三、對質(zhì)心的動能定理：相對質(zhì)心平動參考系的動能變化定理就稱為對質(zhì)心 ...

1、三、對質(zhì)心的動能定理：質(zhì)點(diǎn)組相對質(zhì)心平動參考系的動能變化定理就稱為對質(zhì)心的動能定理。質(zhì)心平動參考系一般來說不是慣性系，但是可以證明相對質(zhì)心的動能定理在形式上和上次課講到的慣性系中的動能定理一樣?，F(xiàn)在我們先來找出質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心的動能和相對定點(diǎn)的動能之間的關(guān)系，這兩者之間的關(guān)系就是柯尼希定理。1、 柯尼希定理：如圖所示：0-x、y、z是固定坐標(biāo)系即慣性系，是質(zhì)心平動坐標(biāo)系它不一定是慣性系，若作加速運(yùn)動就是非慣性系質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)相對兩個(gè)不同坐標(biāo)系的位矢的關(guān)系是： 將此關(guān)系式兩邊對t求一次導(dǎo)數(shù)，然后代入質(zhì)點(diǎn)組對定點(diǎn)o的動能表達(dá)式中去，則有： 我們在討論對質(zhì)心的動量矩定理時(shí)已經(jīng)推導(dǎo)過： 左式右邊中的第一

2、項(xiàng)是質(zhì)點(diǎn)組隨質(zhì)心一起平動時(shí)的動能，也就是質(zhì)點(diǎn)組全部質(zhì)量集中在質(zhì)心而運(yùn)動時(shí)的動能，所以就稱它為質(zhì)心動能。第二項(xiàng)是質(zhì)點(diǎn)組中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對于質(zhì)心運(yùn)動時(shí)的動能，對剛體來說只能是相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能。這個(gè)等式表明，質(zhì)點(diǎn)組對慣性系的動能t就等于它的質(zhì)心的動能加上相對于質(zhì)心的動能，這個(gè)關(guān)系就是著名的柯尼希定理。2、質(zhì)心動能定理：有了柯尼希定理，也就可以著手推出質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心的動能定理。上一次課我們已經(jīng)推出了質(zhì)點(diǎn)組對定點(diǎn)也就是慣性系的動能定理：和柯尼希定理：質(zhì)點(diǎn)組對定點(diǎn)o的動能。并考慮到質(zhì)點(diǎn)相對固定點(diǎn)的位矢與相對相對質(zhì)心的位矢之間的關(guān)系：，我們將這兩個(gè)關(guān)系式代到（1）式中去就可以得到： 這等式右邊的第一項(xiàng)應(yīng)等于零。

3、又根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理知 等式右邊的第三項(xiàng)和等式左邊的第一項(xiàng)就可抵消掉，于是上面的等式就可寫成： 就是質(zhì)點(diǎn)組相對質(zhì)心的動能，如果令它為t的話： 則上式又可簡單地寫成：，此等式表明了質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心的動能的微分就等于質(zhì)點(diǎn)組相對質(zhì)心位移時(shí)內(nèi)力和外力所作的元功之和。因此它就是質(zhì)點(diǎn)組對質(zhì)心的動能定理，在形式上它與相對固定點(diǎn)的動能定理完全相同。但是我們要注意：只有在質(zhì)心這個(gè)特殊的非慣性系中，質(zhì)點(diǎn)組的動能與功的關(guān)系在形式上才和慣性系中一樣，對于其他一般的非慣性系是不會有這樣的結(jié)論。不管對哪一個(gè)物理定理應(yīng)用時(shí)必須要注意到它的前提是什么，條件是什么，適用范圍是什么，不能隨意外推。對質(zhì)心動能定理它的適用范圍就是質(zhì)心平動

