線性代數(shù)與幾何

1、L/O/G/OL/O/G/O二次型第第 九九 章章 二次型起源于解析幾何中化二次曲線和二次曲面二次型起源于解析幾何中化二次曲線和二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)形的問題方程為標(biāo)準(zhǔn)形的問題. .這一理論在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、物理、這一理論在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、物理、力學(xué)及現(xiàn)代控制理論等諸多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用力學(xué)及現(xiàn)代控制理論等諸多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用. . 本章主要以矩陣為工具，討論化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形本章主要以矩陣為工具，討論化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問題，它與第七章的內(nèi)容有著緊密的聯(lián)系，如用的問題，它與第七章的內(nèi)容有著緊密的聯(lián)系，如用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形與與實(shí)對稱矩陣正交相似實(shí)對稱矩陣正交相似于對角陣于對角陣是以兩

2、種形式出現(xiàn)的同一個問題是以兩種形式出現(xiàn)的同一個問題. .一、二次型一、二次型12(,)nf x xx n元元二次型二次型是指如下形式的二次齊次多項(xiàng)式是指如下形式的二次齊次多項(xiàng)式211 112 1 213 1 31,1 1111222 223 2 32,1 2122233 33,1 313321,111,122222222222nnnnnnnnnnnnnnnnn nnnn na xa x xa x xax xa x xa xa x xax xax xa xax xa x xaxaxxax1. 定義定義 二次型及其矩陣表示二次型及其矩陣表示元元二二次次型型的的: :特特點(diǎn)點(diǎn)n12,含含 個個自自變

3、變量量；nnx xx2:,二二次次齊齊次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式 只只含含或或的的項(xiàng)項(xiàng) 無無一一次次項(xiàng)項(xiàng)和和 常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng). .iijxx x例如：例如：22( , )45f x yxxyy22( , , )2f x y zxyxzyz1234122324(,)f x xxxx xx xx x 都是二次型。都是二次型。22( , )5f x yxy22( , )22f x yxyx 不是二次型。不是二次型。特點(diǎn)特點(diǎn)：只有平方項(xiàng)，無混合乘積項(xiàng)。：只有平方項(xiàng)，無混合乘積項(xiàng)。222121 12 2(2)(,)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型nn nf x xxd xd xd x2. 二次型的矩陣形式二次型的矩陣形式為了記法方便，

4、記為了記法方便，記 ,則有則有(1, ;1, )ijjiaain jn2ij ijjij iij ija x xa x xa x x當(dāng)當(dāng) aij 為實(shí)數(shù)時，稱為實(shí)數(shù)時，稱 f 為實(shí)二次型；為實(shí)二次型；當(dāng)當(dāng) aij 為復(fù)數(shù)時，稱為復(fù)數(shù)時，稱 f 為復(fù)二次型。為復(fù)二次型。13 1 33133311 1 11,1 1122 2 22,1 2133 3 312 1 2211112 12223 23,22332 3 21,13 133111nnnnnnnnn nnnnnn n nnnnnnnnnna x xa x xa x xax xa x xax xa x xax xaxa x xa x xaa x

5、xaa x xxax xa x xa x xx xaxxxxx xa12(,)nf x xx2211 11,1 11222 22,1 21233 33,1 3112 1 2223 2 321,11211,111133332222222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnna x xa xax xa xax xa xaxaxaaa xa x xxxaxa x xxaxxxxx1111221331,11111111nnnnaxaxxxxaxaxxaxx2112222332,11222222nnnnaxaxxxxaxaxxaxx3113223333,11333333nnnnaxaxxxx

6、axaxxaxx112233,11nnnn nnnnnnnnnnaxaxaxaxaxxxxx x21 122 211 112 2222 211 11()(n nnnnn nn nnaa xa xaxa xaxxa xa xxaxxx11 112 2121 122 221 12 212( ,)n nn nnnnn nna xa xa xa xa xaxa xaxaxx xx1112112122221212( ,)nnnnnnnnaaaxaaaxx xxxaaa111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA令T12nxxxx令則二次型可表示為則二次型可表示為 AxxfT定義定義： 二次型

