高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)空間幾何體的表面積與體積_理_北師大版

1、8.2空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積 考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究挑戰(zhàn)高考挑戰(zhàn)高考 考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考 8.2 空空 間間 幾幾 何何 體體 的的 表表 面面 積積 與與 體體 積積 雙基研習(xí)雙基研習(xí)面對高考面對高考 柱、錐、臺與球的側(cè)面積和體積柱、錐、臺與球的側(cè)面積和體積 雙基研習(xí)雙基研習(xí)面對高考面對高考 2rh r2h rl (r1r2)l ch Sh 思考感悟思考感悟 對不規(guī)則的幾何體應(yīng)如何求體積？對不規(guī)則的幾何體應(yīng)如何求體積？ 提示：提示：對于求一些不規(guī)則的幾何體的體積常用割對于求一些不規(guī)則的幾何體的體積常用割 補(bǔ)的方法，轉(zhuǎn)化為已知體積公式的幾何體進(jìn)行解補(bǔ)的方法，轉(zhuǎn)

2、化為已知體積公式的幾何體進(jìn)行解 決決 1(教材習(xí)題改編教材習(xí)題改編)一個圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑一個圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑 為為3 cm，瓶里所裝的水深為，瓶里所裝的水深為8 cm，將一個鋼球完，將一個鋼球完 全浸入水中，瓶中水的高度上升到全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，則鋼球，則鋼球 的半徑為的半徑為() A1 cm B1.2 cm C1.5 cm D2 cm 答案：答案：C 答案：答案：B 3(2011年蚌埠質(zhì)檢年蚌埠質(zhì)檢)如圖，一個空間幾何體的主如圖，一個空間幾何體的主 視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形， 如果直角三角形的直

3、角邊長為如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體，那么這個幾何體 的表面積為的表面積為() 答案：答案：A 5(2009年高考上海卷年高考上海卷)若等腰直角三角形的直若等腰直角三角形的直 角邊長為角邊長為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋，則以一直角邊所在的直線為軸旋 轉(zhuǎn)一周所成的幾何體體積是轉(zhuǎn)一周所成的幾何體體積是_ 考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究挑戰(zhàn)高考挑戰(zhàn)高考 幾何體的表面積幾何體的表面積 求解有關(guān)多面體表面積的問題，關(guān)鍵是找到其特征求解有關(guān)多面體表面積的問題，關(guān)鍵是找到其特征 幾何圖形，如棱柱中的矩形，棱臺中的直角梯形，幾何圖形，如棱柱中的矩形，棱臺中的直角梯形， 棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高

4、與斜高、邊長棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長 等幾何元素間的橋梁，從而架起求側(cè)面積公式中的等幾何元素間的橋梁，從而架起求側(cè)面積公式中的 未知量與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系；求球的表未知量與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系；求球的表 面積關(guān)鍵是求其半徑；旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積就是它們側(cè)面積關(guān)鍵是求其半徑；旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積就是它們側(cè) 面展開圖的面積面展開圖的面積 【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖形特征，球心為三棱柱上、根據(jù)圖形特征，球心為三棱柱上、 下底面的中心連線的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形可求得球下底面的中心連線的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形可求得球 的半徑，代入公式可求得表面積的半徑，代入公式可求得表面積 【解析解析】

5、三棱柱如圖所示，三棱柱如圖所示， 【答案答案】B 【名師點(diǎn)評】【名師點(diǎn)評】求幾何體的表面積要抓住關(guān)鍵量，求幾何體的表面積要抓住關(guān)鍵量， 如多面體的高，底面邊長及幾何體特征，旋轉(zhuǎn)體的如多面體的高，底面邊長及幾何體特征，旋轉(zhuǎn)體的 高、底面半徑及幾何特征，球的半徑，同時注意整高、底面半徑及幾何特征，球的半徑，同時注意整 體思維的運(yùn)用，以減少計(jì)算量體思維的運(yùn)用，以減少計(jì)算量 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1(2009年高考海南、寧夏卷年高考海南、寧夏卷)一個棱一個棱 錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積(單位：單位：cm2) 為為() 解析：解析：選選A.由三視圖可知原棱錐為三棱錐，記由