4、參考系，對一般的動點(diǎn)是不適用的。到這里為止，我們總共花了兩次課多一點(diǎn)的時(shí)間，把質(zhì)點(diǎn)組的三個(gè)基本定理講完了。最后就三個(gè)基本定理作個(gè)小結(jié)，然后再舉些具體例子來應(yīng)用它的求解。三定理小結(jié)：質(zhì)點(diǎn)組的三個(gè)定理與質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)基本定理有什么區(qū)別？1、質(zhì)點(diǎn)組的三個(gè)定理具有一個(gè)共同的特點(diǎn)，這個(gè)共同的特點(diǎn)是揭示了質(zhì)點(diǎn)組的整體動力學(xué)性質(zhì)。我們由前面對三個(gè)定理的推導(dǎo)過程可以看出，三個(gè)定理都是從質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程 出發(fā)，然后按質(zhì)點(diǎn)組的這一普通概念推出的。在推導(dǎo)過程中，并沒有什么新的假定加入，又加上質(zhì)點(diǎn)組本身沒有什么特殊的限定，所以它們具有普通性意義，它們不僅適用于剛體，也適用于連續(xù)介質(zhì)等各種不同的質(zhì)點(diǎn)組。另一方面要注意，它們

5、是不足以解決每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，這因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組的三個(gè)定理只說明了對質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)動與力的總體特征。動量定理只能給出三個(gè)標(biāo)量方程。動量矩定理的標(biāo)量方程也只有三個(gè)，動能定理是個(gè)標(biāo)量關(guān)系式，所以動能定理的方程只有一個(gè)，加起來總共只有七個(gè)方程。然而，我們知道描寫一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動需要3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，也就是說一個(gè)質(zhì)點(diǎn)有三個(gè)自由度。那么，2個(gè)質(zhì)點(diǎn)的自由度就是6個(gè)，3個(gè)質(zhì)點(diǎn)的自由度是9個(gè)，4個(gè)質(zhì)點(diǎn)的自由度是12個(gè)，質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)質(zhì)點(diǎn)越多自由度也就越多。要想解出每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，就需要建立與自由度數(shù)相等的獨(dú)立方程，即3個(gè)定理只有7個(gè)方程獨(dú)立的只有6個(gè)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)只有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)時(shí)，才可以用三個(gè)定理解出每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。除此之外光靠三個(gè)定

6、理是解不出來的，還得結(jié)合運(yùn)用其它關(guān)系。說三個(gè)定理是不足以解決每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動的。正是這種原因，好多書上都不講它的具體應(yīng)用，只是給出三個(gè)定理，其目的是為了講剛體服務(wù)的，把它們只是作為研究剛體力學(xué)的基礎(chǔ)。2、是剛體力學(xué)的基礎(chǔ)。雖然有些書上不講三個(gè)定理的具體應(yīng)用，但是我想在課堂上還是有必要講一下它的具體應(yīng)用，也就是說：如何應(yīng)用這三個(gè)定理來解題。3、如何解題：對比較簡單的質(zhì)點(diǎn)組動力學(xué)問題，我們可以直接應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)組的三個(gè)定理來求解。直接應(yīng)用三定理。但是大部分質(zhì)點(diǎn)組問題并不是這么簡單的，不可能只利用這三個(gè)定理就可直接求出，除了要用這三個(gè)定理之外，還得加上質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的約束關(guān)系和配合其他定理的應(yīng)用才能得到

7、解決。加約束關(guān)系，應(yīng)用其他定理：找約束關(guān)系是有技巧的，這種技巧是沒有統(tǒng)一的章法可循，只有通過多解題，多練習(xí)，才能熟能生巧。至于如何找約束關(guān)系下面會舉例說明。三個(gè)定理除了直接分別應(yīng)用之外，根據(jù)問題的需要也可聯(lián)合起來使用。三定理聯(lián)合使用：這種題目就屬綜合性題目，有時(shí)還得對個(gè)別的質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用f=ma來幫助求解。不管哪類問題在列方程的時(shí)候，方程的個(gè)數(shù)不能少于未知量的個(gè)數(shù)，少于未知量的個(gè)數(shù)，將解不出結(jié)果。這個(gè)道理我想大家都是知道的，在這里我只不過是提醒一下而已。舉例： 例1在光滑的水平面上，放有一個(gè)圓環(huán)，它的半徑為a，質(zhì)量為m。有一小蟲，質(zhì)量為m，在環(huán)上爬行，問小蟲和圓環(huán)中心的運(yùn)動軌跡如何？解：由題意我們可

