熱力學(xué)答案講解

1、熱力學(xué) ?統(tǒng)計物理復(fù)習(xí)材料答案一、填空題：1. 熱力學(xué)中所特有的狀態(tài)參量為 溫度 ，它是實現(xiàn)兩系統(tǒng)達(dá)到熱平 衡的充分且必要條件。2. 整個系統(tǒng)在物理、化學(xué)性質(zhì)上都均勻一致的系統(tǒng)稱為 均勻系統(tǒng) 。3. 熱力學(xué)第一定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式是為 dU=dQ+dW 。 4熱力學(xué)第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式是 dS dQ 。T5. 體系由液體和飽和蒸汽組成，此系統(tǒng)包含 二 相。6當(dāng)獨立變量為 S、p 時，特性函數(shù)是H 7. 一個孤立系統(tǒng)有 相和 相，若系統(tǒng)已達(dá)到熱平衡和力學(xué)平衡，但 相物質(zhì)遷移到 相，則化學(xué)勢滿足關(guān)系 相化學(xué)勢大于 相化學(xué)勢（ ） 8一個系統(tǒng)在壓強(qiáng)和溫度不變的情況下， 為了判別此系統(tǒng)是否已達(dá)到平衡態(tài)，

2、可采用的判據(jù)為G（吉普斯函數(shù)）。9.判斷一個孤立系統(tǒng)是否已達(dá)到平衡態(tài)，可采用的判據(jù)為S（熵） 。10一個系統(tǒng)在體積和溫度不變的情況下，為了判別此系統(tǒng)是否已達(dá)到平衡態(tài)， 可采用的判據(jù)為 自由能 。 11固相、液相之間的轉(zhuǎn)變?yōu)?一級相變。12氣液在臨界點的轉(zhuǎn)變?yōu)?二 級相變。13體系由三種氣體按任意比例混合而成，該系統(tǒng)的獨立強(qiáng)度參量數(shù)目為4 。14. 根據(jù)吉布斯相律， 3 元二相系的自由度為 3 。15. 一級相變的克拉珀龍方程的表達(dá)式為dp L dT T(v v )16. 對于費米系統(tǒng)，給定分布 al 對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為l! al!( l al )!17. 對于玻色系統(tǒng)，給定分布 al 對應(yīng)的微

3、觀狀態(tài)數(shù)為( lal1)!l al !( l 1)!18. 對于玻爾茲曼系統(tǒng)， 給定分布 al 對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為M.B.N!ll all19. 等概率原理的內(nèi)容是 對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)， 系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài) 出現(xiàn)的概率都是相等的。20. 兩個全同粒子分布在相同能級的三個不同狀態(tài) a、b 和 c 中，一個粒子處在 狀態(tài) a，一個粒子處在狀態(tài) b，如果它們是費米粒子，則這一分布出現(xiàn)的概率是 1/3 。21兩個全同粒子分布在相同能級的三個不同狀態(tài) a、b 和 c 中，一個粒子處在 狀態(tài) a，一個粒子處在狀態(tài) b，如果它們是玻耳茲曼粒子(即經(jīng)典粒子) ，則這一 分布出現(xiàn)的概率是 1/9 。

4、22. 兩個全同粒子分布在相同能級的三個不同狀態(tài) a、b 和 c 中，一個粒子處在 狀態(tài) a，一個粒子處在狀態(tài) b，如果它們是玻色子，則這一分布出現(xiàn)的概率是 1/6 。23. 玻爾茲曼系統(tǒng)的最概然分布的形式是 all e l24. 玻色系統(tǒng)的最概然分布的形式是 al e l 125. 費米系統(tǒng)的最概然分布的形式是lallel1。a25. 當(dāng)滿足 e 1或者 l 1 條件時，玻色分布和費米分布趨向于玻爾茲曼分l布。26. 粒子遵從玻爾茲曼分布，能量表達(dá)式為1 (px2 py2 pz2) ax2 bx c，其中2ma、b、c 為常數(shù)，則粒子的平均能量為 2KT b c4a27. 利用能量均分定理求

