2021高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練二基礎(chǔ)小題練透熱點(diǎn)專練5數(shù)學(xué)文化含解析

1、熱點(diǎn)專練熱點(diǎn)專練 5 5數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)文化一、單項(xiàng)選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2020遼寧五校模擬)歐拉公式 ei10 因?yàn)榉浅：?jiǎn)潔地融合了數(shù)學(xué)中最基本的五個(gè)常數(shù)(自然對(duì)數(shù)的底數(shù) e，圓周率，虛數(shù)單位 i，自然數(shù)單位 1，以及 0)而被人們稱為世間最美數(shù)學(xué)公式，由公式中數(shù)值組成的集合 ae，i，1，0，則集合 a 中不含無(wú)理數(shù)的子集共有()a.8 個(gè)b.7 個(gè)c.4 個(gè)d.3 個(gè)解析歐拉公式中數(shù)值組成的集合 a 中不是無(wú)理數(shù)的元素一共有 3 個(gè)，故共有 238(個(gè))子集.故選 a.答案a2.(2020全國(guó)卷)埃

2、及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()a.514b.512c.514d.512解析設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長(zhǎng)為 a，高為 h，側(cè)面三角形底邊上的高(斜高)為 h.由已知得 h212ah.又h2h2a22，h212ah14a2，ha212ha140，解得ha514(負(fù)值舍去).故選 c.答案c3.(2020成都模擬)孫子算經(jīng)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題： “今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆.問(wèn)：五人各得幾何？”其意思為：有 5 個(gè)人分

3、 60 個(gè)橘子，他們分得的橘子數(shù)成公差為 3 的等差數(shù)列，問(wèn) 5 人各得多少個(gè)橘子？這個(gè)問(wèn)題中，得到橘子最多的人所得的橘子個(gè)數(shù)是()a.15b.16c.18d.21解析設(shè)得到橘子最少的人的橘子個(gè)數(shù)為 a1.由題意，得 5a1542360，解得 a16.所以得到橘子最多的人所得橘子的個(gè)數(shù)為 a1(51)361218.故選 c.答案c4.(2020廣州一模)中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造，算籌實(shí)際上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍.如圖，是利用算籌表示數(shù)的一種方法.例如：3 可表示為“”，26 可表示為“”.現(xiàn)有 6 根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用 19 這 9 數(shù)字表示

4、兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為()a.13b.14c.15d.16解析根據(jù)題意，現(xiàn)有 6 根算籌，可以表示的數(shù)字組合為 1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，3；3，7；7，7.數(shù)字組合 1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，7 中，每組可以表示 2 個(gè)兩位數(shù)，則可以表示 2714 個(gè)兩位數(shù).數(shù)字組合 3，3；7，7 中，每組可以表示 1個(gè)兩位數(shù).則可以表示 212 個(gè)兩位數(shù)，則一共可以表示 14216 個(gè)兩位數(shù)，故選 d.答案d5.(2020青島調(diào)研)八卦是中國(guó)道家文化的深?yuàn)W概念，是一套用三組陰陽(yáng)組成的哲學(xué)符號(hào).八卦表示事物自身變化的陰陽(yáng)系統(tǒng)，用“”代表陽(yáng)，用“”代表陰，用這兩種

5、符號(hào)，按照大自然的陰陽(yáng)變化平行組合， 組成八種不同的形式(如圖所示).從圖中的八卦中隨機(jī)選取一卦， 則卦中恰有兩個(gè)“”的概率為()a.12b.14c.38d.18解析由圖可知，恰有兩個(gè)“”的是坎、艮、震，根據(jù)古典概型及其概率的計(jì)算公式，可得所求概率為38.答案c6.(2020新高考山東、海南卷)日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為 o)， 地球上一點(diǎn) a 的緯度是指 oa 與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn) a 處的水平面是指過(guò)點(diǎn) a 且與 oa 垂直的平面.在點(diǎn) a 處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn) a 處的緯度為