6、三視圖可知原棱錐為三棱錐，記 為為P-ABC(如圖如圖)，且底面為直角三角形，頂點(diǎn)，且底面為直角三角形，頂點(diǎn)P 在底面的射影為底邊在底面的射影為底邊AC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， 幾何體的體積幾何體的體積 計(jì)算柱、錐、臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出計(jì)算柱、錐、臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出 相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的 截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面 問題求解問題求解 (2010年高考陜西卷年高考陜西卷)如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，PA平面平

7、面ABCD， APAB，BPBC2，E，F(xiàn)分別是分別是PB，PC的中的中 點(diǎn)點(diǎn) (1)證明：證明：EF平面平面PAD； (2)求三棱錐求三棱錐E-ABC的體積的體積V. 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2有一根木料，形狀為直三棱柱形，有一根木料，形狀為直三棱柱形， 高為高為6 cm，橫截面三角形的三邊長分別為，橫截面三角形的三邊長分別為3 cm、 4 cm、5 cm，將其削成一個圓柱形積木，求該木，將其削成一個圓柱形積木，求該木 料被削去部分體積的最小值料被削去部分體積的最小值 解：如圖所示，只有當(dāng)圓柱的底面圓為直三棱解：如圖所示，只有當(dāng)圓柱的底面圓為直三棱 柱的底面三角形的內(nèi)切圓時，圓柱的體積最大，柱的底面

8、三角形的內(nèi)切圓時，圓柱的體積最大， 削去部分體積才能最小，設(shè)此時圓柱的底面半削去部分體積才能最小，設(shè)此時圓柱的底面半 徑為徑為R，圓柱的高即為直三棱柱的高，圓柱的高即為直三棱柱的高 幾何體的折疊與展開幾何體的折疊與展開 幾何體的表面積，除球以外，都是利用展開圖求得幾何體的表面積，除球以外，都是利用展開圖求得 的，利用了空間問題平面化的思想把一個平面圖的，利用了空間問題平面化的思想把一個平面圖 形折疊成一個幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間形折疊成一個幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間 想象能力的常用方法，所以幾何體的展開與折疊是想象能力的常用方法，所以幾何體的展開與折疊是 高考的一個熱點(diǎn)高考的一個

9、熱點(diǎn) (1)有一根長為有一根長為3 cm、底面半徑為、底面半徑為1 cm的圓的圓 柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵圈，并使鐵 絲的兩個端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲絲的兩個端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲 的最短長度為多少？的最短長度為多少？ (2)把長、寬分別為把長、寬分別為4 cm和和3 cm的矩形卷成圓柱，的矩形卷成圓柱， 如何卷能使體積最大？如何卷能使體積最大？ 【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】把圓柱沿著鐵絲的兩個端點(diǎn)落在的把圓柱沿著鐵絲的兩個端點(diǎn)落在的 那條母線展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短那條母線展開，將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短

10、距離距離 【解解】(1)把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開， 在平面上得到矩形在平面上得到矩形ABCD(如圖如圖)，由題意知，由題意知BC 3 cm，AB4 cm，點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、分別是鐵絲的起、 止位置，故線段止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長的長度即為鐵絲的最短長 度度 【規(guī)律小結(jié)】【規(guī)律小結(jié)】幾何體的展開圖幾何體的展開圖 方法技巧方法技巧 1對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、 棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特 點(diǎn)與平面幾何知識來解決點(diǎn)與

11、平面幾何知識來解決(如例如例1) 2當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無 法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的 已知元素彼此離散時，我們可采用已知元素彼此離散時，我們可采用“割割”、“補(bǔ)補(bǔ)”的的 技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺柱、錐、臺)， 或化離散為集中，給解題提供便利或化離散為集中，給解題提供便利(如例如例2) 3有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計(jì)算，有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計(jì)算， 應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何

12、體中的直角三 角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素 失誤防范失誤防范 1面積、體積的計(jì)算中應(yīng)注意的問題面積、體積的計(jì)算中應(yīng)注意的問題 (1)柱、錐、臺體的側(cè)面積分別是某側(cè)面展開圖的柱、錐、臺體的側(cè)面積分別是某側(cè)面展開圖的 面積，因此，弄清側(cè)面展開圖的形狀及各線段的面積，因此，弄清側(cè)面展開圖的形狀及各線段的 位置關(guān)系，是求側(cè)面積及解決有關(guān)問題的關(guān)鍵位置關(guān)系，是求側(cè)面積及解決有關(guān)問題的關(guān)鍵 (2)計(jì)算柱、錐、臺體的體積關(guān)鍵是找到相應(yīng)的底計(jì)算柱、錐、臺體的體積關(guān)鍵是找到相應(yīng)的底 面積和高充分運(yùn)用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸面積和高充分運(yùn)用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸 截面，將空間問題