5、空窖內(nèi)輻射場中具有一定波矢 k 和一定偏振的單色平面波的平均能量是 KT 。28. 平衡狀態(tài)下光子氣體的化學(xué)勢 等于 0 。29. 系綜的概念是指由大量結(jié)構(gòu)完全相同、 處于給定的相同宏觀條件下彼此獨立 的假想系統(tǒng)的集合，其中每一個系綜都與實際討論的真實系統(tǒng)有相同的哈密頓， 但有不同的微觀狀態(tài)，這種系統(tǒng)的集合叫統(tǒng)計系綜 。30. 玻色愛因斯坦凝聚是粒子在 動量 空間的凝聚。31. 對一個有 N 個分子組成的某經(jīng)典氣體系統(tǒng)， 空間中 一 個代表點表示系統(tǒng)在某一時刻的微觀運動狀態(tài)。32. 正則分布是具有確定的 N、T、V 宏觀條件的系統(tǒng)的分布函數(shù)。33. 巨正則分布是具有 確定的 T、V 、宏觀條件

6、的系統(tǒng)的分布函數(shù)。34. 微正則分布是具有 確定的 N、E、V宏觀條件的系統(tǒng)的分布函數(shù)。二、證明題1根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線不能相交 . 證明：假設(shè)兩條絕熱線可以相交 , 如圖, 可由這兩條絕熱線與一等溫線構(gòu)成一個循 環(huán).可令一可逆熱機(jī)以該循環(huán)工作 ,即:由初態(tài) a 出發(fā)經(jīng)歷等溫膨脹過程到達(dá) b,在此 過程中熱機(jī)從熱源吸熱且對外界作功 ,再由 b 經(jīng)歷絕熱膨脹過程到達(dá) c, 在此過 程中熱機(jī)對外界作功 ,最后,由 c 經(jīng)歷絕熱壓縮過程返回初態(tài) a.在整個循環(huán)中 ,熱 機(jī)從單一熱源吸熱使之完全變成有用功 （ 由三條線圍成的封閉圖形之面積 ）而不 引起其它變化 , 這就違背了開氏說法 .若

7、開氏說法正確 , 則兩條絕熱線不能相交 .2試證明在相同的壓強(qiáng)降落下，氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹中的溫度降落大于在節(jié) 流過程中的溫度降落。TPS和TPH描述。( p )S (Tp)HpH證明： 氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱膨脹過程和節(jié)流過程中的溫度降落分別由偏導(dǎo)數(shù)令 T Tp,H(p,S)TT T H1( T)S ( T)H ( T )p( H )S1 V 0p p H p C p絕熱膨脹制冷效果更好。3. 有兩個相同的物體，熱容量為常數(shù)，初始溫度同為 Ti 。今令一制冷機(jī)在此兩 物體之間工作， 使其中一個物體的溫度降到 T2 為止。假設(shè)物體維持在定壓下， 并 且不發(fā)生相變。試根據(jù)熵增加原理證明，此過程所需要的

8、最小功為Ti2W最小 Cp( i T2 2Ti )。T2證明：經(jīng)過一工作循環(huán)，一物體 從初 始溫度 為 T1 降為 T2，放出 的熱 量值和 熵變分別為：Q放CP (T1 T2)S1CP l nT2T(T21)另一物體從初始溫度為 T1 升為 T3(T3 為未知量)吸收的熱量值和熵變分別 為： Q吸 CP(T3 T1)S2CP ln(T3 )T1熱機(jī)工作物質(zhì)恢復(fù)原狀，熵變?yōu)?0。 根據(jù)熱力學(xué)第一定律有： W Q吸 Q放 CP (T3 T2 2T1)根據(jù)熱力學(xué)第二定律有： S1 S2 0CP ln( T2T23 ) 0T2T3T121T3 T1所以此過程所需的最小功為：2T12Wmin CP(T

9、2 2T1)4. 求證 Un T ,VT V ,n證明： 自由能 F UTS是以T ,V , n為自變量的特性函數(shù)，求 F 對n的偏導(dǎo)數(shù)，有F U T S n T ,V n T,V n T,V但自由能的全微分 dF Sdt pdV - dn1）可得F n T,VTSn T,VTV2）,n代入（ 1），即有n T,V - =-TT V,nNxNN!Nx! N 1 x所以混合熵 S k ln klnN! k ln N! ln( Nx)! ln N 1 x !當(dāng)N 很大時，利用公式 lnm! mlnm 1,得S k N ln N 1 Nx ln Nx 1 N 1 x ln N Nx 1 Nk xln

