高二數(shù)學(3.1數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念(2課時))

1、第三章第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入3.1.1 3.1.1 數(shù)系的擴充和復數(shù)數(shù)系的擴充和復數(shù) 的概念的概念問題提問題提出出 1. 1.數(shù)的概念產(chǎn)生和發(fā)展的歷史進程：數(shù)的概念產(chǎn)生和發(fā)展的歷史進程： 正分數(shù)正分數(shù)正無理數(shù)正無理數(shù)零和負數(shù)零和負數(shù)N NQ QR RR R數(shù)系每次擴充的基本原則：數(shù)系每次擴充的基本原則： 第一、增加新元素；第一、增加新元素； 第二、原有的運算性質(zhì)仍然成立；第二、原有的運算性質(zhì)仍然成立； 第三、新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾第三、新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾. . 2. 2.若若 ，則，則 對此你有什么困惑？對此你有什么困惑？11xx+=22211()21

2、.xxxx+=+-= -問題提問題提出出3.3.唯物辨證法認為，唯物辨證法認為，事物是發(fā)展變化的，事物是發(fā)展變化的，事物內(nèi)部的矛盾運動是推動事物向前發(fā)事物內(nèi)部的矛盾運動是推動事物向前發(fā) 展的根本動力展的根本動力. .由于實數(shù)的局限性，導致由于實數(shù)的局限性，導致 某些數(shù)學問題出現(xiàn)矛盾的結(jié)果，數(shù)學家某些數(shù)學問題出現(xiàn)矛盾的結(jié)果，數(shù)學家 們預測，在實數(shù)范圍外還有一類新數(shù)存在，們預測，在實數(shù)范圍外還有一類新數(shù)存在，還有比實數(shù)集更大的數(shù)系還有比實數(shù)集更大的數(shù)系. .問題提問題提出出 1 1、由、由 得得 ，這與這與 矛盾的原因是什么？矛盾的原因是什么？11xx+=2211xx+= -2210 xx+ 方程

3、方程x x2 2x x1 10 0無實根無實根 2 2、方程、方程x x2 2x x1 10 0無實根的根本原無實根的根本原因是什么？因是什么？1 1不能開平方不能開平方 問題探問題探究究3 3、我們設想引入一個新數(shù)，用字母、我們設想引入一個新數(shù)，用字母i i表表示，使這個數(shù)是示，使這個數(shù)是1 1的平方根，即的平方根，即 i i2 21 1，那么方程，那么方程x x2 2x x1 10 0的根是什的根是什么？么？1322i問題提問題提出出4 4、若、若x x4 41 1，利用，利用i i2 21,1,則則x x等于等于什么？什么？1 1，1 1，i i，i. i. 問題提問題提出出5 5、滿足

4、、滿足i i2 21 1的新數(shù)的新數(shù)i i顯然不是實數(shù)，顯然不是實數(shù)， 稱為稱為虛數(shù)單位虛數(shù)單位，根據(jù)數(shù)系的擴充原則，根據(jù)數(shù)系的擴充原則， 應規(guī)定虛數(shù)單位應規(guī)定虛數(shù)單位i i和實數(shù)之間的運算滿和實數(shù)之間的運算滿 足哪些運算律？足哪些運算律？乘法和加法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法和加法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律乘法對加法滿足分配律. .問題探問題探究究6 6、設、設aRR，下列運算正確嗎？，下列運算正確嗎？aiia+=+a ii a=()aiai -= -32iiii= -21iiii= -問題探問題探究究1 1、虛數(shù)單位、虛數(shù)單位i i與實數(shù)進行四則運算，與實數(shù)進行四則運算，可以

5、形成哪種一般形式的數(shù)？可以形成哪種一般形式的數(shù)？ abi i（a，bRR）2 2、把形如、把形如abi i（a，bRR）的數(shù)叫做）的數(shù)叫做復數(shù)復數(shù)，全體復數(shù)所成的集合叫做，全體復數(shù)所成的集合叫做復數(shù)集復數(shù)集，記作記作C C，那么復數(shù)集如何用描述法表示？，那么復數(shù)集如何用描述法表示？ C C abi|i|a，bRR問題探問題探究究3 3、復數(shù)通常用字母、復數(shù)通常用字母z z表示，即表示，即 z zabi i（a，bRR），這一表示形式），這一表示形式叫做復數(shù)的叫做復數(shù)的代數(shù)形式代數(shù)形式，其中，其中a與與b分別分別叫做復數(shù)叫做復數(shù)z z的的實部實部與與虛部虛部，那么復數(shù)，那么復數(shù) z z 3i3i

