利用概率的方法證明等式與不等式

1、 用概率論的方法證明等式與不等式摘 要：對(duì)于不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有著許許多多的證明等式與不等式的方法，但其中很多的的方法卻非常的復(fù)雜繁瑣，在這篇文章中，用概率論的方法來(lái)解決了不同的等式與不等式的問(wèn)題，用概率論的方法來(lái)解決許多等式與不等式問(wèn)題非常的簡(jiǎn)單有效，給我們帶來(lái)了很多的便捷關(guān)鍵詞：概率論方法；不等式；恒等式 the use of probability in improving inequality and indentityabstract:to different mathematic space,there is various of ways to improve identity a

2、nd inequality,but most method are very complicate.in this paper,we use probability method to give a solution to several identities and inequalities.using probability to sovle the identity and inequality is simple and effective.its take us a great convesnience. keywords:probability method;inequality;

3、identity. 19目錄1 利用概率的方法證明恒等式11.1 利用概率模型的構(gòu)造證明恒等式11.2利用常見(jiàn)的概率分布及其規(guī)范性證明恒等式41.3 通過(guò)計(jì)算距的方法來(lái)證明恒等式71.4 用概率的方法證明數(shù)學(xué)分析中的等式81.5 小結(jié)92 利用概率的方法證明不等式102.1 利用概率模型的構(gòu)造證明不等式102.2 一些概率中的基礎(chǔ)理論與性質(zhì)112.3 用一維隨機(jī)變量證明的不等式122.4 用二維隨機(jī)變量證明的不等式152.5 小結(jié)17謝 辭19引言： 20世紀(jì)以來(lái)，起源于機(jī)會(huì)游戲的概率論飛速發(fā)展，已經(jīng)成為一門理論嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)科學(xué)，其內(nèi)容豐富，結(jié)論深刻，有獨(dú)特的思想和方法概率論是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律

4、演繹的研究，隨機(jī)現(xiàn)象的普遍性使得概率論具有極其廣泛的應(yīng)用，其中，運(yùn)用概率論的思想方法來(lái)解決其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問(wèn)題已成為概率論的一個(gè)很新穎的方向等式與不等式的證明是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題，也是數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，本文主要探討用概率論方法證明數(shù)學(xué)中的一些等式與不等式的問(wèn)題，從而使得證明過(guò)程大大的簡(jiǎn)化利用概率方法的關(guān)鍵，是根據(jù)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題巧妙建立隨機(jī)模型，然后利用概率論中的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決該數(shù)學(xué)問(wèn)題1 利用概率的方法證明恒等式1.1 利用概率模型的構(gòu)造證明恒等式 恒等式的證明思路較多，一般的可以從等式的左邊到右邊，從右邊到左邊，或從兩邊到中間在這里利用概率的思想通過(guò)構(gòu)建一個(gè)概率問(wèn)題來(lái)對(duì)恒等式加以證明先看以下例題：

5、 例1.1.1 證：該等式的構(gòu)造復(fù)雜，我們建立如下概率模型：一個(gè)口袋中裝有白球、黑球各1個(gè)，有放回地兩次從中取球，每次取一球，將以上抽取過(guò)程記為一輪，如果第一輪兩次取到的都是白球，則成功，否則失??；如果失敗，則在口袋中加一個(gè)黑球，接著再進(jìn)行第二輪抽球，如果兩次取到的都是白球，則成功，否則失敗；如果失敗，則在口袋中加再一個(gè)黑球，進(jìn)行第三輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，問(wèn)成功的概率是多少?則有：第一輪成功的概率： ；第一輪失敗，第二輪成功的概率：；第一輪，第二輪失敗，第三輪成功的概率： ； . 所以成功的概率為： 又有模型中每輪都失敗的概率為： 于是成功的概率為，綜上可知成功的概率為： 則原式得證 由上

6、例可看出，巧妙地構(gòu)造、利用概率模型來(lái)求解等式可以大大的減少用一般方法證明等式的運(yùn)算量根據(jù)等式的特點(diǎn)，巧妙地構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ停怯酶怕史椒ㄗC明恒等式的關(guān)鍵所在 例1.1.2 證：我們構(gòu)造概率模型：從含有n個(gè)次品的n件產(chǎn)品中，設(shè)逐個(gè)不放回抽檢件,則，設(shè)，則 互不相容且，于是我們有： 即：則原式可證 例1.1.3 證明： 證：原式兩邊同時(shí)除以，得 由上式左端分母可構(gòu)造模型如下袋中有個(gè)不同的球，其中有個(gè)黑球和一個(gè)白球，從中任取個(gè)，記:，與構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，由即，可得式，因此由以上兩例可看出，在用概率的方法解等式時(shí)，不僅要巧妙地構(gòu)造概率模型，而且要善于觀察和運(yùn)用等式中的”1“，也就是利用樣本空間