10、 x 1 x ln 1 x證畢6. 試根據(jù)公式 P al L 證明，對于非相對論粒子 l V 3V l 3 V式中 Ual l 是系統(tǒng)的內(nèi)能。Vnx ny nz ，( nx,ny,nz 0, 1, 2, )有 P 3VP2xyz2m 2m L上述結(jié)論對于玻爾茲曼分布，玻色分布和費米分布都成立。證明： 處在邊長為 L 的立方體中，非相對論粒子的能量本征值為P2nx,ny ,nz2m 2m L nx ny nz ( nx,ny ,nz 0, 1, 2, )1）為書寫簡便，我們將上式簡記為 aV 32）2m個量子數(shù)。由（ 2）式可得L 2 aV 3 2 l （ 3）V 3 3 V2 2U代入壓強(qiáng)公式

11、，有 Pal Lal l （ 4）其中 V=L U 僅指平動內(nèi)能。是系統(tǒng)的體積，常量 a （2 ） nxl上述證明未涉及分布的具體表達(dá)式， 因此上述結(jié)論對于玻爾茲曼分布， 玻色分布和費米分布 都成立。注：（ 4）式只適用于粒子僅有平移運動的情形。如果粒子還有其他的自由度，式（4）中的 ny2 nz2 ，并以單一指標(biāo) l 代表 nx,ny,nz7. 氣柱的高度為 H，截面為 S，處在重力場中，試證明此氣柱的內(nèi)能為NmgHU U 0 NKT mgH (e KT 1)pz2 mgz1)證明： 為明確起見，假設(shè)氣體是單原子分子理想氣體。在重力場中分子的能量為 1 2 2px py2m粒子的配分函數(shù)為1

12、 1(px2 py2 pz2) mgZ1 h13e12mzdxdydzdPX dPY dPZ1 2 m 32h13 (2 m) 2 dxdy 0H 1mgz12 m 3211mgHe1mgzdzh3( ) 2 Amg(1e1mgH)2)其中 Adxdy 是氣柱的截面積。氣柱的內(nèi)能為3U Nln Z1NKT NKT12NmgHUmgHU 0(e KT 1)NKTNmgH(e mgH 1)3)3式中 U0NK T28. 氣體以恒定的速度沿 Z 方向作整體運動。試證明，在平衡狀態(tài)下分子動量的2m PX 2 PY2 (PZ P0)2 V最概然分布為 e 2m3 dPX dPY dPZh 證明：氣體是非

13、定域系統(tǒng)，由于滿足經(jīng)典極限條件而遵從玻爾茲曼分布。與分布 a 相 lal應(yīng)的氣體的微觀狀態(tài)數(shù)為 l l (1)al!l其對數(shù)為 lnal ln llnal!al ln lal (ln al 1) (2)l l l l在氣體沿 Z 方向作整體運動的情形下，分布必須滿足下述條件：al N ;lal l E ;l-al PlZ PZ (3)l其中 PZ是氣體在 Z方向的總動量， PLZ 是處在能級 l的分子所具有的 Z方向動量。 氣體分子的最概然分布是在限制條件( 3)下，使 ln 為極大的分布。令各有 al 的變化aal， ln 將因而有變化 ln ln l al l限制條件( 3)要求;PlZ

14、alPZ0lal N ; l alE 0llln 1 N EPZ(ln all PlZ ) al 0l根據(jù)拉氏乘子法原理，每個 al 的系數(shù)都等于零，所以有l(wèi)n allPlZ 0l或 all e 1 s lZ (4)可以將式( 4)改寫成為動量的連續(xù)分布：在體積 V=L 3內(nèi)，在PX到PX+dPX，PY到 PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的動量范圍內(nèi)的分子數(shù)2 2 21( px2 py2 pz2 ) pZ V5)e 1 2m(px py pz) pZ hV3 dPX dPY dPZpx2 py2 (pz p0)2 V6)e 2m x y z 0 hV3 dPX dPYdPZ29. 鐵磁體中的

15、自旋波也是一種準(zhǔn)粒子 ,遵從玻色分布 , 色散關(guān)系是Ak2. 試證明在低溫下 , 這種準(zhǔn)粒子的激發(fā)所導(dǎo)致的熱容與 T3/2成正比 .證明 : 在體積 V 中 , 到 + d 的頻率范圍內(nèi)準(zhǔn)粒子的量子態(tài)數(shù)為4V 2 1/2g( )d 3 p dp B dh3,推導(dǎo)上式時 ,用到關(guān)系 p k.這里 B 為常數(shù).由于準(zhǔn)粒子數(shù)不守恒 ,玻色分布中的0. 系統(tǒng)的內(nèi)能為E 0me1g( )d B 0me1de1 e1,考慮到態(tài)密度在高頻時發(fā)散 , 需引入截止頻率m. 但在低溫下, 在積分中可令 m . 設(shè)x, 則有其中 ,C為常數(shù) .易得3/2dx T 5/2CT5/210. 證明：在正則分布中熵可表為S

