電子電信工程專業(yè)英語參考譯文

1、第1課 周期信號1.1 時域描述借助于時間和頻率的信號處理理論，許多常被看作是信號的函數(shù)都用來進(jìn)行信號處理。一個周期信號可看作是每隔T秒鐘重復(fù)其本身的信號，其中T稱之為信號波形的周期。周期波形的理論假定這種精確的重復(fù)延伸到整個時間軸上，不管是過去還是將來。實際上信號當(dāng)然不能無限的重復(fù)它本身。不過，像電源整流器輸出電壓這樣的波形，在平滑之前，還是重復(fù)本身很多次的，將其作為嚴(yán)格的周期信號進(jìn)行分析，會產(chǎn)生頗有價值的結(jié)果。另一方面，像心電圖這樣的波形是準(zhǔn)周期的，而且可以因為某種需要，把它當(dāng)作真正的周期信號來處理。在通信信道中，一個真正的重復(fù)信號是沒有什么用的，因為接收到第一個周期的波形后，就不會有更深

2、的信息傳送過來了。討論周期信號的主要原因之一是當(dāng)處理周期信號和隨機(jī)信號這種分析方法有很大幫助。周期信號的完整的時域描述包括詳細(xì)指明其在每個瞬間的精確值。在一些例子中，使用數(shù)字表達(dá)很容易確定其精確值。幸運的是，在許多例子中，描述信號波形時，有用的只是某些特定方面，或者只用近似的數(shù)學(xué)公式來表達(dá)它。在特定情況下，所涉及的物理量如下：（1） 信號平均值；（2） 信號達(dá)到的峰值；（3） 信號在a，b值時的時間比例；（4） 信號周期。如果希望通過數(shù)學(xué)表達(dá)式得到近似的波形，可以使用多項式、泰勒級數(shù)以及傅里葉級數(shù)。一個n次多項式 (1-1)可以用來擬合n+1階實際曲線。隨著多項式冪的加大，擬合精度也逐漸提高。

3、應(yīng)注意到，在擬合點范圍之外，正確的信號波形與多項式之間的誤差一般很大，而且多項式本身也不是周期的。盡管一個多項式逼近可以以一定數(shù)量的點擬合實際波形，但泰勒級數(shù)逼近可以針對一個固定點提供一條光滑的連續(xù)曲線。選擇泰勒級數(shù)的系數(shù)，可以使得級數(shù)和它的派生項在某點更吻合實際波形。級數(shù)中冪的值決定了擴(kuò)展的派生項的指數(shù)，以及在選定點區(qū)域內(nèi)級數(shù)和實際波形吻合的精確度。在某點的區(qū)域內(nèi)，泰勒級數(shù)近似函數(shù)的一般形式為： (1-2)一般來說，在選定點的區(qū)間內(nèi)，級數(shù)與實際波形很吻合，但是在區(qū)間外，這種情況就會迅速的惡化。因此，在波形的一個限定區(qū)間，用多項式和泰勒級數(shù)描述信號波形以期達(dá)到很高精度。在所選擇區(qū)間外，精度通常

4、會迅速降低，盡管可以通過補(bǔ)充一些項，使之有所改善（只要位于序列的收斂域內(nèi)）。這種方法提供的近似式在形式上從來都不是周期變化的，因此也不能認(rèn)為是描述周期信號的理想形式。相比較而言，傅里葉級數(shù)逼近在延拓時間間隔上，更好地符合信號波形的表達(dá)。當(dāng)信號是周期性的，傅里葉級數(shù)描述的精度可以始終保證，因為這個信號可以表示成一系列的正弦函數(shù)的和，而正弦函數(shù)本身是周期性的。在詳細(xì)分析表示信號的傅里葉級數(shù)方法之前，先介紹一下它的背景知識頻域描述方法。1.2 頻域描述頻域分析的基本概念是，任何復(fù)雜波形都可以看作是許多具有適當(dāng)振幅、周期和相對相位的正弦波之和。一個連續(xù)的正弦函數(shù)()在頻率（弧度/秒）上被認(rèn)為是單頻波。

5、信號的頻域描述涉及到這樣一些基本函數(shù)間的斷點問題，這就是傅里葉級數(shù)分析方法。有許多理由可以說明為什么在信號分析時信號成份中正弦波起到如此重要的作用。在一個延伸的時間間隔上，用一簇周期函數(shù)近似描述一個信號波形已經(jīng)得到證明。后面將證明使用這種方法可以使得真實信號與它的近似波形間的誤差降到最低。另一個正弦函數(shù)在信號分析中如此重要的原因是它們在物理上廣泛被采用，并且易于進(jìn)行數(shù)字處理。一個龐大的而且極其重要的機(jī)電系統(tǒng)，也稱作線性系統(tǒng)，加上任何頻率的正弦干擾后都會得到正弦響應(yīng)。物理上正弦函數(shù)的所用這些表明用正弦函數(shù)進(jìn)行分析將簡化信號與潛在的物理因素間的關(guān)系或者信號與它通過的系統(tǒng)或設(shè)備的物理屬性間的關(guān)系等問

6、題。最后，正弦函數(shù)可以形成一簇函數(shù)，這些函數(shù)稱作“正交函數(shù)”。它的十分特殊的屬性和優(yōu)點下面將作討論。1.3 正交函數(shù)1.3.1 矢量和信號通過分析信號和矢量之間的相似之處，引入用來描述信號的正交函數(shù)概念。矢量用大小和方向來描述，例如力和速度。假如有兩個矢量V1和V2，幾何學(xué)上通過在V1末端到V2上構(gòu)造直角，我們沿著矢量V2來定義的矢量V1。有 (1-3)其中，矢量Ve是近似式中的誤差。很明顯，當(dāng)這個誤差矢量沿著V2方向被拉為直角時，它是最小的長度。因此，我們說沿著矢量V2，V1是通過C12V2給定的，這里C12的選擇原則是使誤差矢量盡可能的小。正交矢量系中熟知的例子就是在坐標(biāo)幾何學(xué)里三個相互垂

