2018年甘肅省蘭州市高三一診數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）

1、2018屆甘肅省蘭州市高三一診數(shù)學(xué)（文）試題（解析版）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 設(shè)全集，集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ，所以 或，故選C.2. 已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（ ）A. 復(fù)數(shù)的實部為 B. 復(fù)數(shù)的虛部為C. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D. 復(fù)數(shù)的模為【答案】D【解析】的實部是，虛部是，共軛復(fù)數(shù)為，的的模是錯誤，故選D.3. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】數(shù)列為等比數(shù)列，本題選擇C選項.4. 若雙曲線的兩條漸近

2、線分別與拋物線的準(zhǔn)線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若的面積為，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】雙曲線的兩條漸近線方程是，又拋物線的準(zhǔn)線方程是，故A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是，又的面積為，本題選擇B選項.5. 已知圓：，直線：，則圓上任取一點(diǎn)到直線的距離大于的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)直線與直線之間的距離為，弧ACB和弧EFG上的點(diǎn)滿足題意，且：，由角度型幾何概型計算公式可得圓上任取一點(diǎn)到直線的距離大于的概率：.本題選擇B選項.點(diǎn)睛：解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍當(dāng)考察對象為點(diǎn)，點(diǎn)的活動范圍在線段上時，用線段長度

3、比計算；當(dāng)考察對象為線時，一般用角度比計算，即當(dāng)半徑一定時，由于弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比實際上是所對的弧長(曲線長)之比6. 已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】直線與直線平行，直線化為：.它們的距離為.本題選擇A選項.7. 某程序框圖如圖所示，則程序運(yùn)行后輸出的的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程，每四個和為，可得出該程序運(yùn)行后輸出的算式： + ，所以該程序運(yùn)行后輸出的值是，故選A.8. 劉徽九章算術(shù)注記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居

4、一，不易之率也”.意即把一長方體沿對角面一分為二，這相同的兩塊叫做塹堵，沿塹堵的一頂點(diǎn)與其相對的面的對角線剖開成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉臑，兩者體積之比為定值，這一結(jié)論今稱劉徽原理.如圖是一個陽馬的三視圖，則其外接球的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是底面為邊長為1的正方形，且一長為1的側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，如圖所示，可將其補(bǔ)形為棱長為1的正方體，則其外接球的表面積為正方體的外接球的表面積，顯然外接球半徑為，所以其外接球的表面積為本題選擇B選項.點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，

5、確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.9. 設(shè)：實數(shù)，滿足，：實數(shù)，滿足，則是的（ ）A. 充要條件 B. 充分不必要條件C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要的條件【答案】C【解析】由：實數(shù)，滿足，畫出可行域如圖中陰影部分所示，由p：表示圓心為半徑為的圓的內(nèi)部，觀察可得p是q的必要不充分條件.本題選擇C選項.10. 若等比數(shù)列的前項和為，其中，是常數(shù)，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】很明顯，否則為常數(shù)，只能是，與是

6、等比數(shù)列矛盾，時，時，；時，為等比數(shù)列，本題選擇D選項.11. 拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩動點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】.在中,由余弦定理得：，又.所以的最大值為.本題選擇A選項.點(diǎn)睛：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式12. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，不等式成立，若，則，之間的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】構(gòu)造函

7、數(shù)，則，當(dāng)時,不等式成立，當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是奇函數(shù)，在上是減函數(shù).而，.本題選擇C選項.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分. 13. 若，則_【答案】【解析】，故答案為.14. 已知樣本數(shù)據(jù)，的方差是，如果有 ，那么數(shù)據(jù)，的均方差為_【答案】4【解析】因為樣本數(shù)據(jù)，的方差是，且，所以，的方差為數(shù)據(jù)，的均方差為，故答案為.15. 設(shè)函數(shù) 向左平移個單位長度后得到的函數(shù)是一個奇函數(shù)，則_【答案】【解析】把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，可得的圖象，結(jié)合得到的函數(shù)為一個奇函數(shù)，則，因為令 可得，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性和圖象的變

8、換，屬于中檔題.已知的奇偶性求時，往往結(jié)合正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的奇偶性和誘導(dǎo)公式來解答：（1）時， 是奇函數(shù)；（2） 時， 是偶函數(shù).16. 若向量，且，則的最小值為_【答案】9【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以的最小值為9.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17. 已知向量，函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）當(dāng)時，的最小值為，求的值.【答案】（1）.（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積公式以及兩角和的正弦公式化簡，利用周期公式可得的最小正周期為

