完整word版兩角差的余弦公式教學設計及點評

1、兩角差的余弦公式教學設計課題兩角差的余弦公式項目內(nèi)容理論依據(jù)或設計意圖教材分析教 材 地 位 及 作 用兩角差的余弦公式是普通高中課程 標準實驗教科書人教A版數(shù)學4 （必修）中 的第三章的3.1.1 節(jié)內(nèi)容，教學課時為1課時。前兩章學生已經(jīng)學習了任意角的三角 函數(shù)和平面向量等知識，對三角函數(shù)有了一 定的認識，有利于學生接受兩角差的余弦公 式兩角差的余弦公式是三角恒等變換這 一章中的一個重要內(nèi)容，只有對兩角差的余 弦公式有了認識，才能夠以此為基礎推導其 他三角恒等變換公式。這是一個邏輯推理過 程也是一個認識三角函數(shù)式的特征，體會三 角恒等變換特點的過程課程標準教學目 使學 方祛1知識與技能（1）

2、通過對兩角差的余弦公式的推導，使學生體會應用向量解決數(shù)學問題的技能（2）通過公式的靈活應用，使學生掌握 兩角差的余弦公式的作用2.過程與方法（1）利用兩角差的余弦公式推導過程， 生體會向量在代數(shù)幾何方面運用的方標式:（2）在公式的靈活運用過程中進一步培 養(yǎng)學生分類討論思想、轉(zhuǎn)化和化歸思想、 數(shù)形結(jié)合思想3 情感態(tài)度與價值觀通過引導學生主動參與、大膽猜想獨立 探索、激發(fā)學生學習興趣，形成探究、證明、 應用的獲取知識的方式。從應用中去體會數(shù) 學的嚴謹，形成理性思維，體會向量及兩角 差的余弦公式的運用價值。根據(jù)新課程標準 的要求，從提高學生的 數(shù)學素質(zhì)和能力出發(fā)， 結(jié)合學生心理發(fā)展的 需求，以及人格

3、、情感、 價值觀的具體要求制 訂.重點：兩角差的余弦公式的運用數(shù)學教學不僅使學 生理解知識的發(fā)生過 程，更重要是培養(yǎng)學生 對知識的應用能力難難點：用兩角差余弦公式進 行簡化、計算及 逆用公式等技能6我們已經(jīng)知道 cos 45 o = cos30o =2l3.2 2由此我們能否得到cosl5 的值呢？以境激情a cos P你們同意這個觀點嗎？說說理由？通過學生熟知的 特殊角余弦值引入問 題，引發(fā)認知沖突，引 出本節(jié)課題使學生明確數(shù)學是一門 嚴謹?shù)目茖W，激勵學生 探索新知通過設問，激發(fā)學生 自覺回顧三角函數(shù)和 向量的相關(guān)知識，為公 式的探索提供思路.活動2 :（教師活動）引導學生嘗試用向量的方法來

4、 探究如何計算 cos （a P）.定義與坐標運定義式:a b* = a的44 ; 8 量式心 數(shù)公同坐標式:a b = xi X2+ yi y2 通過帶有指向性的問 題，使學生意識到， 向量方法可能是解決問 題的工具，引導學生建（學生活動）在平面直角坐標系中作單位立向量使用的數(shù)學環(huán)活動1:（教師活動）提出問題：究竟該如何計算cosJ魁于求角的余弦值這種問題，我們有哪些方法？（學生活動）回憶三角函數(shù)定義、三角 函數(shù)線以及平面向量數(shù)量積運算等相關(guān)知識境，培養(yǎng)學生自主探索 和數(shù)形結(jié)合的能力圓，以X軸非負半軸為始邊作角Ct, P,它 們的終邊與單位圓0的交點分別為A、B , 貝J A （cos a,

5、 sina B（cosP,sh 卩）;試用A、B兩點的坐標表示 ZAOB的余弦值。（教師活動）引導學生經(jīng)歷用向量方法探索 求COS& -P）,結(jié)合圖形，明確應選擇哪幾 個向量，它們怎么用坐標表示？怎樣利用 數(shù)量積計算公式得到推導結(jié)果？教學 設 計研 探 論 證（學生活動）計算0 A OB ,得到0 A 0 B =cosQcos 卩 + si sin P ；另一方面，從定義式計算0 A 0= 0 A OB cos - P ）=cos - 0 ）得出結(jié)論cos （a 一 B ）=coscos % in a si?活動3：（教師活動）引導學生思考0-P的范圍，完善公式的推導（學生活動）提出a-P的任

6、意性，而向量 夾角為0,円，學生產(chǎn)生疑惑：a-P與向 量之間的夾角B有什么關(guān)系呢？教師活動：幾何畫板動態(tài)展示，引導學生結(jié)合計算機圖形語言和三角函數(shù)誘導公式對公式的嚴密性進行論證（1產(chǎn)P迂0,兀,口_鳥二日Ek71 ;根據(jù)終邊相 （2）a0E（Ji,27i,a P= 2更在教師的引導下，通過 求兩個已知向量的夾角 問題以及三角函數(shù)定義 的應用得出新的結(jié)論， 使學生體會和認識嚴格 的推導過程是獲取數(shù)學 結(jié)論的方法。由學生得 到結(jié)論，讓學生在數(shù)學 課上體會成 功.由于向量工具已被引 入，因此將問題歸結(jié)為 角度問題，選用向量方 法推導公式，使得公式 的得出成為一個純粹 的代數(shù)運算過程，大大 降低了思考