6、的實部和虛部分別是什么？的實部和虛部分別是什么？2實部為實部為 , ,虛部為虛部為3.3.2問題探問題探究究4 4、兩個實數(shù)可以相等，兩個復數(shù)也、兩個實數(shù)可以相等，兩個復數(shù)也可以相等，并且規(guī)定：可以相等，并且規(guī)定：abi icdi i（a，b，c，dRR）的充要條件是）的充要條件是ac且且bd，那么那么abi i0 0的充要條件的充要條件是什么？是什么？ ab0 0問題探問題探究究5 5、對于復數(shù)、對于復數(shù)z zabi i（a，bRR）當當b b0 0時，時，z z為什么數(shù)？由此說明實為什么數(shù)？由此說明實數(shù)集與復數(shù)集的關(guān)系如何？數(shù)集與復數(shù)集的關(guān)系如何？當當b0 0時時z z為實數(shù)為實數(shù). .

7、實數(shù)集實數(shù)集R R是復數(shù)集是復數(shù)集C C的真子集的真子集. . 問題探問題探究究6 6、對于復數(shù)、對于復數(shù)z zabi i（a，bRR）當）當b00時，時，z z叫做叫做虛數(shù)虛數(shù)，當，當a0 0且且b00時，時，z z叫做叫做純虛數(shù)純虛數(shù)，那么虛數(shù)集與純，那么虛數(shù)集與純虛數(shù)集之間如何？虛數(shù)集之間如何？ 純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集. . 問題探問題探究究7 7、復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛、復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系用韋恩圖怎樣表示？數(shù)集之間的關(guān)系用韋恩圖怎樣表示？ 復數(shù)復數(shù)實數(shù)實數(shù)虛數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)問題探問題探究究8 8、兩個實數(shù)可以比較大小，一個實數(shù)與

8、、兩個實數(shù)可以比較大小，一個實數(shù)與一個虛數(shù)或兩個虛數(shù)可以比較大小嗎？一個虛數(shù)或兩個虛數(shù)可以比較大小嗎？ 虛數(shù)不能比較大小虛數(shù)不能比較大小. . 例例1 1 實數(shù)實數(shù)m取什么值時，復數(shù)取什么值時，復數(shù)z zm1 1( (m1)i1)i分別是實數(shù)，分別是實數(shù)，虛數(shù)和純虛數(shù)？虛數(shù)和純虛數(shù)？ 當當m1 1時，時，z z是純虛數(shù)是純虛數(shù). . 典例講典例講評評當當m1時，時，z是實數(shù)；是實數(shù)；當當m1時，時，z是虛數(shù)；是虛數(shù)； 例例2 2 設復數(shù)設復數(shù)z z1 1(x(xy)y)(x(x3)i3)i，z z2 2(3x(3x2y)2y)yiyi，若，若z z1 1z z2 2，求實數(shù)，求實數(shù)x x，y

9、y的值的值. . x x9 9，y y6. 6. 典例講典例講評評 1. 1.將實數(shù)系擴充到復數(shù)系是源于解將實數(shù)系擴充到復數(shù)系是源于解方程的需要，到十九世紀中葉已建立方程的需要，到十九世紀中葉已建立了一套完整的復數(shù)理論，形成一個獨了一套完整的復數(shù)理論，形成一個獨立的數(shù)學分支立的數(shù)學分支. .課堂小課堂小結(jié)結(jié) 2. 2.虛數(shù)單位虛數(shù)單位i i的引入解決了負數(shù)不能的引入解決了負數(shù)不能開平方的矛盾，并將實數(shù)集擴充到了復開平方的矛盾，并將實數(shù)集擴充到了復數(shù)集，它使得任何一個復數(shù)都可以寫成數(shù)集，它使得任何一個復數(shù)都可以寫成 abi（a，bR）的形式的形式. .課堂小課堂小結(jié)結(jié) 3.3.復數(shù)包括了實數(shù)和虛