7、直的坐標(biāo)軸的使用。在這里，矢量分析的基本思想可以推廣到信號分析里去。假定，我們希望在一定的區(qū)間t1tt2內(nèi)，通過另一信號或函數(shù)f2(t)去接近信號f1(t)，即 其中 通過選擇C12可獲得最佳逼近。若定義誤差函數(shù) (1-4)很明顯，選擇C12的目的是在選定區(qū)間內(nèi)使fe(t)的平均值達(dá)到最小。這種誤差標(biāo)準(zhǔn)的缺點是在不同時刻出現(xiàn)的正負(fù)誤差趨近于互相抵消。如果我們選擇使均方差最小，而不是誤差本身（相當(dāng)于使平均誤差的平方根最小化，或r.m.s誤差）最小，這個缺點可以避免。用表示f2(t)的平均值，可以得到=。 (1-5)對C12求微分，然后令所得表達(dá)式為0，就可以得到使最小的C12的值。即。去掉括號，

8、交換積分和微分的次序得出 (1-6)1.3.2 利用正交函數(shù)集描述信號假定我們在一定區(qū)間上通過函數(shù)f2(t)已經(jīng)得到一個近似的信號f1(t)，并且均方差達(dá)到最小，但是現(xiàn)在我們希望改善波形的近似性。這需要證明根據(jù)一組互相正交函數(shù)f2(t)，f3(t)，f4(t)等來描述信號將會達(dá)到一個非常滿意的效果。假設(shè)初始近似式是 (1-7)通過插值誤差進(jìn)一步減小 (1-8)其中f2(t)和f3(t)在有效區(qū)間內(nèi)是正交的。由于并入了附加項C13f3(t)，均方差進(jìn)一步降低了。誤差如下式 (1-9)在區(qū)間t1tt2內(nèi)，均方差為 (1-10)對C12偏微分可以得到使得均方差再次最小化的C12值，交換積分和微分的次

9、序，又可得到 (1-11)換言之，如果f2(t)與f3(t)在所選擇的時間區(qū)間內(nèi)正交，在并入用f3(t)表示的附加項以改善逼近程度時，系數(shù)C12不需要修正。同理，如果信號只是通過f3(t)逼近，那么C13的值也不會改變。這個重要結(jié)論可以推廣到包括用整個正交函數(shù)集表示信號的情況。在進(jìn)行逼近時，任何系數(shù)值與集合中用了多少函數(shù)沒有關(guān)系，因此，即使包含更多的項時，這些系數(shù)也不會改變。利用一個正交函數(shù)集描述信號，類似于在三維空間中利用三個互相垂直的軸描述向量，這就引出了“信號空間”的概念。精確的信號表達(dá)往往需要多于三個正交函數(shù)，因此我們必須把一些區(qū)間t1tt2上的信號在多維空間上用一個點來表示。總之，有

10、許多正交函數(shù)集可用來近似描述信號波形，如所謂Legendre多項式和Walsh函數(shù)等，正弦函數(shù)集是其中最常用的。在t時刻上，多項式函數(shù)集不是周期的，但是它可用來描述周期波形的一個循環(huán)；在選定區(qū)間外，真實信號和近似式之間的誤差會理所當(dāng)然的迅速增加。然而，用正弦函數(shù)描述一個周期信號的一個循環(huán)在任何時候都是等效的，因為這些函數(shù)都是正交的。1.4 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)的基本理論是把復(fù)雜的周期波分解成許多簡諧的正弦波，這些正弦波構(gòu)成一個正交函數(shù)集。如果有一個周期為T的周期信號f(t)，它可用級數(shù)表示 (1-12)這里。這樣，f(t)可以認(rèn)為是由穩(wěn)定值A(chǔ)0及許多不同頻率的正弦或余弦波疊加而成的。最小頻率（

11、弧度/秒）稱為基頻，這種頻率的波與信號的周期相等。頻率為2的波稱為二次諧波，頻率為3的波稱為三次諧波，依次類推。必須對f(t)加上一定的限制，如狄里赫萊條件，才能使用傅里葉級數(shù)。在整個周期上的積分必須有上下限，也不可在限定的區(qū)間上有太多的斷點。幸運的是，實際中的信號波形都能滿足這些條件。1.4.1 系數(shù)的計算問題已轉(zhuǎn)化為計算系數(shù)A0，An和Bn，使用前文所述的最小方差準(zhǔn)則，以及為描述起來方便起見，有 (1-13)盡管在大多數(shù)例子中，關(guān)于原點對稱的區(qū)間積分起來很方便，但是還是應(yīng)該選擇長度等于信號波形周期的區(qū)間。許多實際波形要么是時間的偶函數(shù)，要么是奇函數(shù)。如果f(t)是偶函數(shù)，根據(jù)定義有f(t)

12、= f(-t)，而如果f(t)是奇函數(shù)，則有f(t)=-f(-t)。如果偶函數(shù)乘以奇函數(shù)，結(jié)果也是奇函數(shù)。這樣每個Bn的被積函數(shù)都是奇函數(shù)。當(dāng)一個奇函數(shù)關(guān)于t=0對稱的區(qū)間上積分時，結(jié)果為零。因此，所有的系數(shù)B都是零，級數(shù)中只剩下余弦項了。同理，如果f(t)是奇函數(shù)，那么系數(shù)A必為零，級數(shù)中只有正弦項。直觀上很明顯，偶函數(shù)只能由其他的偶函數(shù)構(gòu)成，反之，奇函數(shù)也一樣。我們已經(jīng)看到，在偶函數(shù)或奇函數(shù)的例子中，通過消去它的正弦項或者余弦項，傅里葉級數(shù)得到簡化。在具有“半波對稱”的波形例子中，出現(xiàn)的簡化形式也不同。在數(shù)學(xué)上，“半波對稱”存在的條件是 (1-14)換句話說，在波形上任何相差T/2的兩個值

13、數(shù)量相等，符號相反。一般來說，只有奇的簡諧波具有“半波對稱”，因此具有這種對稱的任何復(fù)雜波形都不包含有偶的簡諧波成分，相反，包含有二次，四次或其他次諧波的波形都不能表現(xiàn)出“半波對稱”的特點。通常我們總是在整個周期上積分得出系數(shù)值，然而在奇函數(shù)或偶函數(shù)的例子中，比較簡單的是只要在半個周期上積分，然后乘以2就可以了。另外，如果波形既是偶函數(shù)或者及函數(shù)，也表現(xiàn)出“半波對稱”，那么只要在1/4個周期上積分，然后乘以4就可以了。在具有上述函數(shù)的例子中，這些比較近似算法是合適的，因為在這種情況下，積分是重復(fù)的，而在一個周期內(nèi)還有“半波對稱”時，積分要重復(fù)2次。1.4.2時間原點的選擇以及波形功率對于一個具