16、 k s ln s 其中 s sZ1 e Es是系統(tǒng)處在證：S k(ln Z lnZ) 多粒子配分函數(shù) Z e EsZ 1s e Es(1)s態(tài)的概率EkeEklnZeE(2)由(1)知e Es Z sEs ln Z ln s; Es 1 ln Z ln s代至(2)得lnZ 1 lnZ ln s s1 ln Z 1 ln Z ss ln s ; ss于是S k lnZlnZkss ln s三推導(dǎo)題1證明任何一種具有兩個獨立參量 T，P 的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實驗測量的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)，根據(jù)下述積分求得lnV dT Tdp ，如果111, T 1 ，試求物態(tài)方程。T T P解： 體脹系數(shù)

17、 1 VV T p等溫壓縮系數(shù)1V以 T，P 為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為V V T,p其全微分為dV V dTTpVdp V dT V T dp pTdV dT T dpVT這是以 T，P 為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線積分，得lnV dT T dp1根據(jù)題設(shè) ， 若 1TTlnVT1dT 1pdp則有l(wèi)nV ln T C pPV=CT要確定常數(shù) C，需要進(jìn)一步的實驗數(shù)據(jù)。2. 均勻桿的溫度一端為 T1，另一端為 T2，試計算達(dá)到均勻溫度后的熵增。解：0第i 處的初溫為Ti T1lT2 T1 x設(shè)單位長度的定壓熱容量為 Cx，Cp l Cx總熵變T1SxT22 dQTiTT1 T22

18、CxdTT1 T2Cx lnCx lnx2TixTi2 2 lnTilS 0 Sxdxln T1 T22lnTiCxl lnT1 T2 l2Cx ln T1 T2 T1 x dx x 0 1 lT2Cx T ln y dyT1Cp lnT1 T2p y ln y y TT122T2 T1 xCplnT1 T2 T2 lnT2 T1 lnT1 1 ln 2 1T2 T13. 假設(shè)自由電子在二維平面上運動， 面密度為 n試求 0 K 時二維電子氣體的費 米能量、內(nèi)能和簡并壓解:考慮電子自旋有兩種取向后， 二維電子氣體在 + d的能量范圍內(nèi)電子的量子態(tài)數(shù)為4 L2D d 2 md h所以 0K 時電

19、子的最大能量由下式確定：h2 N4 m L2h24m內(nèi)能U04 L2h20md04 L2h2m 20 12N 4h2mLN 2 0 21N 2 0對于二維電子氣體， VL22L21m 2Lnx2 ny22x n 2211V2yn2121m 2 2 nx2 ny2所以 0K 時的簡并壓 p lallVL al lU1n 0l l VV24. 以 n 表晶體中磁性原予的密度設(shè)原了的總角動量量子數(shù)為 1在外磁場下， 原子磁矩可以有三個不同的取向，即平行、垂直、反平行于外磁場假設(shè)磁矩之 間的相互作用可以忽略試求在溫度為 T 時晶體的磁化強(qiáng)度 及其在弱場高溫 極限和強(qiáng)場低溫極限下的近似值依題意，原子具有

20、三個狀態(tài)，能量分別為 -B、 0、B。按玻爾茲曼分布，原 子處于這些態(tài)的幾率分別為 Ce B,C,Ce B, 其中 C為歸一化常數(shù)，由下式?jīng)Q定：Ce B C Ce B 1C 1/ e B 1 e B晶體的磁化強(qiáng)度E N Ce B 0 C Ce BN e B e B / e B 1 e BN e2 B 1 / e2 B e B 1弱場高溫極限下： B1此時e2 B 1 2 B,e B 1 B2 N 2E N 2 B / 3 B 3 N 2 B /3 2 N B3 kT 強(qiáng)場低溫極限下： B此時E N e2 B/ e2 B e B N e2 B /e2 B N- 玻爾茲曼定律。5試導(dǎo)出二維空間的普朗克公式。利用所得結(jié)果導(dǎo)出二維空間的斯特藩 解: 對二維氣體2dpdqhr2dxdydp x dp y考慮在面積 S 內(nèi)的狀態(tài)數(shù)：d2Sdpxdpyh2將其改寫為