10、數(shù)，實數(shù)復數(shù)包括了實數(shù)和虛數(shù)，實數(shù)的某些性質(zhì)在復數(shù)集中不成立，如的某些性質(zhì)在復數(shù)集中不成立，如x x2 200； 若若x xy y0 0，則，則x xy y等，今后等，今后在數(shù)學解題中，如果沒有特殊說明，在數(shù)學解題中，如果沒有特殊說明，一般都在實數(shù)集內(nèi)解決問題一般都在實數(shù)集內(nèi)解決問題.課堂小課堂小結(jié)結(jié)P P104104練習：練習：1 1，2 2，3.3. P P106106習題習題3.1A3.1A組：組：1 1，2.2.布置作布置作業(yè)業(yè)3.1 3.1 數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念3.1.2 3.1.2 復數(shù)的幾何意義復數(shù)的幾何意義 1. 1.虛數(shù)單位虛數(shù)單位i i的基本特征是什

11、么？的基本特征是什么？（1 1）i i2 21 1； （2 2）i i可以與實數(shù)進行四則運算，且原可以與實數(shù)進行四則運算，且原有的加、乘運算律仍然成立有的加、乘運算律仍然成立. . 復習鞏復習鞏固固 2. 2.復數(shù)的一般形式是什么？復數(shù)相復數(shù)的一般形式是什么？復數(shù)相等的充要條件是什么？等的充要條件是什么？ abi i（a，bR R）；）； 實部和虛部分別相等實部和虛部分別相等. . 復習鞏復習鞏固固 3. 3.實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的含義分別實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的含義分別如何？如何？ 設設z zabi i（a，bRR）. .當當b b0 0時時z z為實數(shù)；為實數(shù)；當當b b00時，時，z z為虛數(shù)

12、；為虛數(shù)；當當a0 0且且b b00時，時，z z為純虛數(shù)為純虛數(shù). . 復習鞏復習鞏固固 4. 4.復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系如何？純虛數(shù)集之間的關(guān)系如何？復數(shù)復數(shù)實數(shù)實數(shù)虛數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)純虛數(shù)復習鞏復習鞏固固 5. 5.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，從實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，從而實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，這而實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，這是實數(shù)的幾何意義，根據(jù)類比推理，是實數(shù)的幾何意義，根據(jù)類比推理，復數(shù)也應有它的幾何意義復數(shù)也應有它的幾何意義. .因此，探究因此，探究復數(shù)的幾何意義就成為一個新的學習復數(shù)的幾何意義就成為一個新的學習內(nèi)容內(nèi)容. . 提出

13、問提出問題題1 1、在什么條件下，復數(shù)、在什么條件下，復數(shù)z z惟一確定？惟一確定？ 給出復數(shù)給出復數(shù)z z的實部和虛部的實部和虛部2 2、設復數(shù)、設復數(shù)z zabi i（a，bRR），以），以z z的實部和虛部組成一個有序?qū)崝?shù)對的實部和虛部組成一個有序?qū)崝?shù)對（a，b），那么復數(shù)），那么復數(shù)z z與有序?qū)崝?shù)對與有序?qū)崝?shù)對（a，b）之間是一個怎樣的對應關(guān)系？）之間是一個怎樣的對應關(guān)系？ 一一對應一一對應問題探問題探究究3 3、有序?qū)崝?shù)對（、有序?qū)崝?shù)對（a，b）的幾何意義是什的幾何意義是什么？復數(shù)么？復數(shù)z zabi i（a，bRR）可以用什）可以用什么幾何量來表示？么幾何量來表示？ 復數(shù)復數(shù)z