13、轉(zhuǎn)化成平面問題截面，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題 (3)球的有關(guān)問題，注意球半徑與截面圓半徑，球的有關(guān)問題，注意球半徑與截面圓半徑， 球心到截面距離構(gòu)成直角三角形球心到截面距離構(gòu)成直角三角形 (4)有關(guān)幾何體展開圖與平面圖形折成幾何體有關(guān)幾何體展開圖與平面圖形折成幾何體 問題，在解決的過程中注意按什么線作軸來展問題，在解決的過程中注意按什么線作軸來展 或折，還要堅(jiān)持被展或被折的平面，變換前、或折，還要堅(jiān)持被展或被折的平面，變換前、 后在該面內(nèi)的大小關(guān)系與位置關(guān)系不變在完后在該面內(nèi)的大小關(guān)系與位置關(guān)系不變在完 成展或折后，要注意條件的轉(zhuǎn)化對解題也很重成展或折后，要注意條件的轉(zhuǎn)化對解題也很重 要要 2

14、與球有關(guān)的組合體問題與球有關(guān)的組合體問題 與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外 接解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的接解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的 位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適 的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各 個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外 接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體 的體對角線長等于球的直徑球與旋轉(zhuǎn)體的組合，的體

15、對角線長等于球的直徑球與旋轉(zhuǎn)體的組合， 通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組 合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)切點(diǎn)”、 “接點(diǎn)接點(diǎn)”作出截面圖作出截面圖 考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考 空間幾何體的表面積、體積是高考的必考知識點(diǎn)空間幾何體的表面積、體積是高考的必考知識點(diǎn) 之一題型既有選擇題、填空題，又有解答題，之一題型既有選擇題、填空題，又有解答題， 難度為中、低檔客觀題主要考查由三視圖得出難度為中、低檔客觀題主要考查由三視圖得出 幾何體的直觀圖，求其表面積、體積或由幾何體幾何體的直觀圖，求其表面積、體

16、積或由幾何體 的表面積、體積得出某些量；主觀題考查比較全的表面積、體積得出某些量；主觀題考查比較全 面，其中一步往往設(shè)置為表面積、體積問題，無面，其中一步往往設(shè)置為表面積、體積問題，無 論是何種題型都考查學(xué)生的空間想象能力論是何種題型都考查學(xué)生的空間想象能力 預(yù)測預(yù)測2012年高考仍將以空間幾何體的表面積、年高考仍將以空間幾何體的表面積、 體積為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想體積為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想 象能力、運(yùn)算能力及邏輯推理能力象能力、運(yùn)算能力及邏輯推理能力 (本題滿分本題滿分12分分)(2010年高考課標(biāo)全國卷年高考課標(biāo)全國卷)如如 圖，已知四棱錐圖，已知四棱錐P-ABCD

17、的底面為等腰梯形，的底面為等腰梯形， ABCD，ACBD，垂足為，垂足為H，PH是四棱錐的是四棱錐的 高高 【解解】(1)證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)镻H是四棱錐是四棱錐P-ABCD的的 高，高， 所以所以ACPH.又又ACBD，PH、BD都在平面都在平面 PBD內(nèi)，且內(nèi)，且PHBDH， 所以所以AC平面平面PBD，又，又AC平面平面PAC， 故平面故平面PAC平面平面PBD.6分分 【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】(1)本題易失誤的是：不會轉(zhuǎn)化思本題易失誤的是：不會轉(zhuǎn)化思 想的應(yīng)用，一看到梯形就定向思維以致求不出底面想的應(yīng)用，一看到梯形就定向思維以致求不出底面 積；用錯錐體體積的計(jì)算公式積；用錯錐體體積的計(jì)算公式 (2)計(jì)算空間幾何體的體積時要注意：分析清楚空計(jì)算空間幾何體的體積時要注意：分析清楚空 間幾何體的結(jié)構(gòu)，搞清楚該幾何體的各個部分的構(gòu)間幾何體的結(jié)構(gòu)，搞清楚該幾何體的各個部分的構(gòu) 成特點(diǎn)；進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化和一些必要的等積變換，成特點(diǎn)；進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化和一些必要的等積變換， 如三棱錐的體積計(jì)算就可以通過如三棱錐的體積計(jì)算就可以通