高中數(shù)學(xué) 第一章 解直角三角形 1.2 應(yīng)用舉例名師講義VIP

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2預(yù)習(xí)課本p1214，思考并完成以下問題 (1）方向角和方位角各是什么樣的角？ (2)怎樣測量物體的高度? (3)怎樣測量物體所在的角度? 實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示基線在測量中，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90）南偏西60(指以正南方向為始邊，轉(zhuǎn)向目標方向線形成的角方位角從正北的方向線按順時針到目標方向線所轉(zhuǎn)過的水平角1判斷下列命題是否正確（正確的打“

2、，錯誤的打“”)(1)已知三角形的三個角，能夠求其三條邊(）（2)兩個不可到達的點之間的距離無法求得（)(3）方位角和方向角是一樣的（)解析:（1）錯誤,要解三角形，至少知道這個三角形的一條邊長（2）錯誤，兩個不可到達的點之間的距離我們可以借助第三個點和第四個點量出角度、距離求得(3）錯誤方位角是指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，而方向角是以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角(一般指銳角）答案：(1）(2）(3)2若p在q的北偏東4450方向上，則q在p的（）a東偏北4510方向上 b東偏北4550方向上c南偏西4450方向上 d西偏南4550方向

3、上解析：選c如圖所示3從a處望b處的仰角為，從b處望a處的俯角為，則，的關(guān)系為（)a bc90 d180解析：選b根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖,如圖知，故應(yīng)選b。4兩燈塔a，b與海洋觀察站c的距離都等于a(km），燈塔a在c北偏東30，b在c南偏東60，則a，b之間距離為(）a。a km b.a kmca km d2a km解析：選aabc中，acbca，acb90，所以aba。測量高度問題典例如圖，測量河對岸的塔高ab時,可以選與塔底b在同一水平面內(nèi)的兩點c與d.現(xiàn)測得bcd,bdc，cds,并在點c測得塔頂a的仰角為，求塔高ab。解在bcd中，cbd（）由正弦定理得.bc。在rtab

4、c中,abbctanacb。測量高度問題的兩個關(guān)注點(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題（2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合,全面分析所有三角形，仔細規(guī)劃解題思路 活學(xué)活用1一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的a處測得水柱頂端的仰角為45，沿a向北偏東30方向前進100 m到達b處，在b處測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是(）a50 mb100 mc120 md150 m解析：選a如圖,設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為c，則在abc中,a60,a

5、ch，ab100，bch，根據(jù)余弦定理得，（h)2h210022h100cos 60,即h250h5 0000,解得h50或h100(舍去），故水柱的高度是50 m。2.如圖所示，在山底a處測得山頂b的仰角cab45，沿傾斜角為30的山坡向山頂走1 000 m到達s點,又測得山頂仰角dsb75，則山高bc為_m.解析：因為sab453015，sbaabcsbc45（9075）30，所以asb180sabsba135.在abs中，ab1 000，所以bcabsin 451 0001 000(m）答案：1 000測量角度問題典例如圖所示，a，b是海面上位于東西方向相距5（3） n mile的兩個觀

6、測點現(xiàn)位于a點北偏東45方向、b點北偏西60方向的d點有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于b點南偏西60且與b點相距20 n mile的c點的救援船立即前往營救,其航行速度為30 n mile/h，則該救援船到達d點需要多長時間？解由題意，知ab5（3) n mile，dba906030，dab904545，adb180(4530）105.在dab中，由正弦定理得，即bd10 n mile。又dbcdbaabc60，bc20 n mile，在dbc中,由余弦定理，得cd 30 n mile，則救援船到達d點需要的時間為1 h.測量角度問題主要是指在海上或空中測量角度的問題，如確定目標的方位,觀察某一建

7、筑物的視角等解決它們的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個三角形中,該三角形中已知哪些量，需要求哪些量通常是根據(jù)題意,從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得到所求的量,從而得到實際問題的解活學(xué)活用在海岸a處,發(fā)現(xiàn)北偏東45方向,距離a處（1）n mile的b處有一艘走私船,在a處北偏西75的方向，距離a 2 n mile的c處的緝私船奉命以10 n mile的速度追截走私船此時，走私船正以10 n mile/h的速度從b處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船?解：設(shè)緝私船用t h在d處追上走私船，畫出示意圖,則有cd10t，bd10t，在