8、以知道：由圓環(huán)和小蟲組成的系統(tǒng) 是有相對運(yùn)動的系統(tǒng)。在開始的時(shí)候，即t=0刻， 小蟲開始爬行。在小蟲沒有開始爬行的時(shí)候，系統(tǒng)是靜 止不動的，小蟲和圓環(huán)組成的系統(tǒng)在t=0時(shí)刻，它的質(zhì)心是靜止不動的，即質(zhì)心速度等于零：vc=0。題目告訴我們水平面是光滑的，這就等于告訴我們，圓環(huán)在水平面上不受摩擦作用。那么對圓環(huán)和小蟲組成的系統(tǒng)來說在水平方向還有沒有受到其他外力的作用呢？沒有。垂直水平面方向的力是一對平衡力，其合力為零，另外它與我們所研究的問題無關(guān)，我們也可以不考慮它在垂直方向上的受力情況。既然系統(tǒng)所受的外力之和等于零，那么由質(zhì)心運(yùn)動定理直接可以知道系統(tǒng)的質(zhì)心加速度是等于零的：。所以系統(tǒng)的質(zhì)心在空間

9、是固定不動的。由于質(zhì)心是固定的，我們只要把質(zhì)心作為固定坐標(biāo)原點(diǎn)，那么我們就比較容易找出小蟲和圓環(huán)中心的運(yùn)動軌跡。而這個(gè)運(yùn)動系統(tǒng)的質(zhì)心位置是很容易求得。根據(jù)質(zhì)心的定義可以知道，我們所研究的系統(tǒng)它的質(zhì)心必定在圓環(huán)中心與小蟲的連線上，假設(shè)系統(tǒng)的質(zhì)心c離圓環(huán)中心的距離為mc，根據(jù)質(zhì)心的定義可得：就等于：求環(huán)心到系統(tǒng)質(zhì)心c的距離時(shí)可以把圓環(huán)中心看作計(jì)算質(zhì)心的坐標(biāo)原點(diǎn)o，分子中m應(yīng)乘以0。m應(yīng)乘以圓環(huán)的半徑。由此結(jié)果可馬上得到小蟲離質(zhì)心c的距離 。所得到的兩個(gè)結(jié)果表明和都是常數(shù)，這就說明了小蟲和圓環(huán)在運(yùn)動過程中，小蟲和環(huán)心相對質(zhì)心c的距離始終保持不變。所以小蟲的運(yùn)動軌跡是如圖所示的以質(zhì)心c為圓心的一個(gè)圓形

10、軌道，其半徑就等于 。圓環(huán)中心的軌道也是以質(zhì)心c為圓心的一條圓形軌道。這個(gè)例子的求解說明了兩點(diǎn)：1.對有相對運(yùn)動的系統(tǒng)，應(yīng)該先求出質(zhì)心的運(yùn)動，然后就比較容易求出各部分的運(yùn)動情況。通過此題解得的結(jié)果還說明了：小蟲和圓環(huán)中心的運(yùn)動軌跡的形狀，與小蟲相對圓環(huán)的運(yùn)動速度無關(guān)。在上面的求解過程中根本沒有用到小蟲的相對速度這個(gè)條件，因此，不管小蟲相對圓環(huán)的運(yùn)動是勻速的還是不勻速的，甚至也可以是爬爬停停的，它們的運(yùn)動軌跡是一樣的，不會因?yàn)樾∠x的相對運(yùn)動情況的不同而發(fā)生變化。到這里我們對討論課中提出的一個(gè)問題，即：人從船的一端走到另一端，不管他走的方式怎么樣，人和船相對地面走過的距離好不好計(jì)算？這里仍然假設(shè)船