14、zabi i（a，bRR）可以用直角）可以用直角坐標系中的點坐標系中的點Z Z（a，b）來表示）來表示. .x xy yO Oab bZ Z：abi i問題探問題探究究用直角坐標系來表示復數(shù)的坐標平面用直角坐標系來表示復數(shù)的坐標平面叫做叫做復平面復平面，x x軸叫做軸叫做實軸實軸，y y軸叫做軸叫做虛軸虛軸. .形成結(jié)形成結(jié)論論一般地，實軸上的點，虛軸上的點，各一般地，實軸上的點，虛軸上的點，各象限內(nèi)的點分別表示什么樣的數(shù)？象限內(nèi)的點分別表示什么樣的數(shù)？x xy yO Oab bZ Z：abi i實軸上的點表示實數(shù)，實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點除原點外虛軸上的點除原點外都表示純虛數(shù)，各象都表

15、示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點表示虛部不限內(nèi)的點表示虛部不為零的虛數(shù)為零的虛數(shù). . 形成結(jié)形成結(jié)論論1 1、用有向線段表示平面向量，向量的、用有向線段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所確定？大小和方向由什么要素所確定？ 有向線段的始點和終點有向線段的始點和終點. . 2 2、用坐標表示平面向量，如何根據(jù)向、用坐標表示平面向量，如何根據(jù)向量的坐標畫出表示向量的有向線段？量的坐標畫出表示向量的有向線段？ 以原點為始點，向量的以原點為始點，向量的坐標對應的點為終點畫坐標對應的點為終點畫有向線段有向線段. . x xy yO O(a，b)問題探問題探究究3 3、在復平面內(nèi)，復數(shù)、在復平面內(nèi)，復數(shù)z

16、zabi i（a，bR R）用向量如何表示？）用向量如何表示？x xy yO Oab bZ Z：abi i以原點以原點O O為始點，點為始點，點Z Z（a，b）為終點的）為終點的向量向量 . .O Zuuu r問題探問題探究究4 4、復數(shù)、復數(shù)z zabi i（a，bRR）可以用向量）可以用向量 表示，向量表示，向量 的模叫做復數(shù)的模叫做復數(shù)z z的的模模，記作，記作|z|z|或或| |abi|i|，那么，那么| |abi|i|的計算公式的計算公式是什么？是什么？O Zuuu rO Zuuu r22|abiab+=+x xy yO Oab bZ Z：abi i問題探問題探究究5 5、設向量、設

17、向量a，b分別表示復數(shù)分別表示復數(shù)z z1 1，z z2 2，若若ab，則復數(shù)，則復數(shù)z z1 1與與z z2 2的關(guān)系如何？的關(guān)系如何？ 規(guī)定：相等的向量表示同一個復數(shù)規(guī)定：相等的向量表示同一個復數(shù). .6 6、若、若|z|z|1 1，|z|z|1 1，則復數(shù)，則復數(shù)z z對應對應復平面內(nèi)的點的軌跡分別是什么？復平面內(nèi)的點的軌跡分別是什么？ 單位圓，單位圓內(nèi)部單位圓，單位圓內(nèi)部. .問題探問題探究究 例例1 1 已知復數(shù)已知復數(shù)對應的點在直線對應的點在直線x x2y2y1 10 0上，求實數(shù)上，求實數(shù)m的值的值. .222l og (33)l og (3)zmmim=-+-15m=典例講典例

18、講評評 例例2 2 若復平面內(nèi)一個正方形的三個頂若復平面內(nèi)一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別為點對應的復數(shù)分別為z z1 11 12i2i，z z2 22 2i i，z z3 31 12i2i，求這個正方形第四個頂，求這個正方形第四個頂點對應的復數(shù)點對應的復數(shù). .x xy yO OZ Z1 1Z Z2 2Z Z3 3Z Z4 4z z4 42 2i i 典例講典例講評評 例例3 3 設復數(shù)設復數(shù) ，若若|z|5|z|5，求，求x x的取值范圍的取值范圍. .12l og4zxi=+1(0, 8,)8x+ U典例講典例講評評1.1.復數(shù)集復數(shù)集C C和復平面內(nèi)所有的點所成的集和復平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應的，即合是一一對應的，即復數(shù)復數(shù)z zabi i 復平面內(nèi)的點復平面內(nèi)的點 Z Z（a，b）一一對應一一對應2.2.復數(shù)