8、abc中，ab1，ac2，bac120，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccosbac(1）2222(1）2cos 1206，bc，且sinabcsinbac，abc45,bc與正北方向成90角cbd9030120,在bcd中,由正弦定理,得sinbcd,bcd30.即緝私船沿北偏東60方向能最快追上走私船.測量距離問題題點一：兩點間不可通又不可視1。如圖所示,要測量一水塘兩側(cè)a，b兩點間的距離,其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢胏，用經(jīng)緯儀測出角，再分別測出ac，bc的長b,a,則可求出a,b兩點間的距離即ab.若測得ca400 m，cb600 m，acb60，試計算ab的長解：在abc中，由余

9、弦定理得ab2ac2bc22acbccosacb,ab2400260022400600cos 60280 000。ab200 (m）即a，b兩點間的距離為200 m。題點二：兩點間可視但有一點不可到達2。如圖所示，a,b兩點在一條河的兩岸，測量者在a的同側(cè)，且b點不可到達，要測出a，b的距離，其方法在a所在的岸邊選定一點c，可以測出a,c的距離m，再借助儀器，測出acb，cab，在abc中，運用正弦定理就可以求出ab。若測出ac60 m,bac75，bca45,則a，b兩點間的距離為_ m.解析：abc180754560，所以由正弦定理得，ab20（m)即a,b兩點間的距離為20 m.答案：2

10、0題點三：兩點都不可到達3。如圖，a，b兩點在河的同側(cè),且a，b兩點均不可到達，測出a，b的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點c，d，測得cda，同時在c，d兩點分別測得bca,acd，cdb,bda.在adc和bdc中，由正弦定理分別計算出ac和bc，再在abc中，應(yīng)用余弦定理計算出ab.若測得cd km，adbcdb30,acd60,acb45,求a,b兩點間的距離解：adcadbcdb60，acd60,dac60，acdc.在bcd中，dbc45,由正弦定理,得bcsinbdcsin 30。在abc中，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccos 452。ab（km)a，b兩點間的距離

11、為 km.當(dāng)a,b兩點之間的距離不能直接測量時,求ab的距離分為以下三類：(1)兩點間不可通又不可視（如圖):可取某點c,使得a，b與c之間的距離可直接測量,測出acb，bca以及acb,利用余弦定理得：ab.（2）兩點間可視但不可到達（如圖):可選取與b同側(cè)的點c,測出bca以及abc和acb,先使用內(nèi)角和定理求出bac,再利用正弦定理求出ab。(3）兩點都不可到達（如圖）：在河邊測量對岸兩個建筑物之間的距離，可先在一側(cè)選取兩點c，d,測出cdm，acb，bcd，adc，adb,再在bcd中求出bc，在adc中求出ac,最后在abc中，由余弦定理求出ab。 層級一學(xué)業(yè)水平達標1.學(xué)校體育館的

12、人字屋架為等腰三角形，如圖，測得ac的長度為4 m,a30,則其跨度ab的長為()a12 m b8 mc3 m d4 m解析：選d由題意知，ab30，所以c1803030120,由正弦定理得，即ab4.2一艘船自西向東勻速航行,上午10時到達一座燈塔p的南偏西75距塔68 n mile的m處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的n處,則這只船的航行速度為()a。 n mile/h b34 n mile/hc。 n mile/h d34 n mile/h解析:選a如圖所示,在pmn中,mn34，v n mile/h。3若某人在點a測得金字塔頂端仰角為30，此人往金字塔方向走了80米到達點b，測得金字

13、塔頂端的仰角為45,則金字塔的高度最接近于（忽略人的身高）（)a110米 b112米c220米 d224米解析：選a如圖,設(shè)cd為金字塔，ab80米設(shè)cdh，則由已知得（80h)h,h40(1）109(米)從選項來看110最接近，故選a。4設(shè)甲、乙兩幢樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩幢樓的高分別是（）a20 m， m b10 m,20 mc10()m,20 m d。 m, m解析:選a由題意，知h甲20tan 6020（m）,h乙20tan 6020tan 30（m)5海上的a,b兩個小島相距10 n mile，從a島望c島和b島成60的視