14、體的波形而言，如果它是偶函數(shù)或奇函數(shù)，那么計算該波形傅里葉級數(shù)系數(shù)的工作量可以通過適當(dāng)?shù)倪x擇時間原點來減小。這種轉(zhuǎn)變只是把只含有正弦項的傅里葉級數(shù)轉(zhuǎn)化為只包含余弦項，而在任一頻段的振幅都正與我們所料，是不會改變的。對于既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)的復(fù)雜波形來說，在其傅里葉級數(shù)里一定包含有正弦項和余弦項。隨著波形時間原點的改變，傅里葉級數(shù)的正弦和余弦系數(shù)也將改變，但是任何兩個系數(shù)An和Bn的平方和仍然是常量，也就是電子工程師非常熟悉的波形平均功率是不變的。上述思想很自然的得出兩種三角形式的傅里葉級數(shù)。若有兩個基波為和.使用三角恒等式，傅里葉級數(shù)有兩種形式來表示+= (1-15)這樣在一個特殊的頻段上

15、，正弦和余弦部分可表示成單一的余弦或正弦波形式，只是相位有所改變。如果這種過程應(yīng)用到所有傅里葉級數(shù)的諧波中去，就得到以下兩種形式 或 (1-16)其中, , (1-17)最后，要注明的是用任何波形表達(dá)的正弦平均功率是 (1-18)項的功率簡單的表示成，總的波形平均功率為 (1-19)但是，功率P可表示為的一個周期上的平均值。再次使用，是因為它常被認(rèn)為是一個電壓波通過1歐姆電阻所產(chǎn)生的功率。因此 (1-20)這個結(jié)果是一個常用形式，稱為Parseval定理。它表明了整個波形功率是傅里葉級數(shù)中部分功率之和。然而，重要的是要注明由于不同部分的波都是從一個正交函數(shù)集中推導(dǎo)出來的，所以它是唯一正確的。第

16、2課 非周期信號2.1 概述在前一章中，我們已經(jīng)看到周期信號是如何被表示成一組正弦諧波的疊加。這樣一個由許多離散的頻率所組成的信號的頻譜叫做一條“線”頻譜。雖然周期信號分析可能有很好的實用性，但是大多數(shù)信號不是這個類型。首先，自身多次重復(fù)的信號總是處于 “開”和“關(guān)”的狀態(tài)。換句話說，它們不可能經(jīng)常被假定為全部時間（過去、現(xiàn)在和將來）總存在，重要的是了解它們在有限時間上頻譜。其次，除了時間限制的問題外，有一類重要的信號波形（其中包括隨機(jī)信號）是在自然中簡單而不重復(fù)的，因此不能夠被包含許多的諧波頻率的傅里葉級數(shù)所表示。然而，幸運地是，我們可以通過傅里葉級數(shù)作為研究這類信號頻譜的出發(fā)點。2.2 傅

17、里葉級數(shù)的指數(shù)形式我們已經(jīng)知道(第1.4.2節(jié))，一個周期信號的傅里葉級數(shù)有兩種表達(dá)方式：或者表達(dá)為適當(dāng)振幅和頻率的一組正弦和余弦波，或者表達(dá)為由振幅和相關(guān)相位角所定義的一組正弦曲線形式的波?，F(xiàn)在將要討論的是，傅里葉級數(shù)第三種形式，即指數(shù)的形式，因為它對推導(dǎo)非周期信號的頻譜是很有幫助的。與下面簡單三角函數(shù)表達(dá)式不同 (2-1)指數(shù)表達(dá)式可以寫成= (2-2)其中可以取任何的整數(shù)。雖然這二種表達(dá)式看起來不同，但是事實上如果使用下面的恒等式 (2-3)和 (2-4)它們其實是一樣的。將（2-3）和（2-4）代入到（2-1）并移項整理可以很容易的得到指數(shù)形式的表達(dá)式。兩種形式的系數(shù)關(guān)系如下：; ,

18、當(dāng)為正整數(shù)時 (2-5), 當(dāng)為負(fù)整數(shù)時 (2-6)這些結(jié)果表明指數(shù)級數(shù)的系數(shù)一般是比較復(fù)雜的，而且它們是共軛的（也就是說，系數(shù)an的虛部和系數(shù)a-n的虛部數(shù)值相等，符號相反）。雖然，復(fù)雜系數(shù)的概念乍一看是難于理解的，但是，應(yīng)該記住系數(shù)的實部表示余弦波的相關(guān)頻率的大小，而虛部表示正弦波幅值的大小。特別地，如果系數(shù)an和a-n為實數(shù)，那么頻率的組成只是一個余弦；如果系數(shù)an和a-n為單純的只有虛部，則組成部分僅僅是一個正弦；如果是一般的情形，系數(shù)an和a-n是復(fù)數(shù)，則同時存在余弦項和正弦項。2.3 傅里葉變換2.3.1 簡介傅里葉變換（也叫做傅里葉積分）為非重復(fù)的信號波形分析提供了數(shù)學(xué)工具，而傅

19、里葉級數(shù)是為重復(fù)的信號分析提供了數(shù)學(xué)工具。我們已經(jīng)看到，假定波形周期（即它的基頻）不變的情況下，當(dāng)脈沖寬度減小時，周期脈沖波形線譜的變化。假如脈沖的持續(xù)時間保持固定，但脈沖之間的間隔逐漸增大，引起一個逐漸增大的周期。在這樣的條件下，我們將會得到單一矩形脈沖，它旁邊的脈沖已經(jīng)移動到前面或后面的無限遠(yuǎn)。在這種情況下，基頻趨向于零，它的諧波將近占滿整個空間，而振幅極其的小。進(jìn)一步，我們將得到一個連續(xù)的頻譜。在數(shù)學(xué)上，這種情形可以用修正的傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式來表達(dá) (2-7)其中，系數(shù)am等于f(t)與的乘積的定積分的平均值= (2-8)在趨于無限大的情形下，每個單獨的系數(shù)變成無窮地小，則上述的公式似