6、北緯 40，則晷針與點(diǎn) a 處的水平面所成角為()a.20b.40c.50d.90解析示意圖如圖所示，o 所在平面為地球赤道所在平面，o1所在平面為點(diǎn) a 處的日晷的晷面所在的平面，由點(diǎn) a 處的緯度為北緯 40可知oao140，又點(diǎn) a 處的水平面與 oa垂直，晷針 ac 與o1所在的平面垂直，則caboao140，故晷針 ac 與點(diǎn) a 處的水平面所成角為 40.故選 b.答案b7.(2019全國(guó)卷)古希臘時(shí)期， 人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是5125120.618，稱為黃金分割比例)， 著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外， 最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚

7、臍的長(zhǎng)度之比也是512.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為 105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為 26 cm，則其身高可能是()a.165 cmb.175 cmc.185 cmd.190 cm解析依題意可知accd512，abbc512，(1)腿長(zhǎng)為 105 cm，即 cd105，ac512cd64.890，adaccd64.890105169.890，所以 ad169.890.(2)頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為 26 cm，即 ab26，bc2ab5142.071，acabbc68.071，cd2ac51110.147，adaccd68.071110.147178.218，綜上，169.89

8、0ad0，b0).由題意可得雙曲線的漸近線方程為 y33x，即ba33，所以離心率 eca1ba22 33.答案a二、多項(xiàng)選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得 5 分，部分選對(duì)的得 3 分，有選錯(cuò)的得 0 分.9.(2020濟(jì)寧模擬)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù) f(x)，存在一個(gè)點(diǎn) x0，使得 f(x0)x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是()a.f(x)ln xb.

9、f(x)x22x3c.f(x)2x21，x1，|2x|，x1d.f(x)x1x解析對(duì)于 a，由于 xx1ln x，所以 ln xx 無(wú)解，因而該函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；對(duì)于 b，令 x22x3x，得 x2x30，因?yàn)?4(3)0，所以方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；對(duì)于 c，當(dāng) x1 時(shí)，令 2x21x，得 x12或 x1，從而該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；對(duì)于 d，令 x1xx，得1x0，無(wú)解，因而該函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù).故選 bc.答案bc10.(2020濟(jì)南模擬)德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著顯著成就，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名的函數(shù) f(x)1，x 為有理

10、數(shù)，0，x 為無(wú)理數(shù).關(guān)于 f(x)，下列說(shuō)法正確的是()a.xr，f(f(x)1b.函數(shù) f(x)是偶函數(shù)c.對(duì)于任意一個(gè)非零有理數(shù) t，f(xt)f(x)對(duì)任意 xr 恒成立d.存在三個(gè)點(diǎn) a(x1，f(x1)，b(x2，f(x2)，c(x3，f(x3)，使得abc 為等邊三角形解析xr，f(x)0，1，f(f(x)1，a 正確；f(x)1，x 為有理數(shù)，0，x 為無(wú)理數(shù)1，x 為有理數(shù)，0，x 為無(wú)理數(shù)f(x)，則函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，b 正確；f(xt)1，xt 為有理數(shù)，0，xt 為無(wú)理數(shù)1，x 為有理數(shù)，0，x 為無(wú)理數(shù)f(x)，c 正確；易知 a33，0，b(0，1)，c33，

11、0三點(diǎn)所連線構(gòu)成等邊三角形，d 正確.故選 abcd.答案abcd11.(2020重慶質(zhì)檢)我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異.”意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.已知曲線 c：yx2，直線 l 為曲線 c 在點(diǎn)(1，1)處的切線.如圖所示，陰影部分為曲線 c、直線 l 以及 x 軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體為.給出以下四個(gè)幾何體：圖 1 是底面直徑和高均為 1 的圓錐；圖 2 是將底面直徑和高均為 1 的圓柱挖掉一個(gè)與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；圖 3 是底

12、面邊長(zhǎng)和高均為 1 的正四棱錐；圖 4 是將上底面直徑為 2，下底面直徑為 1，高為 1 的圓臺(tái)挖掉一個(gè)底面直徑為 2，高為 1 的倒置圓錐得到的幾何體.根據(jù)祖暅原理，以上四個(gè)幾何體中與的體積不相等的是()a.圖 1b.圖 2c.圖 3d.圖 4解析由題意可知，幾何體是由陰影部分旋轉(zhuǎn)一周得到，其橫截面為環(huán)形，設(shè)陰影部分等高處，拋物線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x1，切線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x2.由 f(x)x2，可得 f(x)2x，所以 f(1)2，所以曲線 c 在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為 y12(x1)，即 y2x1，所以 x21y， x2y12， 所以幾何體在等高處的橫截面面積 sx22x21y