11、與水之間摩擦可以略去。這個(gè)問題與我們上面所舉的例子相似，現(xiàn)在我們自然很容易求解，不必像普通力學(xué)那樣一定要先假設(shè)人相對船作勻速運(yùn)動。然后再應(yīng)用動量守恒定律來求解。解：例2： 一條質(zhì)量比較小但具有彈性的繩子（質(zhì)量比較小就意味著繩子的質(zhì)量可以忽略不計(jì)），其兩端系有兩物體p和，質(zhì)量分別為m和，放在一光滑的水平面上，物體之間的距離等于繩子的固有長度，物體p沿著長度增加的方向受到打擊，給m一個(gè)沖量i，見左圖。求出繩子恢復(fù)其固有長度后兩個(gè)物體的速度。還問p能否追上？ 解：能夠追得上m。怎么知道的？通過求解可以得知。在這個(gè)例子中我們應(yīng)該取什么為研究對象？研究對象的選取，應(yīng)該要根據(jù)題意的要求，為使解題方便起見來

12、選取的。在這個(gè)例子中，題目要我們求的是m受到?jīng)_量i的作用以后，繩子恢復(fù)其原來的固有長度后兩物體m和的速度，而繩子沒有伸長時(shí)的長度就叫固有長度。只要m、的速度求出了，也就可以知道能否追上m。雖然題目要我們求的是m和的運(yùn)動速度，但是，如果我們分別取m和為研究對象，應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)來求解的話，必須要知道作用在m和上的所有力，而現(xiàn)在題意并沒有告訴我們彈性繩子對m和的作用力，這條路顯然是走不通的。如果我們?nèi)、和彈性繩子組成的系統(tǒng)作為研究對象，此研究對象就是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)組，那么對此質(zhì)點(diǎn)組來說，它所受的外力都是已知了。彈性力就屬系統(tǒng)的內(nèi)力，在應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)組動量定理或動量守恒時(shí)就不必考慮這些內(nèi)力，而根據(jù)題意告訴我們的條

13、件很明顯是要用到動量定理和動量守恒定律的。因此在這個(gè)例子中，我們應(yīng)取 +m+彈性繩子 作為研究系統(tǒng)。研究對象確定了，接下去第二步就是對研究對象進(jìn)行受力分析和運(yùn)動分析。根據(jù)題意給我們的條件，可知我們所研究的系統(tǒng)，除了m受到打擊的這一瞬間要受到一沖量i作用之外，在水平方向再也沒有受到其它外力的作用，而沖量是已知的、受力情況明確了。系統(tǒng)的運(yùn)動過程又是怎樣的呢？系統(tǒng)從受到一沖量作用到達(dá)繩子又重新恢復(fù)到原來固有長度時(shí)的整個(gè)過程中要經(jīng)歷兩個(gè)不同的階段。第一個(gè)階段就是：m受到?jīng)_量作用的階段，第二個(gè)階段是在m受打擊的過程結(jié)束后，繩子的長度要發(fā)生變化第二個(gè)階段指的是繩子從原來的固有長度又變化到固有長度的階段。因

14、為在第一階段打擊所經(jīng)歷的時(shí)間是很短的，可以認(rèn)為在短暫的打擊過程中m保持不動，打擊過程一結(jié)束，m獲得的速度我們就令它為v，此時(shí)認(rèn)為m仍然是靜止不動的，這樣假設(shè)可以嗎？當(dāng)然是可以的。所以第一階段繩子的長度并沒有變化。在第二階段里，由于m受打擊的過程結(jié)束后，m就以初速度v向前運(yùn)動，繩子就要被拉長，由于彈性繩子的拉長，m和都要受到彈性力的作用。其結(jié)果就會使得的速度由零逐漸增加，而m的速度卻是逐漸減少的，當(dāng)?shù)乃俣仍黾拥酱笥趍的速度是，繩子就開始往回縮向恢復(fù)到原來的固有長度方向進(jìn)行。第二個(gè)階段就是系統(tǒng)所經(jīng)歷的從彈性繩子的固有長度再變化到固有長度的階段。對研究系統(tǒng)的受力情況和所經(jīng)歷的過程都清楚了。那末我們根