20、乎就不再有用。然而amT的乘積不是當(dāng)時就消失了，因此我們現(xiàn)在引出一個新的變量G。當(dāng)且時，G趨于表示為一個的函數(shù)的連續(xù)變量。由于變量G是連續(xù)的頻率變量的函數(shù)，我們現(xiàn)在寫出上面方程第二種形式 (2-9)代回到一簇?zé)o限諧波之和的表達(dá)式（2-7），我們得到= (2-10)再用連續(xù)變量替換掉G，并且基頻（現(xiàn)在是無窮小的）寫成。我們的無窮項和變成了上下限中的一個積分，則方程可改寫為 (2-11)這兩個等式稱為傅里葉積分，表明了一個非重復(fù)的時域波形與它的連續(xù)光譜之間的關(guān)系。掌握這兩個方程的含義是很重要的。第一個方程告訴我們波形的能量是在頻率范圍上連續(xù)分布的，第二個方程說明，實際上，該波形可以由的相關(guān)值與形如

21、的無限指數(shù)函數(shù)集加權(quán)合成。連續(xù)頻率函數(shù)也許值得稍微進(jìn)一步探討其實際意義。的確很難想像像這些單個脈沖是由無限個無窮小振幅的波組成，這樣一個波形的能量在頻域中是連續(xù)分布的。下列眾人皆知的情形可能使這項工作更為容易理解：有兩根梁，其中一個僅在幾個點上有載荷，而另一根是在全長上均勻地加載，比如石頭和混凝土。簡言之，第一種是在離散點上加載，正如僅包含離散頻率的周期信號波形。然而，如果人們問為什么載荷連續(xù)分布的梁上承載在一個點上，回答肯定是那個點（或任何其他點）上所承受載荷為無窮小。明智的方法是先弄清在一小段距離上平均載荷是多少，再回答出每米多少千克重量。同樣地，一條連續(xù)頻率的光譜表明在任何點頻率上的部分

22、是無窮小的，而且計算以那點為中心的一小段頻率所包含的能量。因此，函數(shù)可認(rèn)為是頻率密度函數(shù)。2.3.2 連續(xù)頻譜的例子為了舉例說明傅里葉積分的應(yīng)用，我們現(xiàn)在正式地計算一下圖2.1所示單脈沖波形的頻譜。積分的上下限是有限的，有 (2-12)根據(jù)前面已知知識，的這個函數(shù)的圖形如圖2.1（b）所示。當(dāng)?shù)扔诨《?秒的整數(shù)倍時，圖形通過零點。似乎很奇怪，脈沖在這樣的頻率下沒有能量，然而這是不難說明。舉例來說，考慮到如或這樣的頻率。如果我們想找出在脈沖中這樣一個頻率被包含多少，一般慣例是乘以適當(dāng)?shù)恼仪€波形的脈沖并且在超過寬度上作積分。則得到的結(jié)果一定是零，因為在任何超過寬度的正弦曲線波形的積分總是等于零

23、的。這個脈沖波形的頻譜說明了許多有關(guān)時限信號的重要性質(zhì)。如果脈沖寬度非常大，它的頻譜能量分布在以為中心的區(qū)間上，在極限情況下函數(shù)變成了零頻率處的一條直線，換言之，脈沖波形已經(jīng)變成了無限寬的固定電平。反之，如果脈沖極其的短，則比較高的頻率逐漸地在它的頻譜中表現(xiàn)出來，在一個無限狹窄的脈沖的限制情形下，頻譜變得平坦并且擴(kuò)展到各個頻率段。這些結(jié)果表現(xiàn)在圖2.2中，而且說明了一個重要的理論，一個窄時限波形將會占據(jù)一個很寬的頻率段，反之亦然?？傊?dāng)一個連續(xù)或重復(fù)的信號在“開”和“斷”離散化時，結(jié)果與預(yù)期的一樣。上述的脈沖波形會被看作是不斷“開”和“關(guān)”的平穩(wěn)信號?！伴_”“斷”突然變化會產(chǎn)生新的頻率，它將

24、引起單線頻譜變寬。無論時限信號表示在一個通信通道中的電子波形，還是一個限定區(qū)間上的采集或觀測數(shù)據(jù)，估計它的屬性是很重要的。既然已經(jīng)定義了傅里葉變換方程，那么就有可能計算各種不同的非重復(fù)信號的頻譜。工作的困難在于被計算積分的圖形隨著選擇的信號波形改變而變化。我們必須用已熟悉的連續(xù)頻譜的理解的例子來分析問題，如圖2.3的指數(shù)衰減的正弦曲線波形。由數(shù)學(xué)分析，這個波形可由方程來描述。因此它的頻譜給出如下= (2-13)如果用下面等式替換的話，這個積分是相當(dāng)簡單的 (2-14)從而得到 (2-15)第一點要注意的是這里的是復(fù)數(shù)，然而在圖2.1所示的單脈沖的情況下，它純粹是個實數(shù)。這種區(qū)別的原因是脈沖波形

25、是關(guān)于=0對稱的，因此它的頻譜只包含余弦部分。然而，衰減的正弦曲線波是一點也不關(guān)于=0對稱的，因此只能由正弦和余弦共同組合，由它復(fù)雜的頻譜可以反映出這一點。2.3.3 傅里葉積分方程的對稱性兩個傅里葉方程具有明顯的對稱性 (2-16) (2-17)的確，除了第二個方程有乘數(shù)()和在指數(shù)上符號的不同外，兩個方程在形式上是相同的。如果我們考慮一個時間偶函數(shù)，例如前面已經(jīng)討論過的單脈沖波形，則方程在時域和頻域具有極好的對稱性，有一個僅包含余弦的偶函數(shù)的頻譜。在這種情形下，如果在第一個方程中用代替(-t)，方程變?yōu)? (2-18)但是如果是一個偶函數(shù)，即時，有 (2-19)現(xiàn)在，除了相差一個乘數(shù)之外，

