職高數(shù)學(xué)_9.4.5__球

1、立體幾何 立體幾何 立 體 幾 何 立體幾何 9.4.5球球 下面的物體呈現(xiàn)什么形狀？下面的物體呈現(xiàn)什么形狀？ 當(dāng)當(dāng)半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的 曲面叫做球面球面所圍成的幾何體，叫做球體，簡曲面叫做球面球面所圍成的幾何體，叫做球體，簡 稱球稱球 一、球的結(jié)構(gòu)特征一、球的結(jié)構(gòu)特征 一、球的結(jié)構(gòu)特征一、球的結(jié)構(gòu)特征 O O 球心球心 半徑半徑 A B 1.球的定義：球的定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸， 半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱 球。球。 （1）半圓的半徑叫做

2、）半圓的半徑叫做球的半徑。球的半徑。 （2）半圓的圓心叫做）半圓的圓心叫做球心。球心。 （3）半圓的直徑叫做球的）半圓的直徑叫做球的直徑直徑。 (4)球面球面:半圓弧旋轉(zhuǎn)所半圓弧旋轉(zhuǎn)所 成的曲面成的曲面. 2. 球的元素球的元素 O 半徑半徑 球心球心 球面球面可以看作空間中與定點(diǎn)（球心）距離空間中與定點(diǎn)（球心）距離等于等于定長定長 （半徑）的點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合（軌跡）（半徑）的點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合（軌跡）； 同樣，球體球體也可以看作空間中與定點(diǎn)距離空間中與定點(diǎn)距離等于或小等于或小 于于定長的點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合定長的點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合 直徑直徑 球心；球心； 球的半徑；球的半徑； 球的直徑；球的

3、直徑； 3、球的表示：球的表示：用表示球心的字用表示球心的字 母表示母表示 如如球球O 一、球的結(jié)構(gòu)特征一、球的結(jié)構(gòu)特征 22 dRr 性質(zhì)性質(zhì)1:用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面 性質(zhì)性質(zhì)2:球心和截面圓心的連線垂直于截面；球心和截面圓心的連線垂直于截面； 4.球的球的性質(zhì)性質(zhì) 想一想想一想:用一個(gè)平面去截一用一個(gè)平面去截一 個(gè)球個(gè)球, 截面是什么圖形？截面是什么圖形？ 性質(zhì)性質(zhì)3:球心到截面的距離球心到截面的距離 d 與球的半徑與球的半徑 R, 有下面的關(guān)系有下面的關(guān)系: a O O dR r P 一、球的結(jié)構(gòu)特征一、球的結(jié)構(gòu)特征 （1）大圓）大圓 （2）小

4、圓）小圓 被不經(jīng)過球心的平面被不經(jīng)過球心的平面 截得的圓叫做截得的圓叫做小圓小圓 球面被經(jīng)過球心的平面球面被經(jīng)過球心的平面 截得的圓叫做截得的圓叫做大圓大圓 O R A B R 一、球的結(jié)構(gòu)特征一、球的結(jié)構(gòu)特征 5.球的截面球的截面 O 緯線 赤道 經(jīng)線 北極北極 南極南極 (2)經(jīng)度和緯度的規(guī)定：經(jīng)度和緯度的規(guī)定： (1) 經(jīng)線和緯線的規(guī)定：經(jīng)線和緯線的規(guī)定： 過南北極的半個(gè)大圓是經(jīng)線，平行于赤道的小圓是緯過南北極的半個(gè)大圓是經(jīng)線，平行于赤道的小圓是緯 線線 思考：思考：假如你要乘坐從濟(jì)南直飛廣州的飛機(jī)假如你要乘坐從濟(jì)南直飛廣州的飛機(jī),設(shè)想一下設(shè)想一下 ，它需要沿著怎樣的航線飛行呢？航程大約

5、是多少呢？，它需要沿著怎樣的航線飛行呢？航程大約是多少呢？ (3) 這無數(shù)條弧長哪條最短？這無數(shù)條弧長哪條最短？ (1) 濟(jì)南和廣州間的距離是一條線段的長嗎？濟(jì)南和廣州間的距離是一條線段的長嗎？ (2) 經(jīng)過球面上的這兩點(diǎn)有多少條弧呢？經(jīng)過球面上的這兩點(diǎn)有多少條弧呢？ 不是，是一段圓弧的長不是，是一段圓弧的長. 無數(shù)條無數(shù)條 球面距離 即球面上兩點(diǎn)間的最短距離， 是指經(jīng)過這兩點(diǎn)和球心的大圓的劣 弧的長度. 球心O A B 大圓圓弧 O A B 大圓劣弧的圓心角為弧 度，半徑為R，則弧長為 L=R O R A B R 球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓 在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，我們