7、難度另 外，在公式的完善過程 中，學生用對比、聯(lián)系、 化歸的觀點去分析問 題、處理問題，使他們 在建立公式的過程中 發(fā)展邏輯推理能力和 對知識的遷移應用同的角的性質(zhì)， : cos 0 -卩）=co活動4：（教師活動）引導學生說出兩角差的余弦公 式的結(jié)構(gòu)特點培養(yǎng)學生用自己的 語言描述公式特征的 表達能力。加深對公 式的印象，掌握公式 特點，為下一步公式 的應用做好鋪墊（學生活動）發(fā)現(xiàn)公式左邊是差角的余弦，右邊是單角同名三角函數(shù)值乘積之和.研 探 論證教學 設 計學生到此刻，能夠利用 本課新發(fā)現(xiàn)的兩角差的 余弦公式解決這個問 題，呼應前面，同時讓 學生獲得了成果的數(shù)學 體驗通過正、余弦之間的轉(zhuǎn) 化

8、；非特殊角與特殊角 之間的轉(zhuǎn)化，進一步鞏 固公式的應用，滲透化 歸的數(shù)學思想.對題目進行解析，使學 生形成解決這類問題的 基本思路.在講評例題的過程 中注重在表述規(guī)范性 上作出點評和要求，提 高學生的數(shù)學表達能 力.使學生獨立完成證明， 培養(yǎng)學生獨立思考的數(shù) 學思維品質(zhì)和對數(shù)學知 識前后聯(lián)系，建立數(shù)學 知識網(wǎng)絡的能力活動5：例題分析（教師活動）講評例1 利用兩角差的余弦公式求cosl5 的值.這是通過應用理解公式最基礎的練 習，在講評過程中引導學生注意以下幾個 要點：（1）三角變換關(guān)注角的拆分，易于理解（2）由于是具體角，拆分過程容易進行（3）拆分的多樣性，決定變換的多樣性（學生活動）求出sh

9、 75的值（1）通過誘導公式轉(zhuǎn)化為cosl5 :（2）轉(zhuǎn)化為先利用 cos（120-45 求 cos75：再用同角關(guān)系求sh75 （教師活動）講評例題2：TTb已矢口 sin（X =4, a 芒 G-卩），cos P =是5213第三象限角，求cos（a 一卩）的值.引導學生分析問題，形成如下思路：結(jié)合余弦公式，欲求cos（ a -卩）的值，必先知道sincos a,sin 0 ,coF 的值，然后利用公式C（oM即可求解，注意角0 P所在的象限，準確判斷它們的三角函數(shù)值的符號 活動6：課堂練習（學生活動）711、證明 cose-a）=siia2（教師活動）對學生的證明過程進行點 評，使學生認

10、識到該誘導公式是兩角差余弦 公式的特殊情形.反（學生活動）學生上臺演板，是本節(jié)饋學生上臺演板，運用公式解決以下問題：課教學的重要一環(huán)，能練2、已知cos = 一彳，柑兀（yr）,充分調(diào)動學生學習數(shù)學習52的實踐活動能力，使教求cos色_ a的值師了解學生學習情況，4是激發(fā)學生學習興趣的 有效途徑教（教師活動）對學生的計算過程的每一步進 行點評，是學生認識到兩角差余弦公式使用 時注意利用特殊角的正弦值余弦值.通過問題的設計，注（學生活動）先請一位同學在黑板上演重培養(yǎng)學生分類討論的學示，然后再向全體同學講解：數(shù)學思想，在解題的過15程中培養(yǎng)學生思維的嚴3、已知sh 9 =一，堤第二象限角，密性和邏

11、輯的條理性，17同時注重對學生的表述求cos 一）的值規(guī)范性的指導設3（教師活動）找?guī)追菥哂写硇缘慕獯鹜队嬘?，讓同學們點評.引導學生認識到（學生活動）學生認真審題，求解問題 、已知sin =一兀孚 P =3CCA要使用兩角差余弦公 式，應該運用同角三 角函數(shù)關(guān)系對四個數(shù) 據(jù)作出準備，培養(yǎng)學 生“舉一反三”的解 決數(shù)學問題的能力3r彳2卩己-,2兀），求cos他一a）的值.2（教師活動）對學生表述的步驟是否規(guī)范 作出必要的點評和要求。引導學生一定要弄 清角的范圍，準確判斷三角函數(shù)值的符號.活動7：變式訓練（學生活動）應用本課所學的公式進行以下計算： OO +oa .1 cos60 cosl5