26、上式和第二個方程在形式上是相同的?？梢酝瞥觯捎诜讲ǖ念l譜是的圖形，因此頻譜能量均勻地分布在的范圍內(nèi)，其他地方則沒有能量。圖2.4中說明了這種在時域和頻域間的對稱性，而且解釋了傅里葉積分方程作為傅里葉變換和反變換的一般描述。2.3.4 傅里葉變換的局限性到現(xiàn)在為止，似乎傅里葉變換適用于任何的非重復(fù)的信號，但是事實上在它的應(yīng)用中有一些限制和困難。一個重要的限制從下面方程可以得到。 (2-20)明顯地，只有當(dāng)方程的右邊有限的時，才存在傅里葉變換。此外，由于的幅值是有限的，要使傅里葉變換存在必須滿足 (2-21)實際的許多波形，如圖2.5所示的連續(xù)正弦波和余弦波和所謂的單位階躍函數(shù)，都不滿足后一個條

27、件，嚴(yán)格地來說不能做傅里葉變換。然而，幸運地是，可以把它們作為進(jìn)行傅里葉變換的有限的幾個波形。例如，我們可以計算在TtT區(qū)間內(nèi)的正弦或余弦波的傅里葉變換： T趨于非常大，且在極限情況下對連續(xù)函數(shù)自身做變換。在研究單位階躍函數(shù)的情況時，首先考察如圖2.5所示的指數(shù)衰減階躍信號，然后令T變得非常小，在極限情況下，我們得到了如圖2.5所示的單位階躍函數(shù)頻譜。對于指數(shù)衰減階躍信號，我們有=。 (2-22)當(dāng)時，如果，則等于零，因而= (2-23)在使單位階躍函數(shù)趨向于零從而得到其傅里葉變換之前，先談一個涉及到奇異點的問題。它常發(fā)生函數(shù)值沒有定義的某點：這樣的點被稱為奇異點。如果我們讓上述的例子中的，則

28、在時，因此在處有一個奇異點。階躍函數(shù)波形在=0處沒有合適的定義，因為在這個點處并不連續(xù)。奇異點概念經(jīng)常出現(xiàn)在信號理論中。從數(shù)學(xué)的觀點來看，奇異的出現(xiàn)也許引起或不會引起特別的麻煩，但是在任何的情形下都應(yīng)該十分注意，在奇異區(qū)域中要特別考慮函數(shù)的性質(zhì)。現(xiàn)在我們回到單位階躍函數(shù)的傅里葉變換問題，在上式中令，一眼看上去，似乎趨近于，但必須考慮在時出現(xiàn)奇異點的特殊情況。假定我們使足夠小，但不為零，在頻率范圍上由于，所以；但是當(dāng)實際為零時，由于，所以有。隨著變得越來越小，只剩下一個等于的連續(xù)頻譜和以為中心，振幅為的尖峰脈沖。后者實際上是代表“直流”或階躍波平均值的頻譜線。這樣，單位階躍函數(shù)具有由無數(shù)的正弦函

29、數(shù)集組成的頻譜，這個正弦函數(shù)的振幅與頻率成反比，其頻率和零點的頻率一起表示為波形的平均值。實際上，我們通過乘以一個使傅里葉積分收斂的因子，得出階躍函數(shù)的頻譜特性。盡管由于正數(shù)隨著時間t無限制的增加，的值變得越來越小而使得這類“收斂因子”不適用于整個時間上的信號波形，但是上述實用的方法還是廣泛應(yīng)用于其他波形當(dāng)中。所以，這種方法只能成功地用于在某確定時刻有值而在此之前可視為零的波形；通常，將信號最先出現(xiàn)非零值的時刻規(guī)定為t=0。如果這個收斂因子應(yīng)用于t=0之前為零的例子中，我們可以定義傅里葉變換的另一種形式 (2-24)當(dāng)然，嚴(yán)格來說，G1不僅是的函數(shù)，也是關(guān)于因子的函數(shù)，而且的選擇應(yīng)使得在任何特

30、殊情況下，積分都是收斂的。為了方便起見，我們引入新的變量，因此關(guān)于的函數(shù)G1為 (2-25)為此，我們需要詳細(xì)說明信號f(t)的拉普拉斯變換。2.4 拉普拉斯變換2.4.1 與傅里葉變換的關(guān)系拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系很密切。正如我們所看到的，傅里葉級數(shù)是把一個信號描述成正弦和余弦部分之和，而正弦和余弦又可以用形式為的一對虛指數(shù)項來表示。通過引入收斂因子，就有可能得出一定信號的波譜，這種信號用傅里葉積分是無法計算的。只要我們把引入的這個積分因子去乘以一個復(fù)雜的信號，積分或許可以算出來，然后我們令趨近于零就可以了。但是，正如傅里葉積分所表現(xiàn)的形式那樣，是一個帶有形如指數(shù)項的無限集，因此拉普拉

31、斯變換等式的形式表明我們應(yīng)該用具有無限集的指數(shù)項的拉普拉斯變換表示f(t)，這里的是一個稱為復(fù)頻的復(fù)數(shù)。這些項不僅引入了傅里葉方法中的正弦和余弦波，而且還引入了正弦和余弦波的增長和衰退以及指數(shù)的增長和衰退。由于實際中拉普拉斯變換可以分析在時間上是振蕩和非振蕩函數(shù)的信號，因此它對信號f(t)的限制要比傅里葉積分少。另一方面，它仍然是有限制的，因為變量的實部必須是收斂的。例如，如果f(t)含有一個漸增的指數(shù)部分，只有當(dāng)項抵消它的增長，也就是說必須至少為7時，積分才將收斂。但是，例如在f(t)中，不論的值如何變化，在足夠大的t時，項主導(dǎo)著的變化，因此拉普拉斯變換不能使用。已經(jīng)涉及到的另一個局限是拉普

32、拉斯變換不能處理無限地延伸到過去的信號，只能在區(qū)間上進(jìn)行積分運算。原因是值在區(qū)間上能收斂，而在區(qū)間上不能。2.4.2 拉普拉斯變換的應(yīng)用作為第一個例子，考慮如圖2.6所示的指數(shù)衰減。下式給出它的拉普拉斯變換 (2-26)第二個例子我們考慮圖2.6中的正弦波。拉普拉斯變換如下 (2-27)得出這些結(jié)果并不容易，因為盡管能夠相當(dāng)容易的想像出一個由許多連續(xù)正弦波合成的信號，但從圖2.6種很難考慮可能波形的范圍。當(dāng)然，變量可以是實數(shù)、純虛數(shù)或復(fù)數(shù)，如果我們?nèi)〕鏊奶摬浚ǎ?，那么就像在傅里葉變換中一樣，實際考慮的信號是由正弦波組成。在圖2.6的指數(shù)衰減的例子中，令時，有頻譜 (2-28)它的模和相位如圖