9、；（2）由（1）知：，當(dāng)時，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得到的最小值為，即.所以當(dāng)時，的最小值為.又的最小值為，即.試題解析：（1）由題意知： ，所以的最小正周期為.（2）由（1）知：，當(dāng)時，.所以當(dāng)時，的最小值為.又的最小值為，即.【方法點(diǎn)睛】以三角形和平面向量為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進(jìn)行考查是近幾年高考考查的一類熱點(diǎn)問題，一般難度不大，但綜合性較強(qiáng).解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導(dǎo)公式以及二倍角公一定要熟練掌握并靈活應(yīng)用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.18. 如圖所示，矩形中，平面，為上的點(diǎn)，且平面.（1

10、）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）由線面垂直的性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)可得，由線面垂直的性質(zhì)可得，則平面.（2）由題意可得，由三角形中位線的性質(zhì)可得.結(jié)合(1)的結(jié)論轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)可得 .試題解析：（1）因為面，所以，又，所以.因為面，所以.又，所以面，即平面.（2）因為，所以，又因為為中點(diǎn)，所以.因為面，所以面.所以 .19. 交管部門為宣傳新交規(guī)舉辦交通知識問答活動，隨機(jī)對該市歲的人群抽樣了人，回答問題統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示：分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第組第組第組第組第組（1）分別求出，的值；（2）從第，組回答正確的人中用分層抽樣方

11、法抽取人，則第，組每組應(yīng)各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，決定在所抽取的人中隨機(jī)抽取人頒發(fā)幸運(yùn)獎，求：所抽取的人中至少有一個第組的人的概率.【答案】（1）見解析.（2）人，人，人.（3）.【解析】試題分析：(1)由題意結(jié)合頻率分布表和頻率分布直方圖可得，.（2）由題意結(jié)合分層抽樣的概念可得第，組每組應(yīng)各依次抽取人，人，人.（3）記抽取的人中，第組的記為，第組的記為，第組的記為，列出所有可能的結(jié)果，結(jié)合古典概型計算公式可得所抽取的人中至少有一個第組的人的概率為.試題解析：（1）第組人數(shù)，所以，第組人數(shù)，所以，第組人數(shù)，所以，第組人數(shù)，所以，第組人數(shù)，所以.（2）第，組回答正確的人的比為，所以

12、第，組每組應(yīng)各依次抽取人，人，人.（3）記抽取的人中，第組的記為，第組的記為，第組的記為，則從名幸運(yùn)者中任取名的所有可能的情況有種，他們是：，.其中第組至少有人的情況有種，他們是：，.故所求概率為.20. 已知圓：，過且與圓相切的動圓圓心為.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，且，垂足為（，為不同的四個點(diǎn)）.設(shè)，證明：；求四邊形的面積的最小值.【答案】（1）.（2）見解析.【解析】試題分析：（1）設(shè)動圓半徑為，由于在圓內(nèi)，圓與圓內(nèi)切，由題意可得 ，則點(diǎn)的軌跡是橢圓，其方程為.（2）由題意可知，而，為不同的四個點(diǎn)，故.若或的斜率不存在，四邊形的面積

13、為.否則，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，同理得，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.則四邊形的面積取得最小值為.試題解析：（1）設(shè)動圓半徑為，由于在圓內(nèi)，圓與圓內(nèi)切，則， ，由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡是橢圓，的方程為.（2）證明：由已知條件可知，垂足在以為直徑的圓周上，則有，又因，為不同的四個點(diǎn)，.解：若或的斜率不存在，四邊形的面積為.若兩條直線的斜率存在，設(shè)的斜率為，則的方程為，解方程組，得 ，則，同理得， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.綜上所述，當(dāng)時，四邊形的面積取得最小值為.點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)

14、直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題21. 已知函數(shù) .（1）若圖象上處的切線的斜率為，求的極大值；（2）在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求的最小值.【答案】（1）見解析.（2）.【解析】試題分析：（1）由題意可得函數(shù)的解析式，則，故時，取極大值.（2）由題意可得在上恒成立，則 ，結(jié)合線性規(guī)劃的結(jié)論可得的最小值為.試題解析：（1），由題意得且，即，解之得，.，令得，列表可得+-+極大值極小值當(dāng)時，取極大值.（2）在上是減函數(shù)，在上恒成立， ，即，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，取最小值.（二）選考題：共10分.請考生在22、2

15、3題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評分.22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓心的直角坐標(biāo)；（2）由直線上的點(diǎn)向圓引切線，并切線長的最小值.【答案】（1）.（2）.【解析】試題分析：（1）利用兩角和的余弦公式展開解析式，兩邊同乘以利用 即可得圓的直角坐標(biāo)方程，從而可得圓心坐標(biāo)；（2）參數(shù)方程利用代入法消去參數(shù)可，得直線的普通方程為，可得圓心到直線距離是，于是直線上的點(diǎn)向圓引的切線長的最小值是.試題解析：（1），圓的直角坐標(biāo)方程為，即，圓心直角坐標(biāo)為.（2）方法1：直線上的點(diǎn)向圓引切線長