14、角,從b島望c島和a島成75的視角，則b島與c島之間的距離是(）a10 n mile b. n milec5 n mile d5 n mile解析：選d由題意，做出示意圖，如圖,在abc中，c180607545，由正弦定理，得，解得bc5(n mile）6某人從a處出發(fā)，沿北偏東60行走3 km到b處，再沿正東方向行走2 km到c處，則a，c兩地的距離為_km。解析：如圖所示，由題意可知ab3，bc2，abc150。由余弦定理,得ac2274232cos 15049，ac7。則a，c兩地的距離為7 km。答案:77坡度為45的斜坡長為100 m，現(xiàn)在要把坡度改為30，則坡底要伸長_m.解析：如

15、圖，bd100，bda45，bca30,設(shè)cdx,所以(xda）tan 30datan 45,又dabdcos 4510050，所以xda5050（）m。答案：50（）8一蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105，爬行10 cm捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135爬行回它的出發(fā)點，那么x_cm。解析:如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在o點，先爬行到a點，再爬行到b點,易知在aob中，ab10 cm,oab75，abo45，則aob60，由正弦定理知：x（cm）答案：9.如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于a1處時，乙船位于甲船的北偏西10

16、5方向的b1處,此時兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達a2處時,乙船航行到甲船的北偏西120方向的b2處，此時兩船相距10海里，求乙船航行的速度解：如圖,連接a1b2，在a1a2b2中，易知a1a2b260，又易求得a1a23010a2b2，a1a2b2為正三角形，a1b210.在a1b1b2中，易知b1a1b245，（b1b2）240020022010200，b1b210,乙船每小時航行30海里10.如圖所示，在地面上共線的三點a，b，c處測得一建筑物的仰角分別為30，45，60，且abbc60 m，求建筑物的高度解:設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，pa2h,pbh，pch，在pba和p

17、bc中，分別由余弦定理，得cospba,cospbc.pbapbc180，cospbacospbc0.由，解得h30或h30（舍去），即建筑物的高度為30 m。層級二應(yīng)試能力達標1.如圖,從氣球a上測得其正前下方的河流兩岸b，c的俯角分別為75，30，此時氣球的高度ad是60 m，則河流的寬度bc是()a240（1)m b180(1）mc120(1)m d30（1)m解析：選c由題意知,在rtadc中，c30，ad60 m，ac120 m在abc中,bac753045,abc1804530105,由正弦定理,得bc120（1)（m)2。如圖所示為起重機裝置示意圖支桿bc10 m,吊桿ac15

18、m，吊索ab5 m,起吊的貨物與岸的距離ad為(）a30 m b。 mc15 m d45 m解析：選b在abc中，ac15 m,ab5 m，bc10 m，由余弦定理得cosacb，sinacb.又acbacd180,sinacdsinacb。在rtadc中，adacsinacd15 m。3.如圖所示，要測量底部不能到達的某電視塔ab的高度,在塔的同一側(cè)選擇c，d兩個觀測點，且在c，d兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測得bcd120,c，d兩地相距500 m,則電視塔ab的高度是（)a100 m b400 mc200 m d500 m解析：選d設(shè)abx，在rtabc中，acb45，

19、bcabx。在rtabd中，adb30，bdx.在bcd中，bcd120，cd500 m，由余弦定理得(x）2x250022500xcos 120，解得x500 m。4。如圖所示,位于東海某島的雷達觀測站a，發(fā)現(xiàn)其北偏東45,與觀測站a距離20海里的b處有一貨船正勻速直線行駛，半小時后，又測得該貨船位于觀測站a東偏北(045)的c處，且cos 。已知a，c兩處的距離為10海里,則該貨船的船速為()a4 海里/小時 b3 海里/小時c2 海里/小時 d4 海里/小時解析：選a因為cos ，0c，則c為銳角，故c.2在abc中，sin asin c，則abc是(）a直角三角形 b等腰三角形c銳角三

20、角形 d鈍角三角形解析：選bsin asin c且a，c是三角形內(nèi)角，ac或ac(舍去)abc是等腰三角形3在abc中，ak，bk（k0)，a45，則滿足條件的三角形有(）a0個 b1個c2個 d無數(shù)個解析：選a由正弦定理得，sin b1，即sin b 1，這是不成立的所以沒有滿足此條件的三角形4在abc中，a15，b20，a30,則cos b(）a b.c d。解析：選a因為,所以，解得sin b.因為ba，所以ba,故b有兩解，所以cos b。5如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，則它的頂角的余弦值為()a b。c d.解析:選b設(shè)等腰三角形的底邊長為a，頂角為，則腰長為2a，由余弦定理得