33、2.7所示。結(jié)果表明，正弦波的相對振幅和相位需要合成為指數(shù)曲線。在區(qū)間上，它們所有的都抵消為零，但是在上，相加可得到我們想要的波形。為了研究圖2.6中的頻譜，如果我們令，就得到以下形式 (2-29)在這個例子中，表明了兩個奇異點，即在頻譜上的幅值是無窮大，盡管實際上，我們選擇了單位幅值的正弦波作為時間函數(shù)。令，我們試圖計算出一個永遠(yuǎn)連續(xù)的波的傅里葉變換，而它的積分是不收斂的，這樣困難就應(yīng)運而生。在這樣的例子中，在拉普拉斯變換式中替換是不容易做到的。我們已經(jīng)知道怎樣進(jìn)行時間函數(shù)的拉普拉斯變換，它是一個復(fù)頻變量的函數(shù)，但是沒有提到關(guān)于的時間函數(shù)反變換過程的構(gòu)造。拉普拉斯變換難點在于反變換的逆，它沒

34、有給出直接計算公式。一般地，拉普拉斯反變換定義為 (2-30)而這個等式的一般形式類似于相應(yīng)的傅里葉積分等式，實際中，上下限的確定較為困難。對此，等式的積分計算需要熟悉復(fù)變函數(shù)以及余項的微積分學(xué)。這里采用的方法是在許多教材中處理拉普拉斯變換的普遍采用的方法，即提供一個比較常用的變換表供以后使用。即使更廣泛的拉普拉斯變換表也不能希望它涵蓋在實際中可能遇到的所有函數(shù)，而去研究反變換的不同技巧超過了這本書的范圍，下面只介紹反變換中十分常用的一個簡單方法。這種方法要求各函數(shù)之和的拉普拉斯反變換等于它們反變換之和，這稱為部分分式法。在大多數(shù)例子中，一個函數(shù)由許多簡單的線性因子組成，部分分式法就是要我們把

35、一個函數(shù)表示許多比較簡單的函數(shù)之和，而每個簡單的函數(shù)都出現(xiàn)在變換表中。如果處理不符合傅里葉變換的許多信號波形的能力通過用復(fù)頻表示得到補(bǔ)償?shù)脑挘蛟S拉普拉斯變換應(yīng)該值得去研究。然而要強(qiáng)調(diào)的是拉普拉斯變換的基本介紹并非是它的全部價值所在。后面我們將很清楚，在這個階段足可以說拉普拉斯變換是一個強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，除了用于解決信號分析問題，還可用來解決許多其他問題。尤其是如果使用拉普拉斯變換用一組微分等式表達(dá)的問題經(jīng)?？梢院喕癁橐唤M非常簡單的代數(shù)等式。由于機(jī)電系統(tǒng)的某類動力學(xué)問題在數(shù)學(xué)上用微分等式的形式來描述，因此在探索系統(tǒng)性能時，拉普拉斯變換方法具有極大的價值。2.4.3 信號的零極點描述再次考慮函數(shù)

36、(2-31)正如在前面我們所看到的，它表示一個指數(shù)衰減的信號波形的拉普拉斯變換。這類函數(shù)的一般特性是使得G(s)趨近于無窮大和趨近于零時的復(fù)頻變量的取值，我們把的值分別稱為 的極點和零點。這樣就很方便的對相應(yīng)信號進(jìn)行繪圖描述。在上述的簡單例子中，很明顯如果時，因此我們把稱為G(s)的極點。而G(s)沒有零點。如果我們考慮常用的一個比較復(fù)雜的函數(shù) (2-32)這里，A是一個常量， 等是G(s)的零點， 等是極點。確實總是有可能用上面的式子寫出拉普拉斯變換，因此可以根據(jù)一組極點和零點去定義信號。極點既可以是實數(shù)，也可以以復(fù)數(shù)共軛對的形式出現(xiàn)，零點也是一樣。這樣在的極點與在上的極點相匹配，這種情況總

37、是適用于相應(yīng)信號是時間的實函數(shù)的例子。在圖形上表示G(s)的極點和零點是通過在所謂的阿根圖（復(fù)平面）上標(biāo)出它們位置。在這個坐標(biāo)系里，復(fù)變量的實部沿著橫坐標(biāo)繪出，虛部是沿著縱坐標(biāo)。G(s)函數(shù)的極點和零點都是普通的復(fù)數(shù)值，所以在復(fù)平面上繪出它們是一種便利的方法，在此例子中，阿根圖被廣泛的稱之為“平面”圖。例如，假定有一個時間函數(shù)，它的拉普拉斯變換為 (2-34)除了常數(shù)4之外，我們完全可以在復(fù)平面上通過繪出s=0和s=2時的零點和時的極點表示出函數(shù)G(s)。第3課 數(shù)據(jù)采樣信號3.1 簡介只有在某個特定的瞬間，數(shù)據(jù)采樣信號才有具體的值，它適用在間歇地測量和記錄連續(xù)函數(shù)的場合。近年來，由于數(shù)字電子

38、和計算技術(shù)的發(fā)展，此類信號變得越來越重要。因為我們不可能向數(shù)字計算機(jī)輸入連續(xù)的數(shù)據(jù)，任何信號數(shù)據(jù)輸入都必須被一系列數(shù)值所代替。在幾乎所有情況下，這些數(shù)值代表了該連續(xù)信號在一連串等間隔點的采樣值。必須強(qiáng)調(diào)的是，這一連串采樣值只有當(dāng)連續(xù)采樣點間隔足夠小時才能充分替代該連續(xù)信號波形。3.2 采用迪拉克函數(shù)的數(shù)學(xué)描述迪拉克函數(shù)，通常也叫單位脈沖函數(shù)，它是一個持續(xù)時間極短且具有單位面積的脈沖。也就是說，它的持續(xù)時間和平均高度乘積為1，即使它精確的波形不定。該函數(shù)的物理意義可以用一個例子證明。假設(shè)我們用高爾夫球棒向高爾夫球傳遞一個機(jī)械沖量。其他條件是相同的，那么傳遞給球的動量和球滾動的距離由沖量的數(shù)值決定