7、不同的劃分且的性質(zhì)來(lái)解決一些等式的證明 例1.1.4 證：構(gòu)建一個(gè)概率問(wèn)題設(shè)袋中裝有個(gè)球，其中個(gè)白球、其余的為黑球?qū)⑶螂S機(jī)地?zé)o返回地取出，求第次才取到白球的概率 由設(shè)可知，袋中有個(gè)白球、個(gè)黑球，第次才取到白球的話就意味著前次取得的都是黑球從而第次才取到白球的概率為，這里作為概率是求出來(lái)了，但是為了得到恒等式，可以把上面的問(wèn)題延伸一下，就是看看可以取哪些值因?yàn)榇兄挥袀€(gè)黑球，若從開(kāi)始總是取得黑球，直到把黑球取完為止，則最遲到第次一定會(huì)取得白球也就是說(shuō)上面的可以取從這些值由上面已經(jīng)得到的的結(jié)果依次可得： ， 顯然第一次就取到白球、第二次才取到白球、第次才取到白球是必然事件，其概率為1，所以 即 那

8、么， 從而, 證畢1.2利用常見(jiàn)的概率分布及其規(guī)范性證明恒等式在概率論中，每個(gè)隨機(jī)變量都有一個(gè)分布，不同的隨機(jī)變量有不同的分布，也有相同的分布隨機(jī)變量有千千萬(wàn)萬(wàn)個(gè)，但常用分布并不多常用分布亦分為兩類：離散分布和連續(xù)分布，而在用概率的方法證明一般恒等式中，主要用到的概率模型是離散分布在用概率的方法證明積分恒等式中，主要用到的概率模型是連續(xù)分布，常用的離散分布有：二項(xiàng)分布、泊松分布、超幾何分布、幾何分布等，常用的連續(xù)分布有：正態(tài)分布，均勻分布，指數(shù)分布等 例1.2.1 證：在這里先介紹著名的巴拿赫問(wèn)題：某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴，每一盒都裝有根火柴每次使用時(shí)，他在任一盒中任取一根問(wèn)他發(fā)現(xiàn)一盒為空而另一盒還

9、有根火柴的概率是多少？用表示事件“一盒為空而另一盒還有根火柴”仔細(xì)分析一下該問(wèn)題：當(dāng)一盒為空而另一盒還有k根火柴時(shí)，意味著一盒中的根已用完而另一盒用去了根火柴，即他共用去了根火柴由于每次抽到各盒的概率都是，總共進(jìn)行了次貝努里實(shí)驗(yàn)，所以根據(jù)二項(xiàng)概率公式得事件的概率為： 巴拿赫問(wèn)題的答案已經(jīng)得出在這里同樣考慮一下該問(wèn)題中的的取值，就可以得到題目中的等式 顯然巴拿赫問(wèn)題中的可以取從、，直到0這些非負(fù)整數(shù)，所以對(duì)應(yīng)的有事件,.這些事件為必然事件，概率應(yīng)為1.即： 由得： 這樣等式就變?yōu)椋?將上式兩邊同乘以并利用組合數(shù)的性質(zhì)得： ，所以原式得證 在以上例題中，除了運(yùn)用概率模型的構(gòu)造外，還運(yùn)用了二項(xiàng)分布及

10、其規(guī)范性來(lái)證明等式 例1.2.2 證明等式： 證：建立概率模型：在件產(chǎn)品中有件次品，任取件，設(shè)為其中的次品數(shù)，則服從超幾何分布，即，其概率分布為:,n,因?yàn)楦怕史植嫉囊?guī)范性，所以，即：，原式得證在上例中,運(yùn)用了超幾何分布及其規(guī)范性來(lái)證明等式1.3 通過(guò)計(jì)算距的方法來(lái)證明恒等式 在隨機(jī)變量中，期望即一階原點(diǎn)矩、方差即一階中心矩是最基本最常用的性質(zhì)，因此在用概率模型證明等式時(shí)，也可以利用期望、方差的性質(zhì)來(lái)輔助證明等式不僅如此，還可以用二階、三階矩，等更高階的矩來(lái)幫助證明等式 例1.3.1 證明： 證：構(gòu)造隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即，取，則， 又 ，所以 即，即： ，原式得證 以上例題中，除了運(yùn)用了二

11、項(xiàng)分布外，還運(yùn)用了二項(xiàng)分布的期望，即一階原點(diǎn)矩，從而證明了等式 例1.3.2 證明： 證：構(gòu)造隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即，取，則， ，而 ，則，即 ，所以 ，原式得證 以上例題中，除了運(yùn)用了二項(xiàng)分布外，還運(yùn)用了方差即二階中心矩和二階原點(diǎn)矩，從而證明了等式1.4 用概率的方法證明數(shù)學(xué)分析中的等式 隨機(jī)變量中，除了常用的基本性質(zhì)之外，還有一些重要的定理，如：大數(shù)定理、中心極限定理等，利用這些定理可以輔助證明數(shù)學(xué)分析中的一些恒等式 例1.4.1 求證： 證：建立隨機(jī)模型，設(shè)為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量且，即.根據(jù)泊松分布的可加性所以，則，而，有中心極限定理得， 在上例中，運(yùn)用了泊松分布、泊松分布的可加性、以及

12、獨(dú)立同分布下的中心極限定理，從而證明了等式 例1.4.2 證明：對(duì)有， 成立 證：設(shè)這一列相互獨(dú)立的，同服從上均勻分布的隨機(jī)變量，則獨(dú)立同分布，獨(dú)立同分布，且 由柯?tīng)柲缏宸驈?qiáng)大數(shù)定理可得 ， 即 ， 即 又因，故 ，所以 ，據(jù)此依控制收斂定理及式即可得到 = 在以上例題中，運(yùn)用了均勻分布、大數(shù)定理、控制收斂定理，從而證明了等式1.5 小結(jié) 在以上4部分中，對(duì)從最基本的運(yùn)用概率模型的構(gòu)造證明恒等式到運(yùn)用一些概率中的性質(zhì)來(lái)證明恒等式進(jìn)行了階梯式清晰的講解以及很多實(shí)例的演示，可以清楚的看到，利用概率模型及其性質(zhì)證明一些恒等式非常的便捷有效，但同時(shí)也要注意，證明恒等式時(shí)，選取適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ褪墙忸}的關(guān)

13、鍵，在運(yùn)用一些概率中的性質(zhì)證明恒等式時(shí)，要能熟練地掌握這些性質(zhì)的特點(diǎn)、算法及意義，這樣才能有效地利用其對(duì)恒等式進(jìn)行證明。2 利用概率的方法證明不等式2.1 利用概率模型的構(gòu)造證明不等式 利用概率的方法證明不等式的基本做法是構(gòu)造概率模型把不等式中的量設(shè)為若干個(gè)相互獨(dú)立的事件的概率，這些事件的和事件僅是樣本空間的一個(gè)子集，這樣便有概率小于或等于1，從而得到一個(gè)不等式 例2.1.1 已知試證： 證：先把恒等式變形，兩邊同除以，得： ， ， 構(gòu)造概率模型如下：設(shè)有三個(gè)口袋，1號(hào)口袋中有個(gè)球，2號(hào)口袋中有個(gè)球，三號(hào)口袋中有個(gè)球，其中各袋中都有一個(gè)紅球現(xiàn)從每袋中各取一球，記，則，且相互獨(dú)立，則 由于, 則

14、式得證，原不等式得證 上例中通過(guò)構(gòu)造相互獨(dú)立的三個(gè)事件的概率模型，利用 的性質(zhì)，從而證明了不等式2.2 一些概率中的基礎(chǔ)理論與性質(zhì) 用概率論的方法證明不等式，除了適當(dāng)?shù)臉?gòu)造概率模型外，充分的利用各種性質(zhì)，如：概率分布函數(shù)、密度函數(shù)、凸函數(shù)、不等式，可以方便的解決一些不等式的證明問(wèn)題基礎(chǔ)的理論與性質(zhì)： 定義2.2.1 若連接內(nèi)任意兩點(diǎn)與的任意線段都含于，則稱為內(nèi)的凸區(qū)域 定義2.2.2 設(shè)實(shí)值函數(shù)定義于的凸區(qū)域內(nèi)，若對(duì)任意的 ，及，恒有： 則稱為內(nèi)的凸函數(shù)；反之，若將中的“”換為“”，則稱為內(nèi)的凸函數(shù) 引理2.2.1 設(shè)函數(shù) 在某區(qū)域內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù)，則 在此區(qū)間是下凸的；若，則函數(shù)在此區(qū)間是上凸的

15、 引理2.2.2 設(shè)為隨機(jī)變量，若 為連續(xù)下凸的函數(shù)，則有；若為連續(xù)上凸的函數(shù)，則 引理2.2.3 不等式 若，是一個(gè)二維隨機(jī)變量，又，則有 引理2.2.4 若是連續(xù)型隨機(jī)變量，為一元隨機(jī)變量，其概率密度為，則；若是離散型隨機(jī)變量，其分布為，則2.3 用一維隨機(jī)變量證明的不等式在2.2中一些基礎(chǔ)理論的運(yùn)用下，我們來(lái)證明一些不等式 例2.3.1 求證：設(shè)：，則 證：建立隨機(jī)模型，設(shè)隨機(jī)變量的分布為，對(duì)于至少有一個(gè)的情況，式顯然成立；對(duì)于所有的情形，定義函數(shù)，顯然為上凸函數(shù)，故由引理2.2.2，有,兩邊同時(shí)取為底的指數(shù)，即可得式，則原不等式得證 例2.3.2 求證：若與在上連續(xù)，則 證：設(shè)隨機(jī)變量

16、的概率分布為及其概率密度函數(shù)分別為 ， 則： 由引理2.2.3 將三式帶入上式，得 即有 原不等式得證 例2.3.3 設(shè)與為上的正值連續(xù)函數(shù)，則 證：設(shè)隨機(jī)變量的概率分布及其概率密度函數(shù)，如式 則 由于，是上的正值連續(xù)函數(shù)，所以，又由引理2.2.3知， 從而 則 原不等式得證 例2.3.4 求證：若為區(qū)間上的下凸函數(shù)，則對(duì)任意一組值有 證：對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)構(gòu)造一離散型隨機(jī)變量，其分布為 由引理2.2.4得 由于引理2.2.2得 原式得證 例2.3.5 證：若，均在上可積，且，則當(dāng)為上的下凸函數(shù)時(shí)， 證：構(gòu)造一連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 令，由引理2.2.4知 再由引理2.2.2知，當(dāng)為上的下

17、凸函數(shù)時(shí)，有 原式得證2.4 用二維隨機(jī)變量證明的不等式例2.4.1 設(shè)，則且等號(hào)成立的充要條件是 證：設(shè)二維離散型隨機(jī)變量、的聯(lián)合概率分布為 則、的邊際概率分布分別為 令 , 有 由引理2.2.3有且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) 即且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，不等式得證例2.4.2 設(shè) ， 為任意實(shí)數(shù)，則且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)或存在常數(shù)使 證：若均為，則等式顯然成立 若不全為時(shí)，設(shè)二維離散型隨機(jī)變量、的聯(lián)合概率分布為： 則、的邊際概率分布分別為 令 有 由引理2.2.3知且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，總之，所證的不等式等號(hào)成立的充要條件是或存在常數(shù)使 2.5小結(jié) 在以上用概率的方法證明不等式的4部分中，

18、講述到了用概率模型以及概率中的一些理論性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行證明，在這些基礎(chǔ)之上，除了運(yùn)用一維隨機(jī)變量對(duì)不等式進(jìn)行證明外，還可以運(yùn)用二維隨機(jī)變量對(duì)一些不等式進(jìn)行證明。依此可知，還可以運(yùn)用更高維的隨機(jī)變量對(duì)更復(fù)雜的不等式進(jìn)行證明。運(yùn)用多維隨進(jìn)變量證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ筒⑶液侠淼睦枚嗑S隨機(jī)變量的性質(zhì)，其構(gòu)造和使用都具有相當(dāng)?shù)碾y度。 參考文獻(xiàn)1魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)m.北京：等教育出版社，1994.2周概容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)m.北京：高等教育出版社，1984.3史威斯尼珂夫等.概率論解題指南m.上海：上?？萍即髮W(xué)出版社，1983.4李賢平，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)m.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2003.5陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)m.北京：科學(xué)出版社，2002.6趙選民