13、122.圖 1 中的圓錐高為 1，底面半徑為12，易知該圓錐可由直線 y2x1 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)得到，其橫截面面積 sx2y122，所以幾何體和圖 1 中的圓錐在所有等高處的水平截面的面積相等，所以它們的體積相等，同理可知幾何體和圖 2，3，4 中的幾何體的體積均不相等，故選 bcd.答案bcd12.(2020棗莊模擬)古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn) a，b 的距離之比為定值(1)的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，a(2，0)，b(4，0)，點(diǎn) p 滿足|pa|pb|12

14、.設(shè)點(diǎn) p 的軌跡為 c，則下列結(jié)論正確的是()a.c 的方程為(x4)2y29b.在 x 軸上存在異于 a，b 的兩定點(diǎn) d，e，使得|pd|pe|12c.當(dāng) a，b，p 三點(diǎn)不共線時(shí)，射線 po 是apb 的平分線d.在 c 上存在點(diǎn) m，使得|mo|2|ma|解析設(shè)點(diǎn) p(x，y)，則|pa|pb|（x2）2y2（x4）2y212.化簡(jiǎn)、整理，得 x2y28x0，即(x4)2y216， a 錯(cuò)誤.當(dāng) d(6， 0)， e(12， 0)時(shí)，|pd|pe|12， b 正確.cos apo|ap|2|po|2|ao|22|ap|po|，cos bpo|bp|2|po|2|bo|22|bp|po

15、|，要證射線 po 為apb 的平分線，只需證明 cos apocosbpo，即證|ap|2|po|2|ao|22|ap|po|bp|2|po|2|bo|22|bp|po|.又|pb|2|pa|，化簡(jiǎn)、整理，即證|po|22|ap|28.因?yàn)閨po|2x2y2，2|ap|282x28x2y2(x28xy2)(x2y2)x2y2，所以 cos apocos bpo，c 正確.設(shè) m(x0，y0)，由|mo|2|ma|可得 x20y202 （x02）2y20，整理，得 3x203y2016x0160，而點(diǎn) m 在 c 上，所以滿足 x20y208x00.聯(lián)立方程解得 x02，y0無(wú)實(shí)數(shù)解，d 錯(cuò)誤

16、.故選 bc.答案bc三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)在“勾股”一章中有如下數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有勾八步，股十五步，勾中容圓，問(wèn)徑幾何？”.意思是一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度分別是 8 步和 15步，則其內(nèi)切圓的直徑是_步.解析由于該直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別是 8 和 15，則得其斜邊長(zhǎng)為 17，設(shè)其內(nèi)切圓半徑為 r，則有12(81517)r12815(等積法).解得 r3，故其直徑為 6 步.答案614.現(xiàn)將甲、乙、丙、丁四個(gè)人安排到座號(hào)分別為 1、2、3、4 的四個(gè)座位上，他們分別有以下要求：甲：我不坐座號(hào)為 1 和 2 的座位；乙

17、：我不坐座號(hào)為 1 和 4 的座位；丙：我的要求和乙一樣；丁：如果乙不坐座號(hào)為 2 的座位，我就不坐座號(hào)為 1 的座位.那么坐的座號(hào)為 3 的座位上的是_.解析根據(jù)題意，甲、乙、丙三人都不坐座號(hào)為 1 的座位，那么只有丁坐座號(hào)為 1 的座位，這樣乙就坐座號(hào)為 2 的座位，易知丙只能坐座號(hào)為 3 的座位，則甲坐座號(hào)為 4 的座位.答案丙15.黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，其定義為 r(x)1p，當(dāng) xqp（p，q 為整數(shù)，qp為既約真分?jǐn)?shù)） ，0，當(dāng) x0，1 或0，1上的無(wú)理數(shù).若 f(x)是定義在 r 上且最小正周期為 1 的函數(shù)，當(dāng) x0，1時(shí)，f(x)r(x)，則 f173 f(lg 20)_.解析由函數(shù)的最小正周期為 1 可得 f173 f(lg 20)f