39、，而該沖量則由力與作用時間的乘積決定。或者，假設(shè)該力不是恒力，則沖量是由力時間表中曲線下方面積決定；因為迪拉克函數(shù)被定義為單位面積，所以可被用來表示一個機(jī)械沖量，并且我們會在下文中用該方程描述一個作用于信號處理裝置的突然電干擾。單位脈沖函數(shù)用來描述數(shù)據(jù)采樣信號，而該信號可被認(rèn)為由一系列等距離的極短脈沖組成。我們可以很方便地把所有信號采樣都看作在各自采樣點的持續(xù)時間一定、高度與信號值成比例的脈沖。實際上，這個方法從數(shù)學(xué)上證明是有效的，只要脈沖持續(xù)時間與連續(xù)采樣之間間隔相比是可忽略的。為了更好地討論數(shù)據(jù)采樣信號的頻譜，我們有必要對單位脈沖函數(shù)的頻譜進(jìn)行分析。用代表在=0時產(chǎn)生的單位脈沖，我們有。

40、(3-1)我們用單位脈沖函數(shù)的所謂“移位算子”計算這個積分。把在t=a時刻產(chǎn)生的用表示的單位脈沖函數(shù)與函數(shù)f(t)相乘。因為單位脈沖的面積為1，所以當(dāng)該乘積從到進(jìn)行積分時，代表的曲線下方面積等于t=a時的f(t)值，而結(jié)果正是該面積。因此，移位算子可表示為 (3-2)t=0時的單位脈沖的頻譜可簡化為值，而該值在t=0時為1。所以 (3-3)這個結(jié)果告訴我們，所有的頻率分量都可以被余弦分量所代表。當(dāng)很多幅值相同而頻率不同的余弦分量相加時，它們會在除t=0點外互相抵消，在該點它們會相互增強(qiáng)。因此，當(dāng)高頻率分量越來越多時，結(jié)果會成為一個以t=0為中心的極窄脈沖。我們還可以饒有興致的考慮一個發(fā)生在某一

41、時刻t=T的衰減單位脈沖的頻譜。很明顯，該脈沖必定含有當(dāng)它發(fā)生在t=0時的相同頻率分量，除非當(dāng)中的每一個都每隔T秒衰減一次。頻譜由下式給出： (3-4)項對應(yīng)于任何值和相位偏有單位幅值。如我們所知，對一個弧度/秒的頻率分量加一個弧度的相位偏移代表一個T秒的時間偏移。因此，表明所有的分量都由一個相等的幅值和一個與頻率成比例的相位偏移組成。相同結(jié)果可由拉普拉斯變換得出：一個以t=0為中心的單位脈沖的拉普拉斯變換也為1。由于移動一個時間函數(shù)T秒等價于將其拉普拉斯變換乘以，所以發(fā)生在t=T的單位脈沖為：。用s代替給出其頻譜。3.3 采集數(shù)據(jù)信號的頻譜3.3.1 離散傅里葉變換采集數(shù)據(jù)信號可以用時域和頻

42、域表達(dá)式來描述。通過用x加權(quán)的單位脈沖函數(shù)來表達(dá)采樣值x，該信號可表示為： (3-5)其中，T為采樣間隔。拉普拉斯變換為： (3-6)傅里葉變換為： (3-7)采樣數(shù)據(jù)信號的傅里葉變換通常指離散傅里葉變換（DFT）。這是基于兩個原因：其一，信號是離散的，這只有當(dāng)信號采集點是離散的才成立；其二，通常我們用數(shù)字計算機(jī)求一個采集數(shù)據(jù)信號的頻譜意味著它的傅里葉變換只能通過一系列的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行評估。這并不是說以上定義的方程是離散的，它是的連續(xù)方程；但我們只能在恰當(dāng)?shù)目臻g間隔上用計算機(jī)進(jìn)行評估，并用所得的值代表連續(xù)方程。幸運的是，正如我們接下來所看到的，此頻譜的離散表達(dá)并不意味著我們漏掉任何關(guān)鍵環(huán)節(jié)。盡管

43、寫出采集信號頻譜的表達(dá)式很容易，但是想要對其可視化處理卻不太容易。然而，此類譜的一些主要特征可以參考以下一些方法。由于采集數(shù)據(jù)信號實際上由一系列加權(quán)單位脈沖組成，而每一個這樣的脈沖包含著分布于很大范圍頻率的能量，所以可以預(yù)見到信號譜也會相應(yīng)的分布于一個“寬帶”。第二個問題是，由于諸如這些項都是在頻域內(nèi)以弧度/秒周期重復(fù)，它們的頻譜一定也是周期的。最后，我們可以合理地認(rèn)為這個波形的采樣模型譜不但反映了代表著采樣脈沖的單位脈沖的頻率特征，也反映了連續(xù)信號的分量。如圖3.1所示的兩個典型連續(xù)信號和它們的采樣模型的頻譜證明了以上觀點。例如，連續(xù)波形在有兩條譜線，該采樣模型頻譜從 到 會有無限的兩條譜線

44、，此處T為采樣間隔。一個單矩形脈沖有一個連續(xù)的 （）形狀的譜，采樣之后，這個譜會每弧度每秒重復(fù)，在這兩個采樣信號譜中，從到的低頻區(qū)域代表了連續(xù)信號波形的分量，而譜的重復(fù)則是來源于采樣過程本身。實際上，沒有任何必要去計算頻率高于采集數(shù)據(jù)信號譜，因為它肯定是從到的重復(fù)。3.3.2 快速傅里葉變換為了找到采集數(shù)據(jù)信號譜，我們很有必要去計算下列形式函數(shù)的值： = (3-8)該表達(dá)式的實部和虛部可以通過一系列恰當(dāng)?shù)臄?shù)值進(jìn)行計算。假設(shè)采樣間隔T是根據(jù)連續(xù)函數(shù)確定，一個偶數(shù)的采樣數(shù)據(jù)信號有一個純實數(shù)譜，因此只需計算余弦；相反，如果這個時間函數(shù)是奇數(shù)，則只需計算正弦。在此，我們有必要討論一下計算一個具有N個樣

