高等數(shù)學教學課件匯編107

1、10.7 10.7 斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度n 是有向曲面是有向曲面 的的正向邊界曲線正向邊界曲線 右手法則右手法則對有向曲面的側與其邊界曲線的方向作如對有向曲面的側與其邊界曲線的方向作如下規(guī)定下規(guī)定: 當右手除拇指外的四指依當右手除拇指外的四指依 的繞的繞行方向時行方向時,拇指所指的方向即有向曲面拇指所指的方向即有向曲面 的側的側. (右手法則右手法則)一一、 斯托克斯斯托克斯( stokes ) 公式公式 yxypxqxzxrzpzyzqyrddddddzryqxpddd (斯托克斯公式斯托克斯公式) rdzqdypdxrqpzyxd

2、xdydzdxdydzrdzqdypdxdsrqpzyxcoscoscos另一種形式另一種形式cos,cos,cos n其中其中便于記憶形式便于記憶形式stokesstokes公式的實質(zhì)公式的實質(zhì): : 表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系上的曲線積分之間的關系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形( (當是當是xoy面的平面閉區(qū)域時面的平面閉區(qū)域時) )證明證明如圖如圖設設與與平平行行于于z軸軸的的直直線線相相交交不不多多于于一一點點, , 并并取取上上側側, ,有有向向曲曲線線 c c 為為的的正正向向邊

3、邊界界曲曲線線 在在xoy的的投投影影. .且且所所圍圍區(qū)區(qū)域域xyd. .xyzo),(:yxfz xyd cn則則xzyxpd),(cxyxzyxpd),(,(利用格林公式利用格林公式) yxyxzyxpyyxddd),(,(yxyzzpypyxddd,) 1 ,(), 0(dxdyyzzpypdxdyyzxzypzpdxdyypdzdxzpxyxyddxzyxpd),(yxypxzzpdddd因此因此同理可證同理可證yzyxqd),(zyzqyxxqddddxzyxrd),(xzxrzyyrdddd三式相加三式相加, 即得斯托克斯公式即得斯托克斯公式 ;例例 1 1 計計算算曲曲線線積積

4、分分ydzxdyzdx , ,其其中中 是是平平面面1 zyx被被三三坐坐標標面面所所截截成成的的三三角角形形的的整整個個邊邊界界, ,它它的的正正向向與與這這個個三三角角形形上上側側的的法法向向量量之之間間符符合合右右手手規(guī)規(guī)則則. .二、簡單的應用二、簡單的應用0 xydxyzn111解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有dzyxdyzdx yxzzyxdxdydzdxdydzxyddxdy3xyo11xyd23 dxdydzdxdydzxydyxdxdyzz) 1 ,() 1 , 1 , 1 (例例2. 為柱面為柱面與平面與平面 y = z 的交線的交線,從從 z 軸正向看為順時針

5、軸正向看為順時針, 計算計算.ddd2zxzyxyxyioz2yx解解: 設設 為平面為平面 z = y 上被上被 所圍部分上側所圍部分上側,0cos利用斯托克斯公式得利用斯托克斯公式得sidszyd)(210則其則其方向余弦為方向余弦為,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222),1, 1 , 0(n法向量為三、環(huán)流量與旋度三、環(huán)流量與旋度.),(),(),(),(按所取方向的環(huán)流量按所取方向的環(huán)流量沿曲線沿曲線稱為向量場稱為向量場上的曲線積分上的曲線積分中某一封閉的有向曲線中某一封閉的有向曲線則沿場則沿場設向量場設向量場cardzqdypdxsdacakzyxrjzyxqizyxpzyxacc 1. 1. 環(huán)流量的定義環(huán)流量的定義: :2. 2. 旋度的定義旋度的定義: