二階變系數(shù)齊次微分方程

1、 畢業(yè)論文 目二階變系數(shù)齊次線性微分方程的若干解法 院系濱江學院 專業(yè)一信息與計算科學 學生姓名XXX XX 學號xxxXX 指導教師XXX 職稱 教授 二0 二年五月二十日 目錄 摘要3 引言3 1、用常數(shù)變易法求解二階變系數(shù)齊次微分方程的解3 1.1已知方程的一個特解求通解3 2、化為恰當方程通過降階法求解二階變系數(shù)齊次微分方程的解 5 2.1求滿足定理1的恰當方程的通解5 2. 2求滿足泄理2的恰當方程的通解6 3、化為RICCAIT方程求二階變系數(shù)齊次線性微分方程的解6 3.1若方程系數(shù)滿足p(x = q(x)情況8 3. 2若方程系數(shù)滿足p(x) + q(x) = 一1情況9 3.

2、3若方程系數(shù)滿足p(x)-qM = l情況10 結束語11 參考文獻11 二階變系數(shù)齊次線性微分方程的若干解法 姓名 XX大學XX專業(yè)，南京210044 摘要：二階線性齊次微分方程無論是在微分方程理論上還是在應用上都占有重要位置.現(xiàn)在對于常系數(shù) 的線性微分方程的解法研究已經t匕較完備.但對于變系數(shù)線性微分方程如何求解,卻沒有通用的方法，因 此探求二階變系數(shù)微分方程的解法就很有必要。本文主要討論二階變系數(shù)齊次線性微分方程的解法問 題，通過利用常數(shù)變易法，和系數(shù)在滿足待走條件下，化為恰當方程和riccati方程來求解二階變系數(shù)齊 次微分方程的解法，直接通過具體例題解決具有滿足相同條件關漿的二階變系

3、數(shù)齊次微分方程的解.從而 進一步加深對二階變系數(shù)齊次線性微分方程的解法的理解. 關鍵詞：二階變系數(shù)齊次線性微分方程：常數(shù)變易法；降階法；恰當方程；riccati方程；通解； 弓|言:盡管由于計算數(shù)學和計算技術的迅猛發(fā)展，通過電子il算機可以迅速而且比較準確 地處理有關微分方程的求解問題。但是，在實際學習生活中對于一個常微分方程，不論從 理論研究的角度，或從實際應用的角度看，都具有I分重要的地位?，F(xiàn)在我們對于常系數(shù) 線性微分方程的解法，已非常完備，但是對于理論比較完整的、有廣泛應用的線性變系數(shù) 微分方程至今卻沒有一般的求解方法，因此二階變系數(shù)齊次微分方程的求解問題一直是人 們感興趣的研究課題。本

4、文對系數(shù)滿足特左條件的二階變系數(shù)微分方程，通過觀察其形 式，巧妙利用常數(shù)變易法，化為恰當方程，和化為riccati方程來求解。主要針對不同類型 的二階變系數(shù)方程用不同的方法實現(xiàn)解決部分滿足一左條件下的方程的解的目的。詣在通 過具體例題的解法，解決系數(shù)滿足特定條件下的二階變系數(shù)齊次線性微分方程求解的問 題，從而使我們能更進一步加深對二階變系數(shù)齊次微分方程解法的理解，以便適應在工程 技術的實際領域或學生在學習相關專業(yè)中的需要。 本文主要通過把方程轉化為我們所熟悉形式，來討論二階變系數(shù)齊次微分方程 y+p(x)y+g(x)y = O(1) 的解，其中p(x),q(x)是關于X的連續(xù)函數(shù)。 1、用常數(shù)

5、變易法求解二階變系數(shù)齊次微分方程的通解 1.1已知方程一個特解求方程通解 在我們課本上所學的關于求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程，我們可以通過特征方程 法求英線性無關的特解，然后再利用微分方程解的相關性質從而求得英通解,對于這個方法 我們已經很熟悉了。那對于二階變系數(shù)齊次線性微分方程求解怎么進行？因為二階變系數(shù) 線性微分方程由于英系數(shù)的變化不同，使用特征方程法就沒用，為此我們想到通過常數(shù)變易 法，來討論二階變系數(shù)齊次線性微分方程(1)的解，具體思路如下： 若已知？為方程(1)的一個特解，則知GV】(C為任意常數(shù))是方程(1)的一般解， 我們可以通過變易常數(shù)，設與方程的解”線性無關的解為y2 =c

6、(x)y.，其中 C(x)是待定的函數(shù)，將其代入方程(1)可以得到： (1.1 C x + (2片+ pyjc + c(y+ py + qy) = 0 已知yx為方程(i)的一個特解，化簡可以得到： c”x+(2y+pyJcJ0(1.2) 觀察此方程是一個可降階的微分方程，則令M = C可得： 利用變量分離 得：必+比型=。 U -10-/14 (1.3) y；2edxlx 一 2 X e (1.4) (1.5) 例1 若已知X是二階變系數(shù)齊次線性微分方程，一4砂+(4, _2)，= 0的一 個特解，求此二階變系數(shù)齊次微分方程的通解。 解：已知一個特解,利用(1.5)的結論，得另一個線性無關的

7、特解為: 所以原方程的通解為：y二(C| + C2%)e其中(CC?為任意常數(shù))。 例2 求解(x l)y”A/+y = 0,已知它的一個特解是求其通解。 解:vy, =x,利用常數(shù)變易法，得到所求通解為： (lx 一般的若已知二階齊次線性微分方程的一個特解(對某些方程我們可通過觀察法或分 析法快速確定)，然后利用常數(shù)變易法設另外一個特解，代入原方程后就可得到一個可降 階的微分方程，從而很簡便的求得二階變系數(shù)齊次微分方程的通解。 2、化為恰當方程通過降階法求解二階變系數(shù)齊次微分方程的通解 引入概念 如果二階變系數(shù)齊次微分方程滿足以下條件1和條件2中的系數(shù)p(x),q(x)所 限制的條件時，所能

8、得到的方程就稱之為恰當方程。 如何化為化為恰當方程通過降階法求解方程通解？我們的思路就是觀察二階變系數(shù)齊 次線性微分方程的系數(shù)，把系數(shù)化成滿足恰當方程的系數(shù)形式，然后將轉化后的的系數(shù)形 式帶入方程，然后利用變量代換，通過降階法，把方程變?yōu)槲覀兯煜さ囊浑A方程積分求 得方程的通解。 2.1 求滿足條件1的恰當方程的通解 條件1二階變系數(shù)線性常微分方程(1),對于系數(shù)pg,q(Q 若滿足 9 f p(x)=F(x)+WM q(x)=Fx)W(x)FM (2.1.1) 英中函數(shù)F(x), F ,W(x)都是連續(xù)函數(shù)，則把此類方程為恰當方程。 例1求方程y-4與+ (4x2 - 2)y = 0的通解

9、解：令 F(x) = -2x,W(x) = -2x,則 Fx) + W(x)F(x) = 4x2-2 系數(shù)滿足定理1的條件則是恰當方程。將英帶入方程(1)就可以得到 y+ (F(x) 一 W(x)y9+ (Fx)+W(x)F(x)y = 0 (2.1.2) 將上式通過變形得： y+ F(x)刃+ W(x)y + F(X)y = 0 基于換元法，令 w = y+F(x)y u+W(x)u =0 解上面的方程(2. 1. 5)就得到： -w(x)dxC w(x)dx _, u = e | r Jx + qJ (2. 1.6) 把式(2. 1. 6)代入式(2.1.4)得 y+ F(x)y = eJ

10、dx + cj 解得： F(x)dx t f -flV(x)rf.rr f w(x)dx f n fF(.r)dv f、 y = e J I e J Idx + ce ax + c2) 即得方程的通解為： y =只皿 J皿劃丿妝+ cM + c2(2.1.8) (其中Ge?是任意的常數(shù)。) 所以原方程的解為： J【F +CW+C2 即： y = -e2x +-c.exlx2 +c.exx(2.1.9) 42- (2.1.3) (2.1.4)則有: (2. 1. 5) 2. 2求滿足條件2的恰當方程的通解 (2.2.1) 條件2二階變系數(shù)線性常微分方程(1)，對于系數(shù)pxqx)若滿足 其中FxW

11、(x)為一階導數(shù)連續(xù)的函數(shù)，則把此類方程稱為恰當方程。 2 ? 例2求方程yj(l + _)y4_y = 0的通解 X X 解：令 F(x) = xW(x) = x2,則可知： ,、Fx) + W(x) 2x + x2 2 ,/、 W x) 2x 2 p(x) =,=一 + 1, q(x) = 一 =- F(x)x2 xF(x) x2 x 系數(shù)p(x),q(x)滿足條件(2.2.1)，將苴代入方程(1)便得： F(x)y+ (F9(x) + W(x)y9+ W x)y = 0 將上式兩端減掉0整理便得到： (2. 2. 2) (F(x)V+W(x)y Q) = 0 于是進一步便得到：F(x)y

12、+ +W(x)y-Q = JQ+q (2.2.3) 解得: (其中CC?為任意常數(shù)。) 若方程滿足條件2中的條件，且Q(x) = 0, F(x) = W(x) 則方程(1)有通解為： exdx + c2其中0, C?為任意常。 (2.2.4) 其中C, C?為任意常數(shù)。 根據(jù)通解公式得出所求原方程的解為: (225) 將二階變系數(shù)齊次線性微分方程化為恰當方程，通過觀察系數(shù)之間的關系代入方程，利 用變量代換法將方程降階來求解通解問題，使得問題變得簡單可行，這個方法對于滿足條 件的二階變系數(shù)齊次方程適用性強，但是不具普遍性，而且對于相對復雜的系數(shù)我們也難 一眼看出它們之間的關系，這對我們解決問題具

13、有一宦的局限性。 3、將二階變系數(shù)微分方程化為riccati方程求解 將二階變系數(shù)齊次線形微分方程化為riccati方程，主要是利用原有的riccati方程方 程的通解結論，將方程通過換元法化為riccati方程，然后得出相關的結論，進而再求出 通解，思路比較簡單。 引入以下幾個結論： 法國數(shù)學家劉維爾在(1841年)證明了著名的riccati方程 y= PMy2+q(x)y + r(x) 一般來說不可積，文4-5均給出待立函數(shù)滿足泄理條件時方程的通積分。 引理!若系數(shù)滿足（舄，貝Ti方程可積且其通積分為 g(x) c-j p(x)e 若系數(shù)滿足卩（X） 3.1若方程系數(shù)滿足p x） = q（

14、x）的情況 例1 求方程= 0的通解 X JT 解：基于換元法 令y =-“（x）y,則）=一（x）y-r心）y將y和）代入原方程（其中 uM是新的未知函數(shù)） 即： -m x)y + ir(x)y - u(x)y - y = 0 xx 經過化簡可得:v(-w(X)+ u2(x)一-u(x)一丄)=0(3.1.1) XJT y = 0很顯然是方程(1.1)的解。 . 1 1 所以可知:-(x) + (x)w(x)=0 Xf . 1 1 , 則：u (x) = ir(x)w(x)- 是關于m (兀)的riccati方程。(31. 2) x對 可知p(x) = - , q(x)= 一丄因為p(x)

15、= q(x),即(一p(x) = -q(x)滿足上而的引理 XX （X）的條件。 所以關于()的riccati方程的通積分為: (C為任意常數(shù))。 (3 1. 3) 數(shù)。 解得: (3. 1.5) 寸丄tZr |ef丄厶 + dx)y =-(片+ p(x)dv 妝% 4 q -e x dx (3.1.4) y = c2 exp(-j (lx)= qc2 c2x x r (苴中CC?為任意常 e-dx 尸字(一+ q - e x dx (其中c C2為任意常數(shù)。)o 當C2=0時，y = 0o所以原方程的通解為: (其中C, c?為任意 常數(shù))。 (3. 1.6) 3. 2 若方程系數(shù)滿足p(x

16、) + q(x) = -1的情況 例2求方程(丄+ 2)才一(丄+ 3)y = 0的通解 xx 解：基于換元法 y = -exux)y,則 y = -exu *(x)y-exu(x)y-exu(x)y 將 y 和 y 代 入原方程(其中“(x)是新的未知函數(shù)), 化簡可得： y -exu(x) + e2xu2(x)一(ex +e + 2)w(x) + (+ 3) =0 xx (3.2.1) 很顯然y = 0方程（2.1）的解。 -exu (x)+e2xu2(x)(ex +e + 2)m(x) + ( + 3) = 0 xx 1(丄+ 3) u(x) = exu2 (x)-(1 + (- + 2

17、)w(x) + 丄=0 xex (3.2.2) 是一個關于（兀）的riccati方程。 因為p(x) + g(x) = l,所以方程(3. 2. 2)可化為 i(丄+ 3) U (X)= “2(x) (_ + 3)“(x)+ xex (323) 因為 QM =e即上述方程滿足引理2的條件, 所以關于“（X）的riccati方程的通積分 為: （3 由此可得: 1 exdx 其中q為任意常數(shù)。 ） %_1 “ dx J Qdx X exerdx -hi )y (3.2.5) 解得: 丄+ 1 X dx 1 c、- f 冷 ex 1 dx )dx y = c2 expjv( (3.2.6) 當q=

18、0時，y = 0,所以原方程的通解為 (3.2.7) 4 -+1 X dx 1 S-J 任 意 )dx = c2(c -(x-2x) 常 y = c? expj_，( 3.3若方程系數(shù)滿足p(x)-g(x) = l情況 例3 求方程yu+ (3一-)yf+ (2一 -)y = 0的通解 xx 解：基于換元法，令 y = exu(x)y,則 y =exii(x)y-exu(x)y + exu(x)y 將 y 和y代入原方程（其中譏X）是新的未知函數(shù)）， 化簡可得： y 不 （x）一廠叫2（力一（八一嚴（3-丄）“（x） + （2-丄）=0 XX (3.3.1) 顯然y = 0方程（1.1.1）的

19、解。而 exu(x) 一 e2xu2(x) 一 (嚴 一 eTx (3 一 丄”心)+(2-丄)=0 xx (3.3.2) 1(2-丄) Il (x) = -eu2(x) + (1-(3-)w(x) + 丄=0 xe -X (3.33) 是一個關于（兀）的riccati方程。 因為p（x）-q（x） = ,所以方程（333）可化為: .1(2-丄) u (x) = -exir (x) _ (2 _ )h(x) + xex (3.3.4) 因為 嚴，即上述方程滿足引理2的條件，所以關于（Q的riccati方程的 通積分為: ej2-q(x)dx 一於（其中C|為任 dx 意常數(shù)。 （3. 3.5

20、） 由此得解得: 宀*當一。時, 所以原方程的通解為: y = c2 exp(J ex)dx) = c2( 屮（“葉宀）（其中 (3. 3.6) 這種方法要求系數(shù)在滿足特定條件下，采用換元法進行運算，要求我們對系數(shù)關系有很 好的把握，主要是利用已有結論求通解，方法簡單明了，但是對于如何化為riccati方程 是解決此類題目的關鍵，這并不適用于每一個方程的求通解問題，但是這種方法能使我們 對于二階變系數(shù)齊次線性微分的解法有了更深刻的理解。 四、結束語 本文主要討論二階變系數(shù)齊次線性微分方程的若I解法，求解在方程滿足特定條件 下，巧妙地求解二階變系數(shù)齊次微分方程的通解。主要是通過常數(shù)變易法，化為恰

21、當方程 通過降階法，以及把二階變系數(shù)齊次線性微分方程轉為riccati方程求解，使得變系數(shù)齊次 微分方程的解法變得有效可行。這幾種方法的使用，需要我們能夠準確把握題目中暗含的 條件，從而對應的找到相應解決辦法，然后轉化為我們熟悉的方程形式來求解方程的解， 使得二階變系數(shù)齊次微分方程解法變得更容易理解。本文提供的及幾種方法雖然可以解決 不少二階變系數(shù)齊次微分方程，但卻不具普適性，對于很多的二階變系數(shù)方程的解法仍具 有一定的局限性，仍需要大家今后不斷在這一課題上努力研究。在本文實際解題過程中也 利用了解決方程問題常用的一些方法，常數(shù)變易法、換元法、降階法等讓我們對于這些方 法的研究有了更廣泛運用和

22、更深刻的理解，但還有很多的方法如初等函數(shù)法、枳分法、向 量法等，在此就不逐一討論了。 【參考文獻】 1 曹友娣，劉玉彬。一類二階變系數(shù)微分方程的解A.惠州學院學報（自然科學版） 2010 :6-30 2 楊萬順二階變系數(shù)線性常微分方程的求解M .濰坊學院學報,2011:10-61. 3 劉瓊一類二階變系數(shù)微分方程的解J.廣西右江民族師專學報,2002( 6): 18- 20 . 4 馮錄祥.類型R i ccati方程的積分J.石河子大學學報:自然科學版，1997( 4): 316-318. 5 龐建華R iccati方程的一些新的可積條件J.廣西工學院學報,2008( 2) : 89- 92

23、. 6 顧建吾，張亭.二階變系數(shù)線性微分方程求解的幾點硏究A.南通職業(yè)大學學報, 2010( 2): 60- 07 . 7 李姝菲，趙明二階線性微分方程解的討論J.吉林師范學院學報,1998( 1): 21- 24 . 8 王瑋.二階變系數(shù)線性微分方程的解J.焦作大學學報:綜合版,1996( 6): 27- 29 . 9 李永利桑改蓮一類二階變系數(shù)齊次微分方程通解的求法卩卜高等數(shù)學研究2006,9 10 袁相碗，徐洪義,包雪松,常微分方程M.南京：南京大學出版社.1994. 11 王高雄常微分方程M.北京:高等教育出版社 several solutions for the Second ord

24、er variable coefficient and homogeneous linear of differential equation FengXin Nanjing information engineering university institute of binjiang information and computer science major, nanjing 210044 Abstract； the second order and homogeneous linear differential equation whether in theory or in the

25、application of differential equation are ail important place. Now for a linear differential equation with constant coetTicients of studies have relatively complete solutions. But for variable coefficient linear differential equation how to solve, but there is no universal way, so to search for second order variable coefficient of the differential -10-/14 equation solution is very necessary. This paper mainly discusses the second order