15、據(jù)每個(gè)階段的特點(diǎn)就可列出它們的相應(yīng)方程，對第一階段我們根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組的動量原理可列出它的一條運(yùn)動方程為：m0 + mv 0 = i mv = i （1），在這里我們是取水平向右的方向?yàn)閤軸的正方向，i和v都是正的。由于在第二個(gè)階段系統(tǒng)在水平方向上沒有受到外力作用，其實(shí)在垂直于平面的方向上受到外力之和也是等于零的，所以對第二個(gè)階段完全可以應(yīng)用動量守恒定律列出它的一條運(yùn)動方程，為此我們令彈性繩子恢復(fù)到固有長度時(shí)，m的速度為v1, 的速度為v2，于是根據(jù)動量守恒定律，則有繩子恢復(fù)到固有長度時(shí)系統(tǒng)的總動量：（2）由此可見第一階段和第二階段并不是絕然無關(guān)的，而是由打擊結(jié)束后的速度v聯(lián)系起來的，方程中的速度v

16、、v1和v2都是未知量，三個(gè)未知量只有兩條方程，顯然是無法求解的，還得找出一條獨(dú)立方程，方可求解。由前面的分析我們已知第二個(gè)階段動量是守恒的。那么，第二階段的機(jī)械能是否守恒呢？系統(tǒng)的動量守恒并不等于它的機(jī)械能就一定守恒，這一點(diǎn)我們在前面講課的時(shí)候已經(jīng)強(qiáng)調(diào)過的。在實(shí)際問題中，機(jī)械能是否守恒，必須根據(jù)守恒條件來判斷。我們所研究的系統(tǒng)在受打擊后的過程中沒有受到外力作功，而內(nèi)力是彈性力，系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的。雖然題意沒有告訴我們與繩子彈性力相關(guān)的勢能，但是由于繩子在m受打擊后，繩子拉長又再恢復(fù)固有長度的這個(gè)過程中，彈性力所作的功等于零。所以在第二階段的初末狀態(tài)不存在彈性勢能之差，所以對系統(tǒng)我們可以寫出

17、它的機(jī)械能守恒關(guān)系式為：（3）三個(gè)方程三個(gè)未知，當(dāng)然就可以解出它們的結(jié)果： 能夠追上m，由上面的討論可見例2是一個(gè)定理和二個(gè)守恒定律綜合應(yīng)用的例子，下面再舉一個(gè)要連合用到約束關(guān)系和f=ma的例子。例3、如圖所示，有一質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)，沿傾角為a的光滑鍥子滑下，鍥子本身又可在光滑水平面上自由滑動。 求m1和鍥子它們各自在水平方向上的加速度a1=?,a2=? 解：這個(gè)例子要我們求的是質(zhì)點(diǎn)m1在水平方向的加速度，由于m1受到斜面的約束這個(gè)加速度與鍥子的運(yùn)動情況顯然是有關(guān)的，而所要求的鍥子在 水平方向的加速度a2其實(shí)就是鍥子的平動加速度，既然質(zhì)點(diǎn)與鍥子之間彼此有相對運(yùn)動，且它們之間的相互作用力也是未知的。這樣我們根據(jù)上面例1的解題經(jīng)驗(yàn)。可以取質(zhì)點(diǎn)m1和鍥子m2組成的系統(tǒng)作為研究對象，可以先考慮用質(zhì)心運(yùn)動定理，求出質(zhì)心運(yùn)動微分方程，然后再由質(zhì)心的運(yùn)動去找出系統(tǒng)各組成部分的運(yùn)動。至于質(zhì)心的運(yùn)動與它