12、sin 60 sinl5 ?在練習中加深對公式結(jié)四兀71構(gòu)和功能的認識，使學變2、cosa +十9 sli?生熟練、靈活運用公式33式；掌握三角式變換的（教師活動）點評，不僅要會公式的正用而特點，培養(yǎng)學生公式的訓且要注意公式的逆用和變形應用逆用能力.練8（學生活動）應用公式計算：33、已知 sh（30）Q+a =60cia 證明 cos (a )= sh22、已矢口 cos a = - ,ot c (IL.兀 ),52兀求cos( -a )的值.43、己知sh 60是第二象限角，17aK求cos - )的值3、 己知 sinct = 2- a G(3=3 ,324P 求 cos(3 a 的值2

13、學生上臺演板，是本節(jié)課教學的重要一環(huán)， 能充分調(diào)動學生學習數(shù)學的實踐活動能力， 使 教師了解學生學習情況，是激發(fā)學生學習興趣 的有效途徑通過問題的設計，注重培養(yǎng)學生分類討論 的數(shù)學思想，在解題的過程中培養(yǎng)學生思維的 嚴密性和邏輯的條理性，同時注重對學生的表 述規(guī)范性的指導引導學生認識到要使用兩角差余弦公式， 應該運用同角三角函數(shù)關(guān)系對四個數(shù)據(jù)作出 準備，培養(yǎng)學生 “舉一反二”的解決數(shù)學問 題的能力扇兀變式豫1、cos60 cosl5+sin 60 shl5 = ?/Il、./71.c2、cos& + ； cost +sin (a + ci sii?3333、己知 sii(30Q + a 弐鹽

14、a 150,5求cosa的值在練習中加深對公式結(jié)構(gòu)和功能的認識， 使學生熟練、靈活運用公式；掌握三角式變換 的特點，培養(yǎng)學生公式的逆用能力.六、教學評價分析1本節(jié)課采用“創(chuàng)設情境提出問題探索嘗試啟發(fā)引導解決問題”的過程來 實現(xiàn)教學目標。有利于知識產(chǎn)生、發(fā)展、解決這一認知過程的完整體現(xiàn)。2. 在得到兩角差的余弦公式后，使學生進一步體會代數(shù)思想的深刻性。通過對公式的認 識，例題的講解，變式的強化訓練，可以加深學生對公式特征的印象，及靈活應用公式解題 的能力。3. 在教學手段上使用多媒體技術(shù)，使重點得到突出，抽象變得直觀，有效增加課堂容量， 激發(fā)學生的學習興趣，提高教學效率。4. 面對不同程度的教學

15、對象，在教學時間上和作業(yè)的布置中，突出了學生學習的個體差異 現(xiàn)實，但也要視教學對象的接受程度進行靈活的刪減。16兩角差的余弦公式教學設計點評省級骨干教師周凈兩角差的余弦公式是普通高中課程標準實驗教科書人教 A版數(shù)學4（必 修）第三章的3.1.1節(jié)內(nèi)容，教學課時為1課時。本節(jié)課教師采用了活動教學法， 將獲取知識的猜想、論證和應用過程分解成為 7個教學活動，在活動中通過教 師的問來啟發(fā)引導學生，通過學生的練來鞏固知識，是高效課堂的典型模式之 一。本節(jié)課有以下4個特點：1. 體現(xiàn)了教師在教學中的主導地位。教師在本節(jié)課的教學活動中主要是通過問 題創(chuàng)設情境，激發(fā)學生的求知欲，在學生探究新知時對學生的方向

16、和方法加以指 導，在例題分析時注重啟發(fā)學生的思路和規(guī)范學生的表達，在反饋練習和變式訓 練環(huán)節(jié)組織和激勵學生獨立思考，觀察和點評學生的知識掌握情況，讓學生動腦 動手，積極參與到課堂，充分體現(xiàn)了教師作為課堂組織者的導學作用。2. 體現(xiàn)了學生在教學中的主體地位。學生在公式的探索過程中，通過思考和回 答教師有指向性的問題和與教師及學生之間的討論，得出公式推導過程，學生 感受到獲得新知識的成就感；在練的環(huán)節(jié)，由學生上臺演板，教師巡視學生解 題的情況，能夠激發(fā)學生的學習積極性，讓學生都在課堂中動起來；對學生演 板的情況給予了誠懇的點評，同時對其他同學做的情況用投影儀展示，不僅能 使學生在課堂得到成功的體驗，還能夠注意到一些解題過程中的細節(jié)問題。本 節(jié)課學生在整堂課中精神飽滿，積極參與，認真完成了教師設計的各項任務， 學習效果好。3. 詳略得當，重難點突出。本節(jié)課的重難點是公式的應用，在公式推導環(huán)節(jié)教師對兩角差的任意性問題上處理得當，引導學生用三角誘導公式解決該問題， 既不會在內(nèi)容上宣賓奪主，又培養(yǎng)了學生數(shù)學思維的嚴謹品質(zhì)?；顒?、6、7 是本節(jié)課的主體部分，學生在這 3項教學活動中通過典型的例題和反饋練習， 充分掌握了公式的直接應用和逆用的技巧，突破了教學重難點。4. 注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。本課的例題與練習題的設置有針對性，強調(diào)了基本 知識點和學生