45、本的信號的DFT需要多少次計算操作。正如我們所看到的，一個如此長度的信號被定義為N/2諧波和被一個余弦和一個正弦所代表。任何項的計算都要乘以每一個信號樣本值或，因此一個N個樣本的信號頻譜計算要涉及到N2個乘法。所以用于計算傅里葉變換的時間近似比例于樣本數(shù)的平方。然而，一個細(xì)致的研究指出，許多乘法運算都是重復(fù)的，而快速傅里葉變換(FFT)就是為了盡可能地減少這些重復(fù)。離散傅里葉變換的這種形式是，一種以增強(qiáng)計算效率為目的的方法或“算法”。結(jié)果顯示，當(dāng)用到FFT時，N個樣本的變換計算時間近似比例于，而當(dāng)沒有采取任何事先措施去減少重復(fù)計算時則是N2。快速傅里葉變換計算方法隨著信號樣本數(shù)目的增加而變得越

46、來越有吸引力，而當(dāng)該數(shù)目是2的整數(shù)次冪時該算法最有效。用于此種長度的信號，計算時間通?？梢砸?0到100的速率減少。3.4 z-變換3.4.1 簡介盡管描述采樣數(shù)據(jù)信號的時域特性經(jīng)常采用傅里葉變換或者拉普拉斯變換，但還有另一種變換。z變換不僅給這類信號的傅里葉變換提供了一種非常有用的簡化方式，而且也提供了一種通過用極點和零點定義信號的非常便利的方法。采樣數(shù)據(jù)信號的z變換可以簡單的通過它的拉普拉斯變換作為出發(fā)點來定義。在3.3.1節(jié)中給出信號的拉普拉斯變換為 (3-9)現(xiàn)在我們定義新的變量，并且記信號的z變換為。因此有 (3-10)是一個新的一般含有實部和虛部的頻率變量。存在 (3-11)我們已

47、經(jīng)看到這一項表明了與頻率成正比的相位偏移，因此有一個秒的固定時間延遲。相反地，項表示秒的超前時間。這說明將作為“移位算子”的一般描述方法，表明超前時間等于抽樣間隔。上面的定義清楚地表明采樣信號的變換是的冪級數(shù)，而它不同項的系數(shù)等于它的采樣值；用這種形式描述的變換，僅通過觀察就可能得出它的時間函數(shù)。例如，假定有變換 (3-12)我們可以用的冪級數(shù)重新表示為 (3-13)3.4.2 z平面的極點和零點我們已經(jīng)知道任何采樣數(shù)據(jù)信號的頻譜在形式上都是以弧度/秒重復(fù)的。既然一個信號可以通過s平面上的極零點來描述，這些點的位置和信號的頻譜有直接的關(guān)系，那么一定可以想像到這種信號在s平面上的極零點模式也在形

48、式上是重復(fù)的。連續(xù)信號的采樣形式和初始的s平面上的極零點配置相同是確實有可能的，除非所有的極零點在虛軸方向上不停的重復(fù)。用s平面極-零點描述連續(xù)信號的優(yōu)點之一是，通過分析極點和零點距虛軸連續(xù)點的矢量的長度和相位，很容易直觀地得到頻譜?？墒牵蓸訑?shù)據(jù)信號分析技術(shù)變得沒什么價值，因為僅考慮幾個有限的極點和零點。這一不足進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)z-變換的優(yōu)點，即通過幾個極點和零點就可以表示一個采樣數(shù)據(jù)信號。為了更好的理解s平面和平面上極零點的關(guān)系，對于s取一定值時，研究復(fù)變量z產(chǎn)生的過程是很有用的。這個過程一般稱為從s平面到z平面的映射。例如，假定s是一個純虛數(shù)，那么, 和 。 (3-14)如果我們現(xiàn)在考慮在z平

49、面的阿根圖上描出z的值，z的軌跡曲線隨著的變化形成一個單位圓，這個軌跡從時的實軸上開始，每隔時，重復(fù)它的軌跡。另一種是令，這里是實數(shù)，得出。如果是正數(shù)，那么結(jié)果大于1；如果是負(fù)數(shù)，那么z是一個小于1的實正數(shù)。最后一種情況是假定，得到。這時z的值表示與正實軸成的弧度，模為的矢量。只要是負(fù)值，在z平面上單位圓內(nèi)的點指定對應(yīng)于s平面上左半平面上的點。因此，整個s平面上的左半平面映射到z平面上單位圓。實際上，這并沒有引入所有的情況。假定有一個采樣數(shù)據(jù)信號，它的唯一的z平面上的極點在如圖3.2所示的右半部的B點。那么它的z變換式子為，用替換s，得出它的頻譜為。 (3-15)分母可以看成是從B點到單位圓上

50、一點的矢量。每隔改變弧度/秒，繪出整個單位圓，在頻譜上這個矢量的模和相位是重復(fù)的。因此，單個的z平面上的極點比如B點相當(dāng)于s平面上極點的重復(fù)集，而它鄰近的數(shù)在虛軸方向上相隔。圖中s平面上左半平面的B點僅是這無限集中的一點。這就解釋了為什么使用z平面簡化了采樣數(shù)據(jù)信號的極零點描述?，F(xiàn)在為了熟悉這種方法，我們將算出對應(yīng)于一些z變換的時間函數(shù)。首先考慮函數(shù) (3-16)由根式得出它有8個零點，以及它在處有一個8次冪的極點。很明顯，有兩個零點是和，其他六個零點分布在單位圓上，如圖3.3所示。此圖還表明了對應(yīng)的時間函數(shù)和頻譜，其中頻譜圖上在與之間的三個零點對應(yīng)于在z平面上的標(biāo)為A、B以及C的三個零點。如果現(xiàn)在消除時的零點，我們得出新的z變換形式為 (3-17)把它乘開得到 (3-18)對應(yīng)的時間函數(shù)由一組8個單位高度的采樣集合組成，如圖3.4所示。它的頻譜原則上不同于第一個例子，因為第一個例子具有有限個零頻率，或者叫做平均項。應(yīng)該注明的是消除時的零點模式也可以通過一個相應(yīng)的極點來達(dá)到。因此，也可以寫成以下形式。 (3-19)需要強(qiáng)調(diào)的是一個給定的z變換經(jīng)?？梢员硎境蓸O點集和零點集，而不僅僅是零點集。