6、把這個(gè)弧長叫做兩兩 點(diǎn)的球面距離點(diǎn)的球面距離 球面距離 練習(xí)：練習(xí)：已知地球的半徑為已知地球的半徑為R,R,在地球的赤道在地球的赤道 上經(jīng)度差為上經(jīng)度差為1201200 0的兩點(diǎn)間距離的兩點(diǎn)間距離. . o A B 答案： 3 2 120 0 Rd 3 2 球面距離為 例例1 我國首都北京靠近北緯我國首都北京靠近北緯 40 緯線上緯線上 ，求北緯，求北緯 40 緯線緯線 的長度約為多少？（地球半徑約的長度約為多少？（地球半徑約 6 370 km） O A K B 40 解：如圖，解：如圖，A 是北緯是北緯 40 圈上的一點(diǎn)，圈上的一點(diǎn)， AK 是它的半徑，所以是它的半徑，所以 OK AK A北

7、京北京 O K 設(shè)設(shè) c 是北緯是北緯 40 的緯線長，的緯線長， 因?yàn)橐驗(yàn)锳OB=OAK=40 ， 所以所以 c 2 AK 答：北緯答：北緯40 緯線長約為緯線長約為 30658 km. c30658（km）. 23.141663700.7660， 2 OAcos OAK 由計(jì)算器算得由計(jì)算器算得 40cos2OA O A K B 40 （1 1）半圓以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫球（）半圓以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫球（ ） （2 2）在空間，到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)）在空間，到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn) 的集合叫球的集合叫球 （ ） （ （3 3）球的小圓的圓心與球心的連線垂直于這個(gè)）

8、球的小圓的圓心與球心的連線垂直于這個(gè) 小圓所在平面小圓所在平面 （ ） （4 4）經(jīng)過球面上不同的兩點(diǎn)只能作一個(gè)大圓（）經(jīng)過球面上不同的兩點(diǎn)只能作一個(gè)大圓（ ） （5 5）球半徑是）球半徑是5 5，截面圓半徑為，截面圓半徑為3 3，則球心到，則球心到 截面圓所在平面的距離為截面圓所在平面的距離為4 4 （ ） 判斷正誤：判斷正誤： 球面面積等于大圓面積的四倍球面面積等于大圓面積的四倍 例例 2 已知：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，已知：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑， 求證求證:球球的表面積等于圓柱的側(cè)面積；的表面積等于圓柱的側(cè)面積； 由球的半徑由球的半徑 R 計(jì)算球表面積計(jì)算球表面積

9、S 的公式：的公式： S4 R2 二二.球的表面積球的表面積 例例2如如圖：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑。圖：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑。 求證：求證： R 證明：證明：設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為，則圓柱的底面半徑為R，高，高 為為2R， 球的表面積等于圓柱的側(cè)面積。球的表面積等于圓柱的側(cè)面積。 得得 2 球 R4S 2 S2R2R4R 圓圓柱柱側(cè)側(cè) 所以，所以， 圓柱側(cè)球 SS (1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼?2 2 倍，倍， 則半徑變?yōu)樵瓉淼膭t半徑變?yōu)樵瓉淼?倍倍. . (2)(2)若球半徑變?yōu)樵瓉淼娜羟虬霃阶優(yōu)樵瓉淼?2 2 倍，倍

10、， 則表面積變?yōu)樵瓉淼膭t表面積變?yōu)樵瓉淼?倍倍. . 2 4 注意：注意：影響球的表面積及體積的只有影響球的表面積及體積的只有 一個(gè)元素，就是球的半徑一個(gè)元素，就是球的半徑. . 1. 球面是指球面是指 ；球是指；球是指 2. 的平面截球面，所得截線是大圓；的平面截球面，所得截線是大圓； 的平面截球面，所得截線是小圓的平面截球面，所得截線是小圓 3. 球面的表面積是球面的表面積是 教材教材 P 151，練習(xí)練習(xí) A 組第組第 1 題題 練習(xí)練習(xí) B 組組 教材教材 P 151，練習(xí)練習(xí) A 組第組第 2 題題 必做題：必做題： 選做題：選做題： nn mile指海里，為長度單位。 海里：航空航海上度量距離的單位。沒有統(tǒng)一符號(hào)，中華人民共和 國法定計(jì)量單位所用的符號(hào)是n mile。它等于地球橢圓子午線上緯 度1分（一度等于六十分，一圓周為360度）所對(duì)應(yīng)的弧長。由于地球 子午圈是一個(gè)橢圓，它在不同緯度的曲率是不同的，因此，緯度1分 所對(duì)應(yīng)的弧長也是不相等的。1海里=子午線長度的兩倍 360601852.25-9.31cos（2）(m)。是緯度。當(dāng)=0度，即在 赤道上時(shí)，1n mile的長度最短，為1842.94m；在兩極最長（=90 度），為1