，必須通過(guò)選擇與x有關(guān)的達(dá)到目的，特別注意f（x）可以由被積函數(shù)產(chǎn)生，即從積分號(hào)下把被積函數(shù)分離出來(lái)，而系數(shù)顯然要通過(guò)積分限產(chǎn)生。證明：設(shè)單調(diào)遞減，由收斂，則。由Cauch

13、y收斂準(zhǔn)則，存在充分大，使得對(duì)任意，成立，對(duì)任意，取 ，則 ， 利用函數(shù)的單調(diào)性，則， ，故，。類例：若收斂，則。 注、此結(jié)論比講義中的結(jié)論更強(qiáng)。注、作為最簡(jiǎn)單的廣義積分積分，揭示了廣義積分收斂的本質(zhì)，即時(shí)，被積函數(shù)趨于0的速度高于一階時(shí)，廣義積分收斂。本題說(shuō)明：在一定的條件下，上述條件還是必要的。注、更進(jìn)一步還有:若收斂，單調(diào)遞減，則。事實(shí)上，對(duì)充分大的，由Cauchy收斂準(zhǔn)則，。結(jié)論說(shuō)明，此時(shí)f（x）趨于0的速度比趨于0的速度還大。注、成立更一般的結(jié)論：設(shè)在單調(diào)，且收斂，則 。例14 設(shè)若在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且單調(diào)遞減趨于0（），證明收斂的充要條件是收斂。 分析 從要證明的結(jié)論看，建立兩個(gè)廣義積

14、分的聯(lián)系的橋梁是分部積分法，即。從此關(guān)系式看，要證明結(jié)論關(guān)鍵是解決極限的存在性。證明：必要性。若收斂，則由例13，因而， ，故，收斂。充分性。由于，下面利用的收斂性研究極限的存在性，由于 由收斂，則。又，同樣成立，因而 收斂。注、證明過(guò)程中，用到了結(jié)論：若收斂，則 。事實(shí)上，記I，則 。例15 證明：若在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且、都收斂，則證明：由收斂性定義，對(duì)任意， 因而，存在，又收斂，則必有。注、也可以用Cauchy收斂準(zhǔn)則證明。但本題采用定義證明更簡(jiǎn)單，因此既要掌握處理某一類型問(wèn)題的一般原則，又要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用。注、此例還說(shuō)明，對(duì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)成立的收斂性的必要條件對(duì)廣義積分并不成立，必須增加一定的條件才

15、能保證其成立。例16 證明：若非負(fù)函數(shù)在單調(diào)減少，則與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)同時(shí)斂散。分析 本題要求在兩種不同形式間進(jìn)行比較，處理這類問(wèn)題的思想方法是形式統(tǒng)一法，將積分轉(zhuǎn)化為和式即，由此看出，命題的證明實(shí)際就是比較 的關(guān)系。證明：由于且在單調(diào)減少，故 因而 故 ，因而， 與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)同時(shí)斂散。例17設(shè)在任意有限區(qū)間上可積且，證明： A 。分析 從條件和結(jié)論很發(fā)現(xiàn)證明的思路。證明：由和，則對(duì)任意，存在，使得當(dāng) 時(shí)， 對(duì)任意，存在，使得，故 故，A。下面給出幾個(gè)廣義積分的計(jì)算題目。關(guān)于廣義積分的計(jì)算，基本思路和方法是利用N-L公式、分部積分、極限運(yùn)算。技巧是選擇合適的變量代換。例18 （Frullani積分）證明

16、：若且對(duì)任意，廣義積分收斂，則 分析 解題思想是將待計(jì)算的未知的積分轉(zhuǎn)化為已知的積分，手段是利用變量代換。事實(shí)上，已知的是積分形式，待計(jì)算的量是形式，因此，可以利用極限將兩種形式，也將已知和未知的量聯(lián)系起來(lái)。證明：對(duì)任意的，則 ；同樣，。因而， 利用積分中值定理， 。例19 證明：，其中 ，積分有意義。分析 從證明的結(jié)論中可以發(fā)現(xiàn)所應(yīng)該采取的方法和手段，即應(yīng)該是選擇一個(gè)合適的變換，使得，從這一關(guān)系式中可以發(fā)現(xiàn)，變換不唯一。證明：令，則 且，故 ，又，由此可證明命題。 注、也可以取，此時(shí)。例20 計(jì)算。分析 這類題目是無(wú)法直接計(jì)算出來(lái)的，常用的技巧是分段，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，在兩個(gè)積分段之間尋找

17、連續(xù)。解、由于，而二者都收斂，故，0。例21 證明 與無(wú)關(guān)。證明：由于因而 故其與無(wú)關(guān)。下面討論廣義積分和無(wú)窮和的極限的關(guān)系。例22 設(shè)在（0，1單調(diào)，x=0為其奇點(diǎn)，廣義積分收斂，證明： 。分析 與例16類似，將積分轉(zhuǎn)化為有限和，進(jìn)而考察相互的關(guān)系。證明: 設(shè)在（0，1單調(diào)遞增，則 ,因而，利用的收斂性，則 ，由此，命題得證。注、由此可得即：。例23 設(shè)對(duì)任意A0，f(x)且，證明： 。分析 題目中所給的定量條件只有，為了利用這個(gè)條件，仍然可以利用形式統(tǒng)一方法對(duì)結(jié)論進(jìn)行變形，從中可以看到要證明結(jié)論等價(jià)于 ，為利用條件，只需分段處理即可，即分別研究 、的極限行為。證明：因?yàn)椋蚀嬖贛0,使得x

18、M時(shí)，；又f(x)，因而，f(x)有界C。注意到 ，故只需證明。由于對(duì)任意，存在A0，使得xA時(shí) ，故 由于 ，故，存在時(shí)，因而 故，。下面是一些判斷題。22、判斷下列命題是否成立。1）、設(shè)在任意區(qū)間上可積，若對(duì)任意的、，存在，使得對(duì)任意的，都成立，則收斂。解：錯(cuò)。正確理解Cauchy收斂準(zhǔn)則。反例。如，則 對(duì)任意的都有 ，但發(fā)散。2）、設(shè)在任意區(qū)間上可積，若收斂，則收斂。解、正確。利用和Abel判別法即可。3）、若存在使得發(fā)散，則發(fā)散。解、正確。事實(shí)上，收斂充要條件為對(duì)任意的，收斂。證明：若收斂，則由于 故收斂。反之，若發(fā)散，則存在和，使得 取，則且，故發(fā)散。4）、設(shè)收斂，下列條件能否保證。 1、在連續(xù)、恒正。 2、存在。 3、單調(diào)。 4、在一致連續(xù)。 5、在連續(xù)可導(dǎo)。 6、在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。 7、在可導(dǎo)且收斂。車響餅餞臆滇腔臣露粱脈豌濕圍根撈撫鼎晝窺征溶遜顏蹲賊瞪