21、，cos 。6在abc中，a，b，c分別為a，b，c的對邊，如果2bac，b30，abc的面積為，那么b等于(）a。 b1c。 d2解析：選bsabcacsin b，ac6。又b2a2c22accos b（ac)22ac2accos 304b2126，b242，b1.7已知abc中，sin asin bsin ck(k1)2k，則k的取值范圍是(）a（2，） b(,0)c。 d。解析：選d由正弦定理得：amk，bm(k1），c2mk，(m0），即k。8在abc中,角a，b，c的對邊分別為a，b，c，且sin2，則abc的形狀為()a等邊三角形 b直角三角形c等腰三角形 d等腰直角三角形解析：選

22、b由已知可得，即cos a，bccos a。法一：由余弦定理得cos a，則bc，所以c2a2b2，由此知abc為直角三角形法二：由正弦定理，得sin bsin ccos a在abc中，sin bsin(ac)，從而有sin acos ccos asin csin ccos a，即sin acos c0.在abc中，sin a0，所以cos c0.由此得c，故abc為直角三角形9已知圓的半徑為4，a，b，c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc16，則三角形的面積為(）a2 b8c。 d。解析:選c2r8，sin c，sabcabsin c。10在abc中，三邊長分別為a2，a，a2，最大角的正弦

23、值為，則這個三角形的面積為()a. b。c。 d.解析：選b三邊不等，最大角大于60.設(shè)最大角為，故所對的邊長為a2，sin ,120.由余弦定理得（a2）2(a2）2a2a（a2）,即a25a，故a5，故三邊長為3,5,7，sabc35sin 120。11如圖，海平面上的甲船位于中心o的南偏西30，與o相距15海里的c處現(xiàn)甲船以35海里/小時的速度沿直線cb去營救位于中心o正東方向25海里的b處的乙船，則甲船到達b處需要的時間為()a.小時 b1小時c.小時 d2小時解析：選b在obc中，由余弦定理，得cb2co2ob22coobcos 1201522521525352,因此cb35，1（小

24、時)，因此甲船到達b處需要的時間為1小時12.如圖，在abc中，d是邊ac上的點,且abad,2abbd，bc2bd，則sin c的值為(）a. b。c。 d。解析:選d設(shè)bda,則bc2a，abada。在abd中，由余弦定理，得cos a.又a為abc的內(nèi)角，sin a。在abc中，由正弦定理得，.sin csin a.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確答案填在題中的橫線上)13在abc中，b30，c120，則abc_.解析：a180bc30，由正弦定理得abcsin asin bsin c，即abcsin 30sin 30sin 12011。答案:1114已知abc中

25、，3a22ab3b23c20,則cos c的值為_解析:由3a22ab3b23c20,得c2a2b2ab.根據(jù)余弦定理，cos c，所以cos c。答案：15在abc中，已知cos a，cos b，b3,則c_。解析:在abc中,cos a0,sin a.cos b0，sin b。sin csin （ab）sin（ab）sin acos bcos asin b。由正弦定理知，c。答案:16太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車測得小島在公路的南偏西15的方向上,汽車行駛1 km后，又測得小島在南偏西75的方向上，則小島到公路的距離是_km.解析：如圖，cab15，cba18075

26、105，acb1801051560，ab1(km)由正弦定理得，bcsin 15(km）設(shè)c到直線ab的距離為d，則dbcsin 75(km)答案：三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17（10分）在abc中，a3，b2,b2a.(1）求cos a的值；(2)求c的值解：(1）因為a3，b2，b2a，所以在abc中,由正弦定理得.所以.故cos a.(2）由(1)知cos a，所以sin a。又因為b2a,所以cos b2cos2a1.所以sin b.在abc中,sin csin(ab)sin acos bcos asin b。所以c5.18.(12分）如圖,觀測站c在目標a的南偏西20方向,經(jīng)過a處有一條南偏東40走向的公路,在c處觀測到與c相距31 km的b處有一人正沿此公路向a處行走，走20 km到達d處，此時測得c，d相距21 km,求d，a之間的距離解：由已知，得cd21 km，bc31 km，bd20 km,在bcd中，由余弦定理,得cosbdc.設(shè)adc,則cos ，sin ，在acd中,由正弦定理得，得，所以adsin(60）15(km），即所求d，a之間的距離為15 km。19（12分)在abc中，角a，b,c的對邊分別為a，b,c，