7、二次型 f 的矩陣的矩陣 A 的秩，稱為的秩，稱為 f 的的秩秩。由上述推導(dǎo)可以看出，任意給定一個二次型，由上述推導(dǎo)可以看出，任意給定一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型這樣，二稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型這樣，二次型與對稱矩陣之間存在次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)一一對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系我們把這個對稱矩陣我們把這個對稱矩陣 A 叫做叫做二次型二次型 f 的矩陣的矩陣；而；而把把 f 叫做叫做對稱矩陣對稱矩陣 A 的二次型的二次型。注意注意：二次型的矩陣二次型的矩陣 A 必為對稱矩陣。換句話說，必為對稱

8、矩陣。換句話說， 只有當(dāng)只有當(dāng) A 為對稱矩陣時，二次型的矩陣表達(dá)式才為對稱矩陣時，二次型的矩陣表達(dá)式才 是唯一的。是唯一的。 如果不要求如果不要求A是對稱矩陣，那么同樣一個二次型是對稱矩陣，那么同樣一個二次型可以有多種表達(dá)形式。例如：可以有多種表達(dá)形式。例如： 2122212132),(xxxxxxf2121123232),(xxxx其中其中A為對稱矩陣。為對稱矩陣。 AxxT2121212221211032),(32),(xxxxxxxxxxf21211122),(xxxx12(,)nf x xx211 112 1 213 1 31,1 1111222 223 2 32,1 2122233

9、 33,1 313321,111,122222222222nnnnnnnnnnnnnnnnn nnnn na xa x xa x xax xa x xa xa x xax xax xa xax xa x xaxaxxax11121TT2122212nnnnnnaaaaaaaaaxxx Ax 由于二次型與其對稱矩陣是一一對應(yīng)的由于二次型與其對稱矩陣是一一對應(yīng)的, ,因此研究因此研究一個二次型一個二次型 的性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為研究對稱矩的性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為研究對稱矩陣陣A 的性質(zhì)。反之亦然。的性質(zhì)。反之亦然。AxxTf2221231231 21 32 3( ,)2324f x xxxxxx xx xx x（

10、1 1）例例121112322311( ,)2212 3xx xxxx22123121 32 3( ,)3f x xxxxx xx x（2 2）1213123223132210( ,) 010 xx xxxx2221231 12 23 311123233(,)00(,)0000f x xxd xd xd xdxx xxdxdx2 2（3）3） 二、二次型的基本問題二、二次型的基本問題 特別的，當(dāng)特別的，當(dāng)A為實(shí)方陣為實(shí)方陣(未必對稱時未必對稱時)， 仍然是二次型，但該二次型的矩陣為仍然是二次型，但該二次型的矩陣為AxxTf)(21TAATT( ),.設(shè)設(shè) fxx Ax AATTTT( )( )

11、()()()()即即把把化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型nff xxCyA CyyC AC yy ByyRT12(,)ndiag d ddC ACB,(),det0求求ij n ncxCy CC222T1 12 212,(,)使使n nnfd yd yd ydiag d ddy ByB三、合同矩陣三、合同矩陣定義定義設(shè)設(shè) A,B 為為 n 階方陣階方陣(注：注：A,B 未必是對稱矩陣未必是對稱矩陣)T.與與，即即同同可可合合逆逆陣陣 ，使使ABCC ACB 合同關(guān)系是等價關(guān)系，即滿足合同關(guān)系是等價關(guān)系，即滿足（1 1）反反身身性性：；（2 2）對對稱稱性性：；（3 3）傳傳遞遞性性：且且；BBBBCC定理定理TT(1).()(2)()與與對對稱稱陣陣合合同同的的矩矩陣陣也也是是對對稱稱陣陣合合同同矩矩陣陣的的秩秩相相